2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版1.2 空间向量基本定理

第一章

空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理

(教师独具内容)课程标准：1.掌握空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．教学重点：把空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量．教学难点：运用空间向量基本定理解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．核心素养：1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念，培养数学抽象素养.2.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握条件如果三个向量a，b，c________，那么对任意一个空间向量p结论存在___________________________，使得p＝xa＋yb＋zc知识点一空间向量基本定理(1)定理不共面唯一的有序实数组(x，y，z)(2)基底与基向量①如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是______________________________，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，__________都叫做基向量．②空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底．[想一想]对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}{a，b，c}a，b，c不共面提示：因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0.知识点二空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量________________________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用___________表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为_______________________，叫做把空间向量进行正交分解．两两垂直，且长度都为1{i，j，k}三个两两垂直的向量1．(基底与基向量)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(

)A．a与b共线 B．a与b同向C．a与b反向 D．a与b共面1核心素养形成【感悟提升】

判断能否构成基底的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法①如果向量中存在零向量，则不能构成基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②对于a，b，c，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能构成基底；若无解，则不共面，能构成基底．【感悟提升】

用基底表示空间向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．(2)已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量p＝a－2b－4c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，用基底{a＋b，a－b，c}表示向量p.题型三空间向量基本定理的应用

如图，已知直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．【感悟提升】

(1)向量法是证明异面直线垂直常用的方法，常选一基底表示两异面直线．(2)利用数量积求夹角或其余弦值的步骤【跟踪训练】

3.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．随堂水平达标1．若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(

)A．0，0，1 B．0，0，0C．1，0，1 D．0，1，0035课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点利用单位正交基底求空间向量的数量积基底的概念单位正交基底的概念用基底表示空间向量利用空间向量基本定理求距离利用空间向量基本定理判断线线、线面位置关系用基底表示空间向量题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点利用空间向量基本定理求空间向量的数量积利用空间向量基本定理、空间向量的数量积求参数用基底表示空间向量；利用空间向量基本定理求距离利用空间向量基本定理求距离，判断或证明垂直问题用基底表示空间向量；利用空间向量基本定理求距离利用空间向量基本定理解决判断或证明垂直问题利用向量共面求参数一、选择题1．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，m＝－a＋6b－5c，n＝3a＋8b，则m·n＝(

)A．15 B．21C．45 D．36解析：因为{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，所以|a|＝1，|b|＝1，|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0.又m＝－a＋6b－5c，n＝3a＋8b，所以m·n＝(－a＋6b－5c)·(3a＋8b)＝－3＋48＝45.故选C.2．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2－e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝(

)A．－1 B．1C．0 D．－26．(多选)在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．则下列结论正确的是(

)A．BD∥CF B．BD⊥AEC．DE∥平面ACF D．DE⊥平面ABE二、填空题7．设{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且向量p＝3a＋b＋c，若m＝a＋b，n＝a－c，则用基底{m，n，c}表示向量p＝___________．m＋2n＋3c39.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为_______．13.