2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 第二章 章末总结

第二章直线和圆的方程章末复习知识系统整合规律方法收藏学科素养培优目录知识系统整合堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍规律方法收藏1．直线的倾斜角与斜率的对应关系(1)任何直线都有倾斜角，但并非任何直线都有斜率．(2)直线的倾斜角α满足0°≤α<180°.当α＝0°时，直线的斜率k＝0，直线与y轴垂直；当α＝90°时，直线的斜率不存在，直线与x轴垂直．当0°<α<90°时，斜率k＝tanα>0；当90°<α<180°时，k＝tanα<0.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．2．直线的几种方程及比较注意：过点P(x0，y0)的直线可分为两类：一类是斜率存在的直线，其方程可设为y－y0＝k(x－x0)；另一类是斜率不存在的直线，其方程为x＝x0.3．两条直线的平行与垂直4．距离问题5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．6．点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上；②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．(2)点不在圆上①若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内；②若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内．注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离dmax＝|PC|＋r；最小距离dmin＝|PC|－r.7．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即判断出交点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．8．圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r1，r2的大小关系来判断)．(1)求两圆相交时的公共弦长，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用两圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.学科素养培优

一、直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性，是做题的易错点，应引起特别的重视．

【素养提升】

斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角α＝0°时，斜率k＝0，直线与x轴平行或重合；当0°<α<90°时，斜率k>0，且随着倾斜角增大，k值增大；当α＝90°时，斜率不存在(此时直线是存在的，直线与x轴垂直)；当90°<α<180°时，斜率k<0，且随着倾斜角增大，k值增大．注意：直线越陡，斜率的绝对值越大．二、直线方程五种形式的应用直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(－1，1)，C(9，－3)，求：(1)BC边上的中线所在直线的方程；(2)BC边上的高所在直线的方程；(3)∠BAC的平分线所在直线的方程．(3)因为kAB＝1，kAC＝－1，所以kAB＋kAC＝0，结合图形，可得∠BAC的平分线所在直线的方程为x＝2.三、直线的平行与垂直问题考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数满足的条件处理．

已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且原点到l1，l2的距离相等．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0，①又点(－3，－1)在直线l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.【素养提升】

已知两条直线平行或垂直求解参数时，应先考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形．此外，已知两条直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零．四、距离问题在应用点到直线的距离公式时，要注意直线方程必须化为一般形式．而在应用两条平行直线的距离公式时，要注意两条直线方程必须化为一般形式，且两条直线方程中x和y的系数必须对应相等．高考中对本部分的考查常结合圆的知识进行，如直线与圆相交、相切等．【素养提升】

(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况．(2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．五、对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两条直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．2．轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．(2)两条直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1与l的距离等于l2与l的距离．

已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．【素养提升】

对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称．其中点关于点、点关于直线对称是所有对称中的两种最基本的对称，应该重点掌握，并能够把其他对称都转化成这两种对称．由于对称问题综合运用了两条直线垂直、平行的判定，点到直线的距离公式等知识点，因此，对称问题一直是考查的重点．六、圆的方程问题圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．确定圆的方程时，要学会选择合适的圆的方程，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就更简捷．如果题中给出圆心的坐标或圆心的特殊位置和半径时，一般选择标准方程，否则，选择一般方程．

已知圆心在直线x＋y－1＝0上，且过点A(2，2)的圆C1与直线3x－4y＋5＝0相切，其半径小于5.(1)求圆C1的方程；(2)若圆C2与圆C1关于直线x＋2y－2＝0对称，求圆C2的方程．【素养提升】

求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．七、圆的几何性质的运用圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在的直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等，解题时可充分利用这些性质．

已知圆M：x2＋y2＝m，圆N：x2＋y2－6x－6y＋16＝0，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若∠APB＝90°，则m的取值范围为(

)A．[2，4] B．[4，8]C．[2，16] D．[4，16]【素养提升】

过圆外一点引圆的切线，有两条，且切线长相等，解题时充分利用圆的这一性质可以减少运算量．八、数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合．九、分类讨论思想