初中数学九年级上册：列举法求概率进阶教学教案

初中数学九年级上册：列举法求概率进阶教学教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节内容隶属于“统计与概率”领域中的“随机事件发生的可能性”。其教学坐标定位于：在学生已经对概率有直观感受，并初步学会用定性语言（如“可能”、“不可能”）描述可能性大小的基础上，引领学生进入用定量方法刻画随机事件发生可能性大小的新阶段。知识技能图谱上，本节课的核心是掌握用列表法、画树状图法（合称“列举法”）求等可能条件下简单随机事件的概率，其技能要求从“识记”公式$P(A)=\frac{m}{n}$，跃升到能“理解”并“应用”列举法系统、有序地分析事件所有等可能结果数$n$和事件A包含的结果数$m$。它在单元知识链中扮演着“承上”转化古典概型思维、“启下”为后续学习更复杂概率模型奠定方法论基础的关键角色。过程方法路径上，课标强调的“模型思想”和“有序思考”在本课得以集中体现。教学过程应转化为引导学生从实际问题中抽象出概率模型，并通过自主探究列举方法，体会有序、不重不漏的枚举策略，这是数学严谨性的重要体现。素养价值渗透方面，本节课是培养学生“数据意识”和“推理能力”的优质载体。通过精确计算概率，学生能更理性地认识随机现象，避免主观臆断，形成基于数据分析的决策意识，这正是数学理性精神与科学态度的“润物无声”。

基于“以学定教”原则，需进行立体化学情研判。已有基础与障碍：学生已了解概率的古典定义，能计算一步等可能事件的概率（如掷一枚骰子）。主要认知障碍在于面对两步或两步以上、且结果稍显复杂的随机事件时，思维易陷入无序和混乱，导致列举时“重复”或“遗漏”，根源在于缺乏系统性的分析工具和有序思考的习惯。过程评估设计：课堂将通过“前测”提问（如回顾一步概率问题）、观察小组讨论中学生的列举策略、分析学生随堂练习的解题过程与结果，动态诊断学生对“等可能性”的理解深度和列举的有序性水平。教学调适策略：针对思维层次不同的学生，提供差异化“脚手架”。对于基础薄弱学生，提供“半结构化的列举表格”或分步操作提示；对于学有余力者，则引导其思考列举法的本质（分类、分步计数原理的雏形）并探索列举法的局限（为后续学习古典概型局限性埋下伏笔），通过变式问题激发其探究欲望。

二、教学目标

知识目标方面，学生将能深刻理解列举法（列表法、画树状图法）作为求等可能事件概率的核心工具的必然性与优越性。他们不仅能准确叙述其步骤，更重要的是能在具体问题情境中，自主判断并选择合适的方法，规范、完整地完成从事件分析到列举、再到概率计算的整个过程，最终建构起关于古典概型计算方法的层级化认知结构。

能力目标聚焦于数学核心能力中的“模型构建”与“逻辑推理”。学生将能够从“抽奖”、“比赛”等现实情境中，抽象并识别出等可能条件，独立构建概率模型。在解决涉及两个及以上要素的随机事件问题时，能够自觉运用列表或画树状图的方式进行系统、有序的推演和分析，清晰地展示所有等可能结果，并准确计算目标事件的概率，从而提升处理复杂信息的逻辑条理性。

情感态度与价值观目标旨在培育理性精神与合作意识。通过精确计算概率，引导学生摒弃“感觉”或“运气”等主观臆断，形成尊重数据、依靠逻辑的理性决策观。在小组合作探究列举方法的过程中，鼓励学生积极表达、耐心倾听同伴思路，欣赏不同列举策略的智慧，共同构建严谨的数学结论。

科学（学科）思维目标着力发展“有序分类思想”和“模型化思想”。本节课将引导学生将复杂事件分解为多个步骤或类别，通过树状图的分支或表格的行列，将隐性的思维过程显性化、可视化，这本身就是一种重要的数学建模过程。学生将经历“具体问题—抽象模型—方法选择—求解验证”的完整思维训练链。

评价与元认知目标关注学生的反思与优化能力。设计环节引导学生对比列表法与树状图法的优劣及适用情境，使其学会根据问题特征评估并选择最优解题策略。通过展示典型错误列举案例，引导学生依据“不重不漏”、“等可能性”两大标准进行批判性评价，并反思自身列举过程中的思维漏洞，从而提升元认知水平，学会“如何思考”。

三、教学重点与难点

教学重点在于掌握用列表法或画树状图法求等可能条件下简单随机事件的概率，并确保列举过程的系统性与完整性。此重点的确立，首先源于课标要求，它是将概率的古典定义从理论转化为可操作计算工具的核心环节，是概率学习的“大概念”节点。其次，从学业水平考试分析，该知识点是高频考点，不仅直接考查计算，更常作为综合题的基础步骤，其掌握程度直接影响学生解决复杂概率问题的能力。因此，规范、熟练地应用列举法是后续学习的基石。

