2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 2.4.2 圆的一般方程

第二章直线和圆的方程§2.4

圆的方程2.4.2圆的一般方程

(教师独具内容)课程标准：探索并掌握圆的一般方程．教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点．教学难点：根据具体条件,选用圆的一般方程解决有关问题．核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题,进一步提升数学抽象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一圆的一般方程(1)定义方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(______________)叫做圆的一般方程．D2＋E2－4F>0[拓展]

判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0,或直接配方变形,判断等号右边是否为大于零的常数．知识点二待定系数法求圆的方程的步骤(1)根据题意,选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；(3)解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或一般方程．1．(由圆的一般方程求圆心、半径)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(

)A．(4,－6),16

B．(2,－3),4

C．(－2,3),4

D．(2,－3),162．(二元二次方程表示圆的条件)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是______．3．(求圆的一般方程中的参数)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－1,2)为圆心,3为半径的圆,则D＝___,E＝____,F＝____．4．(求圆的一般方程)过O(0,0),A(3,0),B(0,4)三点的圆的一般方程为________________．m＜12－4－4x2＋y2－3x－4y＝0核心素养形成题型一圆的一般方程的定义若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆,求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．【跟踪训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆,求出其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋y＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．题型二求圆的一般方程已知△ABC的顶点C(2,－8),直线AB的方程为y＝－2x＋11,AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.(1)求顶点A和B的坐标；(2)求△ABC外接圆的一般方程．【感悟提升】

待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出D,E,F.【跟踪训练】2．已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上,且经过原点和A(2,1),求圆C的一般方程．题型三求动点的轨迹方程已知O为原点,点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程．【感悟提升】

求轨迹方程的常用方法(1)直接法：根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将点Q的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程．【跟踪训练】3．已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(－1,0),B(3,0),求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解法二(直接法)：设顶点C(x,y),易知x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2,即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16,化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．解法三(定义法)：设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|＝|AB|＝2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．随堂水平达标2．过原点,(2,0),(0,3)三点的圆的方程为(

)A．x2＋y2－2x－3y＝0 B．x2＋y2＋2x－3y＝0C．x2＋y2－2x＋3y＝0 D．x2＋y2＋2x＋3y＝04．已知圆C的圆心坐标为(2,－3),且点(－1,－1)在圆上,则圆C的一般方程为__________________．x2＋y2－4x＋6y＝05．点P(x0,y0)是圆x2＋y2＝4上的动点,M是OP(O是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是__________．x2＋y2＝1课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点求圆的一般方程中的参数的取值范围求圆的一般方程中的参数的取值范围与圆的一般方程有关的对称问题由圆所在象限求参数的取值范围求圆的一般方程与圆的一般方程有关的最值问题对圆的一般方程的理解；由圆的一般方程求圆心、半径题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点求圆的一般方程；由点在圆上求参数直接法求动点的轨迹方程由点在圆上求参数；与圆有关的最值问题直接法求动点的轨迹方程圆的一般方程的定义；圆关于直线对称问题圆的一般方程的定义；求面积最大的圆的方程；由点在圆内求参数求圆的方程；代入法求动点的轨迹方程5．在平面直角坐标系中,整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过(－2,－2),(－2,6),(4,－2)三点,则该圆经过的整点共有(

)A．6个 B．8个C．10个 D．12个二、填空题7．已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆,则圆心坐标是__________,半径是___．(－2,－4)58．已知A(0,5),B(1,－2),C(－3,－4),D(2,a)四点共圆,则a＝___．19．在△ABC中,若顶点B,C的坐标分别是(－2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是______________；当△ABC的面积最大时,点A的坐标为______________．x2＋y2＝9(y≠0)(0,3)或(0,－3)三、解答题10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．(1)若P(m,m＋1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若P为圆C上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值．11．(多选)已知动直线m：λx－y＋λ＝0和n：x＋λy－3－2λ＝0,P是两直线的交点,A,B分别是直线m和n过的定点,下列说法正确的是(

)A．点B的坐标为(3,－2) B．m⊥nC．|PA|·|PB|的最大值为10 D．点P的轨迹为圆x2＋y2－2x－2y－3＝012．已知圆C：x2＋y2－mx＋3y＋3＝0关于直线l：mx＋y－m＝0对称,则实数m＝___．313．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．