人教版七年级数学上册：有理数乘除法的建构与应用教案

人教版七年级数学上册：有理数乘除法的建构与应用教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课处于“数与代数”领域，是学生从算术运算迈向代数运算的关键阶梯。知识技能图谱上，其核心是理解有理数乘法、除法的运算法则（特别是符号确定法则），并掌握其运算技能。它在单元知识链中承上启下：既是对有理数加法、减法的运算逻辑的延续与拓展，也是后续学习乘方、混合运算乃至整式、方程等知识的运算基石。过程方法路径上，课标强调通过具体情境和数学实验，经历“观察-归纳-猜想-验证”的数学化过程，发展抽象能力和模型观念。本课可将“负负得正”等抽象法则，转化为对温度变化、方向运动等现实情境的数学建模活动，引导学生在探究中自主建构规则。素养价值渗透方面，本课是培育学生“运算能力”和“抽象能力”的绝佳载体。法则的归纳过程，锻炼了从特殊到一般的数学归纳思想；符号规则的确定，强化了数学的确定性和简洁美；解决实际问题的应用，则体现了数学的工具价值。其育人价值在于引导学生体会数学规则的合理性，建立严谨、有序的理性思维习惯。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。已有基础与障碍：学生已掌握有理数的概念、数轴表示及加减法运算，具备了初步的符号意识。然而，从加减法到乘除法，特别是涉及两个负数相乘，认知跨度较大。常见的认知障碍在于难以直观理解“负负得正”的合理性，容易与加法法则混淆，以及在混合运算中确定符号的优先级上出现错误。过程评估设计：将通过课堂设问（如“你能举一个生活实例来说明(-3)×(-2)=6吗？”）、小组探究成果展示、随堂练习的即时反馈等手段，动态把握学生对法则理解的程度和应用中的典型错误。教学调适策略：针对理解困难的学生，提供更丰富的直观模型（如数轴连续运动、温度变化连续情境）和具体数字案例作为“脚手架”；针对学有余力的学生，则引导其思考法则的数学本质（如保持运算律的普适性）或挑战更复杂的混合运算问题，实现分层推进。

二、教学目标

知识目标：学生能准确叙述有理数乘法、除法的运算法则，理解“负负得正”等符号规则的由来与合理性；能熟练进行两个有理数的乘除运算，并初步进行简单的乘除混合运算，建立起清晰的有理数乘除运算认知结构。

能力目标：学生能够从具体的生活情境或数学实例中，抽象并归纳出一般的运算规律，发展数学建模和归纳推理能力；在解决含有乘除法的实际问题时，能准确分析数量关系，选择恰当的运算，提升运算能力和应用意识。

情感态度与价值观目标：在探究“负负得正”等规律的过程中，学生能感受到数学规则并非凭空规定，而是源于现实需要并保持逻辑自洽，从而增强对数学严谨性与和谐美的认同感，激发深入探究的好奇心。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号意识与模型思想。通过将实际情境“翻译”成数学算式，再将抽象的运算法则“反译”回实际解释，经历完整的数学化过程，强化数学作为描述世界的一种通用语言的角色认知。

评价与元认知目标：学生能够依据运算法则，对自己或同伴的运算过程和结果进行判断与简单说理；能在练习后反思常见错误类型（如符号错误、顺序错误），并主动制定避免策略，初步形成监控自身学习过程的元认知习惯。

三、教学重点与难点

教学重点：有理数乘法、除法运算法则的理解与运用，特别是积和商的符号确定规则。确立依据：从课程标准看，法则是整个有理数运算体系的“大概念”，是后续所有代数运算的基础。从学业评价看，有理数运算是贯穿初中数学的基础考点，无论是单独命题还是融入复杂情境，其准确性和熟练度都是能力立意的直接体现。掌握符号法则，是突破从算术数到有理数运算思维定式的关键。

教学难点：有理数乘法法则中“负数乘负数得正”的理解，以及乘除混合运算中的运算顺序与符号一次性确定。预设依据：基于学情分析，“负负得正”缺乏直观的生活对应物，超越了学生的直接经验，属于认知难点。常见错误分析显示，学生极易在此处机械记忆而出现混淆。其成因在于思维需要完成从具体到抽象、从特殊到一般的两次飞跃。突破方向在于设计连贯的情境链，让学生在逻辑连贯的“故事”中体会规律的必然性，例如从“正乘正”、“正乘负”自然过渡到“负乘负”。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件，内容包含情境动画（如温度连续变化）、探究引导图、例题与分层练习题。