教学难点则具体体现为两个方面：一是如何确保在列举所有等可能结果时做到“不重不漏”；二是如何准确判断事件是否满足“等可能性”，并据此正确构建模型。难点成因在于，学生思维从处理单一要素到协调多个要素时，面临认知跨度，缺乏有效的组织策略，易产生思维混乱。同时，“等可能性”这一隐性前提常被学生忽视，导致模型构建错误。突破方向在于，强化步骤引导，将列举过程可视化、结构化，并通过对比反例，深化对“等可能”前提的理解。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：制作交互式多媒体课件，包含情境动画、动态演示列表和树状图生成过程；准备实物投影仪，用于展示学生作品。

1.2学习材料：设计并印制分层学习任务单（含探究任务、分层练习题）；准备用于小组活动的卡片（如写有A、B、C的字母卡，数字卡）。

2.学生准备

2.1知识预习：复习概率的古典定义及一步事件的概率计算。

2.2学具准备：携带直尺、铅笔、彩笔（用于画树状图）。

3.环境布置

3.1座位安排：课前将座位调整为4-6人异质小组，便于合作探究。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设，激发冲突：“同学们，双十二快到了，某电商平台设计了一个‘幸运大转盘’抽奖活动。规则是：转动两个可以独立停止的转盘，每个转盘被均匀分成红、蓝、黄三个区域。只有当两个转盘指针都指向红色区域时，才能获得大奖。小明说，获得大奖的概率是$\frac{1}{3}$，因为每个转盘指向红色的概率是$\frac{1}{3}$。小华却觉得不对，认为概率应该更小。大家觉得谁的想法更有道理呢？我们能不能用数学方法给出一个确切的答案？”

2.问题提出，明确目标：从学生的争议中提炼出本节课的核心驱动问题：“面对涉及两个或更多步骤的随机事件，如何系统、准确地计算出指定事件发生的概率？”

3.路径明晰，勾勒路线：“为了解决像‘双转盘’这类更复杂的问题，今天我们将深入学习一种强有力的数学工具——列举法。我们将从大家熟悉的简单问题出发，一起探索如何‘列表’，如何‘画树状图’，让所有可能的结果清晰地呈现在我们面前，从而精准计算概率。准备好了吗？让我们开始这场‘有序’的思维探险。”

第二、新授环节

本环节将遵循“简单回顾→探究复杂→归纳方法→对比优化”的认知阶梯，设计4个层层递进的任务，引导学生在活动中主动建构知识。

###任务一：唤醒旧知，初识列举必要

教师活动：首先，我会提出一个基础问题：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。”先让学生独立思考并尝试解答。预计会有学生直接回答$\frac{1}{2}$。这时，我会追问：“你的$\frac{1}{2}$是怎么得来的？能说清楚所有可能的结果有哪些吗？”引导学生口头列举可能出现的结果：（正，正）、（正，反）、（反，反）。随即抛出关键追问：“（正，反）和（反，正）是一种情况还是两种情况？为什么这里必须区分？”通过讨论，强调“有序”思考在确保等可能性中的重要性。然后，我会说：“为了让我们的思考更清晰、不遗漏，我们可以用一种更直观的方式来‘记录’所有可能。”顺势引入列举法的概念。

学生活动：独立思考初步计算，可能产生直觉性答案。在教师追问下，尝试口头列举所有结果，并与同学讨论（正，反）与（反，正）是否相同，理解区分顺序的意义。初步感知系统列举的必要性。

即时评价标准：1.能否清晰地口头描述所有等可能结果？2.在讨论中，能否理解并说明为何要区分两枚硬币（即赋予其顺序或标记）？3.是否表现出对“凭感觉”计算概率的反思？

形成知识、思维、方法清单：★核心概念：列举法是一种通过系统列出所有等可能结果来求概率的方法。▲认知提示：当事件涉及多个对象时，为避免混乱，常通过编号、排序等方式将其视为“可区分的”。★重要原理：确保列举的“等可能性”是正确计算概率的前提。★学科方法：从无序直觉走向有序、系统的分析是数学思维的进步。

###任务二：探究列表法，破解“双转盘”难题

教师活动：“好，现在‘战况’升级了。让我们回到课前的‘双转盘’问题。这两个转盘是同时转动的，我们如何系统分析呢？”我将引导学生将问题数学化：把第一个转盘的颜色结果作为一方，第二个作为另一方。提出任务：“请以小组为单位，设计一种表格，能够清晰、不重不漏地列出所有可能的颜色组合。”巡视指导，对遇到困难的小组提示：“可以想象第一个转盘的结果固定时，第二个转盘有几种可能？”待学生完成后，请一组上台展示他们的列表。我会强调表头的写法（如第一行第一列写“转盘二”，第一列第一行写“转盘一”），并带着学生一起数出所有等可能结果数$n=9$，再找出“同红色”的结果数$m=1$，计算概率$P=\frac{1}{9}$。最后设问：“大家觉得‘恰好抽到一件文具’包含哪几种具体的情况？”

