2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题

第一章

空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题

(教师独具内容)课程标准：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．教学重点：几种距离的求法．教学难点：用向量方法求空间距离．核心素养：1.通过学习利用向量方法计算空间中的距离，提升数学运算素养.2.在学习点到直线的距离、点到平面的距离、两平行直线间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离相互转化的过程中，提升数学抽象及直观想象素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握(a·u)u[想一想]如何求两条平行直线a，b之间的距离？核心素养形成题型一点到直线的距离、两条平行直线之间的距离

在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求点O1到直线AC的距离．【感悟提升】

向量法求点到直线的距离的步骤(1)求直线的单位方向向量；(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线方向向量上的投影向量的长度；(3)利用勾股定理求解．提醒：求两条平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离来求．【跟踪训练】

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点．求直线EF与C1D之间的距离．题型二点到平面的距离

如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO＝AB＝4，AC＝BC，D为SO的中点，N为AD的中点，求点N到平面SBC的距离．解

因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，由圆锥的几何性质可知SO⊥平面ABC，以O为原点，OC，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0，0，4)，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，D(0，0，2)，N(0，1，1)．【感悟提升】

求点到平面的距离的步骤题型三直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离

(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AB的中点，求直线BC1到平面ECA1的距离．(2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，G为线段AB的中点，求平面AB1E与平面C1FG的距离．【感悟提升】

(1)当直线与平面平行时，要求直线到平面的距离，需要在直线上任取一点，求出该点到平面的距离即可．(2)当平面与平面平行时，要求两个平面之间的距离，需在一个平面内找到一点，求出该点到另一个平面的距离即可．提醒：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．随堂水平达标课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点利用空间向量求点到直线的距离利用空间向量求点到平面的距离利用空间向量求直线到平面的距离利用空间向量求点到直线的距离利用空间向量求点到直线的距离利用空间向量求空间距离利用空间向量求空间两点间的距离；利用空间向量求点到平面的距离题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点利用空间向量求点到直线距离的最小值利用空间向量求两个平行平面之间的距离利用空间向量求空间距离利用空间向量求点到平面的距离利用空间向量求点到平面距离的最大值利用空间向量求两个平行平面之间的距离利用空间向量解决与点到平面的距离有关的探索性问题8.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为_____．9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为______．解析：如图，连接OO1，因为O，O1分别为AC，A1C1的中点，所以O1C1∥AO，且O1C1＝AO，所以四边形AOC1O1为平行四边形，所以AO1∥OC1，又AO1⊄平面BC1O，OC1⊂平面BC1O，所以AO1∥平面BC1O，又OB∥O1B1，O1B1⊄平面BC1O，OB⊂平面BC1O，所以O1B1∥平面BC1O，又AO1∩O1B1＝O1，AO1，O1B1⊂平面AB1O1，所以平面AB1O1∥平面BC1O，三、解答题10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点P到直线EF的距离；(2)求点D到平面PEF的距离；(3)求直线AC到平面PEF的距离．13.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