1.2学习材料：设计并印制《课堂学习任务单》，内含递进式探究任务、笔记区和分层巩固练习。

2.学生准备

2.1知识准备：复习有理数的概念、数轴及加减法法则。

2.2学具准备：草稿纸、笔、直尺（可选用于画数轴辅助思考）。

3.环境预设

3.1板书记划：预留主板书区域用于呈现法则的生成过程和最终模型，副板区域用于展示学生探究样例和练习反馈。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与问题提出：同学们，我们之前学习了有理数的加减法，解决了“增减”、“进退”的问题。今天，我们来研究一种新的变化模式。大家看屏幕：假设某个实验室的自动温控系统，以每小时改变2℃的速度进行调节。（播放简单动画：温度计水银柱变化）如果它“以每小时升温2℃”的速度运行，3小时后温度变化了多少？对，+6℃。这可以用乘法表示：速度×(+)时间=变化量，即(+2)×(+3)=+6。那么，如果系统是“以每小时降温2℃”（速度记为-2℃/时），运行3小时呢？很多同学能猜到是-6℃，算式是(-2)×(+3)=-6。好的，现在关键问题来了：如果系统“以每小时降温2℃”（速度-2℃/时），但它是“向过去

运行了3小时”（时间记为-3小时），那么总的温度变化量该如何计算？算式该怎么列？结果又会是多少呢？这就是我们今天要攻克的堡垒——有理数的乘法，以及与之紧密相关的除法。

2.路径明晰：我们先不着急给答案。这节课，我们就像数学家一样，从这些具体的情境出发，通过观察、比较、归纳，自己找出有理数乘除运算的“游戏规则”。我们会先集中火力解决乘法，因为除法可以看作是乘法的“逆运算”，找到乘法法则，除法问题就迎刃而解了。请大家带着这个“穿越”降温的问题，开启我们的探索之旅。

第二、新授环节

任务一：从情境中感知乘法模型

教师活动：首先，引导学生将导入中的三个例子系统化。板书呈现：(+2)×(+3)=+6（升温、未来）；(-2)×(+3)=-6（降温、未来）。接着，聚焦核心问题：“那么(-2)×(-3)呢？它表示‘以每小时降温2℃的速度，向过去运行3小时’。”引导学生逆向思考：“向过去运行1小时，温度会怎样变化？”（相对于“现在”来说，是升温了2℃）。用数轴辅助讲解：将“现在”设为原点，向右为未来温度升高，向左为过去。降温是负方向运动，去过去是时间负方向，两个“负向”作用叠加，反而导致温度向正方向（升高）变化。所以，(-2)×(-3)=+6。“大家觉得这个解释有道理吗？你能用自己的话复述一下吗？”

学生活动：跟随教师的引导，在任务单上记录三个算式。积极思考教师提出的逆向问题，尝试在脑海中或草稿纸上模拟数轴上的运动过程。参与讨论，尝试用自己的语言描述“负负得正”在该情境下的含义，例如：“回到过去，当时的温度比现在高，所以变化是正的。”

即时评价标准：1.能否准确复述三个情境对应的算式含义。2.在讨论(-2)×(-3)时，能否表现出试图联系情境进行推理的努力，而非等待答案。3.能否清晰表达“向过去回溯导致效果逆转”这一关键思路。

形成知识、思维、方法清单：★乘法是描述“速度”与“时间”累积效应的模型。▲数轴是可视化有理数运算（特别是涉及方向）的强有力工具。●引入“负时间”（向过去）的概念，是理解“负负得正”的一把钥匙。◆数学建模的第一步：将现实语言（降温、向过去）精确翻译成数学符号（负号）。

任务二：观察归纳符号法则

教师活动：“好，我们有了四个典型的例子：(+2)×(+3)=+6；(-2)×(+3)=-6；(+2)×(-3)=-6；(-2)×(-3)=+6。请大家像侦探一样，仔细观察这些算式的‘因数’和‘积’的符号，你能发现什么规律吗？”给予学生1-2分钟小组讨论。巡视倾听，提示关注“同号”和“异号”。请小组代表分享发现，并引导用更数学化的语言总结：“是不是‘同号两数相乘，积为正数；异号两数相乘，积为负数’？那积的绝对值呢？”（绝对值相乘）。“谁能把这两条合并成一句完整的法则？”最终板书核心法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

学生活动：以小组为单位，对比分析四个算式的数字与符号特征。热烈讨论规律，可能先发现符号规律，再确认绝对值规律。推举代表发言，尝试用完整的语言概括法则。在教师引导下，共同完善并朗读法则。

即时评价标准：1.小组讨论时，是否全员参与观察与归纳。2.归纳的结论是否准确、完整（包含符号和绝对值两部分）。3.能否使用“同号”、“异号”等标准数学术语进行表述。

形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘。这是运算的“根本大法”。●从有限个特例中归纳一般规律，是数学发现的重要方法（不完全归纳法）。▲法则的记忆诀窍：先定符号，再算绝对值。◆任何数同0相乘，结果都是0。这是法则的自然推论，也需特别强调。

任务三：法则的简单应用与巩固

教师活动：“光说不练假把式，现在我们来小试牛刀。”出示一组计算题：①(+5)×(+6)；②(-4)×(-7)；③(-9)×(+2)；④(+3)×(-8)。“请同学们独立计算，并牢记‘先定符号，再算绝对值’的步骤。”待大部分学生完成后，请学生口答，并追问每一步的依据。“第②题，为什么是正28？”“因为同号得正，绝对值4乘7得28。”“非常好！说理清晰。”同时，可快速提问：“(-1)×5等于多少？(-1)×(-5)呢？你发现乘以-1有什么效果？”（得到相反数）。

学生活动：独立完成计算练习，在心中或草稿上默念步骤。积极回答教师提问，展示自己的计算过程和思考依据。思考关于-1乘法的特例，并总结规律。

即时评价标准：1.计算的准确率。2.回答时能否明确说出“依据乘法法则，先判断符号为…因为…”。3.是否理解“乘以-1等于求这个数的相反数”这一重要结论。

形成知识、思维、方法清单：●熟练应用法则的步骤：一观符号，二算绝对值。★乘以(-1)的效果：得到一个数的相反数。这是一个非常重要的特性，在后续学习中会反复用到。▲巩固练习是检验理解、形成技能的必要环节。◆即时反馈与说理，能有效暴露思维过程，纠正理解偏差。

任务四：从乘法到除法——逆运算的推理

教师活动：“掌握了乘法，除法就是它的‘孪生兄弟’了。我们知道，在算术里，除法是乘法的逆运算。比如，因为(+3)×(+4)=+12，所以(+12)÷(+4)=+3。这个关系在有理数世界里依然成立。”提出问题链：“那么，请根据乘法算式(-3)×(+4)=-12，你能写出哪个除法算式？对，(-12)÷(+4)=(-3)。再根据(-3)×(-4)=+12呢？可以写出(+12)÷(-4)=(-3)。现在，请大家以小组为单位，仿照我们归纳乘法法则的过程，利用‘乘除互逆’的关系，从这些例子中归纳一下有理数除法的符号法则。”巡视指导，引导他们对比被除数、除数、商的符号关系。

学生活动：回顾乘除互逆关系。根据教师提供的乘法等式，写出对应的除法等式。小组合作，观察、比较这些除法算式中符号的关系，尝试归纳规律。可能发现：“好像…符号规律和乘法一模一样？”“也是同号得正，异号得负？”

即时评价标准：1.能否准确建立乘除算式之间的互逆关系。2.在小组归纳时，是否主动与乘法法则进行类比。3.归纳出的除法法则表述是否准确。

形成知识、思维、方法清单：★有理数除法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。★0除以任何一个不等于0的数，都得0（强调除数不为0）。●利用已知知识（乘法）通过逻辑推理（逆运算）获得新知识（除法），是重要的学习策略。▲除法法则在形式上与乘法法则高度统一，减轻了记忆负担，体现了数学的简洁与和谐。

任务五：除法运算与倒数概念的融入

教师活动：肯定学生的发现：“大家的类比能力非常强！除法的符号法则确实和乘法一致。那么绝对值呢？”（绝对值相除）。完整板书除法法则。接着，引入简化运算的工具：“大家计算(-12)÷(+4)时，是直接做除法。其实，在有理数运算中，我们还可以把它转化为乘法：(-12)÷(+4)=(-12)×(1/4)。这里，1/4是4的什么？”（倒数）。“也就是说，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。这个结论在有理数范围内依然适用，它是进行乘除混合运算时非常关键的‘转化桥’。”举例说明：计算(-6)÷(2/3)=(-6)×(3/2)=-9。

学生活动：理解并记录除法法则。回忆倒数的概念（乘积为1的两个数互为倒数）。理解“除以一个数等于乘它的倒数”这一转化关系，并观察教师示例，体会其应用。

即时评价标准：1.能否准确叙述除法法则。2.能否回忆并说出一个数的倒数（例如，-5的倒数是-1/5）。3.是否理解将除法转化为乘法的意义。

形成知识、思维、方法清单：★倒数概念在有理数范围的延伸：数a(a≠0)的倒数是1/a。★除法运算的转化法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。●这一转化是统一乘除混合运算为连乘运算、简化计算过程的核心技巧。▲“化除为乘”是重要的化归思想体现。

任务六：初步体验乘除混合运算的顺序

教师活动：提出一个简单混合运算题：计算(-8)×(+2)÷(-4)。“同学们，这个算式里有乘有除，我们该按什么顺序算呢？”引导学生回忆，在算术中，乘除是同级运算，应从左往右依次进行。在有理数中，这一顺序保持不变。演示计算过程：先算(-8)×(+2)=-16，再算(-16)÷(-4)=+4。同时提示：“当然，我们也可以利用‘化除为乘’，把它全部变成乘法：(-8)×(+2)×(-1/4)，然后利用乘法交换律、结合律先确定符号，可能会更简便。大家可以在课后尝试比较这两种方法。”

学生活动：思考运算顺序规则，确认从左到右依次计算。跟随教师演示，完成计算步骤。聆听关于“化除为乘”后运用运算律的简便技巧提示，产生进一步探索的兴趣。

即时评价标准：1.是否明确乘除混合运算的顺序（从左向右）。2.计算过程是否规范、准确。3.对教师提供的简便方法是否表现出关注和理解意愿。

形成知识、思维、方法清单：●乘除混合运算的顺序：同级运算，从左到右依次进行。◆在混合运算中，灵活运用“化除为乘”可以改变运算结构，有时能简化计算。▲养成“先观察算式结构，再选择算法”的良好习惯。★最终结果的符号，是在逐步运算或整体分析中一次性确定的，避免步步定符号的繁琐。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层练习题，通过希沃白板或任务单呈现，学生独立完成后，进行互动讲评。

基础层（全体必做）：1.口答符号：①(-7)×(-6)积的符号；②(+15)÷(-3)商的符号。2.计算：①(-5)×(+11)；②0÷(-9.8)；③(-24)÷(-6)。（目标：直接应用法则，巩固符号意识和基本技能）

综合层（大多数学生完成）：3.计算：①(-4)×(-2.5)；②(-3/4)÷(9/16)（引导化除为乘）；③(-10)÷(+2)×(-5)。（目标：处理小数、分数，进行简单的乘除混合运算）

挑战层（学有余力选做）：4.思考题：已知|a|=5，|b|=2，且ab<0（即a、b异号），求a÷b的值。（目标：综合绝对值、符号条件，进行推理计算，培养分类讨论思想）

反馈机制：基础题采用快速开火车回答，即时纠正。综合题请学生上台板演或投影展示其解题过程，教师引导全班评价：“大家看这位同学的步骤，先定符号再算绝对值，非常规范。”“第三题混合运算，他从左到右的顺序清晰吗？有没有不同的解法？”挑战题作为思维拓展，请有思路的学生简要分享其推理过程，教师点睛：“这道题的关键是先由绝对值确定数字的可能性，再由符号条件筛选出唯一组合，体现了有序思考。”

第四、课堂小结

“同学们，今天的探索之旅即将到站，让我们一起来盘点收获。”引导学生进行结构化总结：

知识整合：“请用一两句话说说，有理数乘法和除法的核心法则是什么？”（同号得正，异号得负，绝对值相乘/除）。“它们之间有什么联系？”（法则形式统一，除法可转化为乘法）。

方法提炼：“我们是怎样得到这些法则的？”（从具体情境出发—建立模型—观察例子—归纳规律—验证应用）。“在遇到乘除混合运算时，我们需要注意什么？”（顺序，以及化除为乘的转化思想）。

作业布置与延伸：公布分层作业（见后续设计）。并留下一个思考题作为引子：“今天我们主要研究了两个数的乘除。如果三个甚至更多有理数连乘，比如(-2)×(-3)×(-4)，它的符号又该如何快速确定呢？请大家先猜一猜，我们下节课一起来揭秘。”

六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.教材对应章节的课后基础练习题，完成关于两个有理数乘除法的计算题共10道，要求书写规范，写明符号判定依据。

2.背诵有理数乘法和除法法则。

拓展性作业（建议完成）：

3.生活应用题：查阅本地连续两天的最低气温，计算两天温差。若将第一天温度记为a℃，第二天记为b℃，请用含a、b的算式表示温差，并说明该算式蕴含了哪种运算？若温差为负，其实际含义是什么？

4.计算题：完成4道包含小数、分数的乘除混合运算题，鼓励尝试“化除为乘”后运用运算律进行简便计算。

探究性/创造性作业（选做）：

5.“数学小论文”选题（二选一）：①我来说说“为什么负负得正”——尝试用不同于课堂的例子（如方向与速度、资产与负债等）解释这一法则的合理性。②探索多个有理数连乘的符号规律：通过计算(-2)×(-3)、(-2)×(-3)×(-4)、(-2)×(-3)×(-4)×(-5)……，你能发现积的符号与负因数的个数有什么关系吗？写出你的猜想并举例验证。

七、本节知识清单、考点及拓展

★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。这是所有运算的基石，必须理解其来源并熟练应用。

★有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。注意与乘法法则的类比记忆。

★倒数：乘积是1的两个数互为倒数。数a（a≠0）的倒数是1/a。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求倒数时勿与相反数混淆。

●“除以一个数等于乘它的倒数”：即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是将除法运算统一转化为乘法的关键桥梁，尤其在混合运算中极为重要。

●乘除混合运算顺序：同级运算，从左到右依次进行。这是运算的基本规则，不能随意改变顺序。

▲多个有理数连乘的符号规律（前瞻）：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。这是下节课的重点，本节课可初步感知。

◆运算中的常见错误点1：符号错误。牢记“先定符号”，避免因绝对值计算干扰符号判断。特别是除法中，勿将“被除数”的符号当作“商”的唯一符号依据。

◆运算中的常见错误点2：顺序错误。在乘除混合或加减乘除混合时，严格遵循运算顺序，不“跳步”计算。

◆运算中的常见错误点3：概念混淆。清晰区分“倒数”与“相反数”。例如，-5的倒数是-1/5，而它的相反数是+5。

▲绝对值在运算中的作用：符号法则负责方向，绝对值负责大小。运算是符号与绝对值处理的有机结合。

●数学思想方法：模型思想。将实际问题（温度变化、速度位移等）抽象为有理数乘法算式。

●数学思想方法：化归思想。将除法运算转化为乘法运算，将新问题转化为已解决的问题。

★乘以(-1)的意义：一个数乘以-1，得到这个数的相反数。即a×(-1)=-a。这是一个简洁而有用的结论。

八、教学反思

本课教学设计力图在结构性、差异化和素养导向三者间寻求平衡。从假设的课堂实施反馈来看，教学目标达成度方面，绝大多数学生能准确叙述并应用乘除法则进行基础运算（知识目标），从巩固训练的正确率可见一斑。在“归纳法则”和“解释负负得正”环节，学生的课堂参与和讨论质量，表明其观察、归纳和初步建模的能力（能力目标）得到了锻炼。情感目标在学生对“穿越降温”情境表现出的兴趣和释然中有所体现。

各环节有效性评估：导入环节的“时间穿越”情境起到了预期作用，成功制造认知冲突并激发探究欲。新授环节的六个任务环环相扣，任务一（情境感知）和任务二（归纳法则）是成功的核心，学生在此过程中完成了知识的主动建构。任务四（推理除法）利用乘除互逆关系，实现了知识的正迁移，效率较高。然而，任务五（倒数转化）和任务六（混合运算）由于时间相对紧凑，部分基础较弱的学生可能仅停留在“知道”层面，熟练应用仍需后续练习巩固。当堂巩固的分层设计满足了不同学生需求，挑战题的讨论为学优生提供了思维伸展空间。

对不同层次学生的深度剖析：对于学习能力强、思维活跃的学生，他们能迅速从特例中归纳出法则，并能用多种方式解释“负负得正”。课堂中应更多地邀请