学生活动：小组合作，尝试设计表格来列举两个转盘的所有颜色组合。经历讨论、尝试、修正的过程。观察展示小组的列表，理解表格的构造逻辑（一个因素放行，一个因素放列）。共同完成概率计算，解决导入时的争议。

即时评价标准：1.小组设计的表格表头是否清晰，能否体现两个因素？2.列举结果是否完整、无重复？3.小组成员是否能协作完成，并解释列表的思路？

形成知识、思维、方法清单：★核心技能：列表法。适用于涉及两个要素，且每个要素取值有限的等可能事件。★操作步骤：①设定表头（行、列分别代表一个要素）；②有序填充表格内容（所有交叉点即为一个可能结果）；③统计总数$n$和目标数$m$。▲易错点：列表时两个要素的地位应对等，避免逻辑混乱。★思维方法：将二维组合问题转化为表格的行列交叉，实现思维可视化。

###任务三：引入树状图法，应对“多步骤”事件

教师活动：“列表法很强大，但如果事件有三个步骤呢？比如，现在有个‘闯三关’游戏，每关通过的概率都是$\frac{1}{2}$，我们想求‘恰好通过两关’的概率。列表还方便吗？”引导学生发现列表的局限性。此时，我会介绍另一种强大的工具：“像这样分步骤进行的事件，我们可以用‘树状图’来刻画。”我在黑板上示范画树状图：从“起点”出发，第一层画出两个分支（通过、未过），分别对应第一步的两种结果；从每个分支末端再画出第二层的两个分支……以此类推。边画边讲解：“每个分支代表一种可能，从起点到终点的一条路径，就是一个完整的结果。”画完后，带领学生一起数出所有路径（结果）共8条。再引导学生找出“恰好通过两关”的所有路径（如“过、过、未”、“过、未、过”、“未、过、过”），共3条，计算概率$P=\frac{3}{8}$。我会问：“从树状图上，你能看出求概率的公式$P=\frac{m}{n}$中，$m$和$n$分别对应什么吗？”（n是路径总数，m是符合条件路径数）。

学生活动：感受列表法处理三步事件的困难，产生对新方法的需求。观察教师绘制树状图的过程，理解其“分步展开、层层递进”的逻辑。跟随教师一起数路径、找目标路径，完成概率计算。思考并回答教师关于$m$、$n$含义的提问，深化对树状图价值的理解。

即时评价标准：1.能否安静、专注地观察树状图的绘制过程？2.能否准确指出某一条具体路径所代表的事件？3.能否独立在树状图上数出所有等可能结果的数目？

形成知识、思维、方法清单：★核心技能：画树状图法。特别适用于分步、有序的等可能事件。★操作步骤：①明确步骤数；②从起点开始，分步画出所有可能的选择（分支）；③直至最后一步，得到所有可能路径（结果）。★思维方法：运用“分步乘法计数原理”的直观体现，将复杂过程分解为一系列简单选择。▲应用实例：比赛赛程分析、多次抽取问题等。

###任务四：方法对比与优化选择

教师活动：出示一组对比练习题：（1）从A、B两名男生和C、D两名女生中随机选两人参加活动，求恰好一男一女的概率。（2）连续抛掷一枚硬币两次，求一次正面一次反面的概率。组织学生先独立思考用哪种方法，再小组交流。“大家发现了吗？同样求‘一男一女’或‘一正一反’，为什么第一题用列表或树状图时，要把人或者硬币看成有顺序的，而第二题我们之前讨论硬币时也强调了顺序？这里面的道理是什么？”引导学生深入讨论“等可能性”的保证机制。最后，与学生共同总结选择方法的“口诀”：“两步因素可列表，分步有序画树好。等可能性命根子，有序思考不能少。”

学生活动：独立审题，初步选择认为合适的方法。在小组内交流自己的选择理由，倾听他人见解，可能对同一题目产生方法争议。在教师引导下，深入思考“为什么有时要区分顺序、有时不用”的本质原因（确保每个基本事件等可能）。参与总结方法的适用情境。

即时评价标准：1.选择方法时是否有合理的理由支撑？2.小组讨论中，能否就方法选择进行有依据的辩论？3.能否理解“区分顺序”的本质目的是为了构造等可能的基本事件组？

形成知识、思维、方法清单：★方法选择策略：列表法与树状图法并无绝对优劣，关键在于问题特征。要素明确、二维关联强时列表直观；步骤清晰、过程序贯时树状图清晰。★学科本质：列举法的核心是构造一个所有结果“等可能”的样本空间。人为地“编号”、“排序”是构造等可能样本空间的常用技术手段。★易错点警示：切忌机械套用方法，必须首先判断事件是否满足“等可能性”前提。▲高阶思维：列举法是古典概型计算的“机械化”方法，其背后是分类、分步计数原理。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式练习题，通过即时反馈促进知识内化。

1.基础层（直接应用）：“一个不透明的袋子中装有红、白小球各一个，除颜色外无差别。随机摸出一个小球，放回，再随机摸出一个。用列表法求两次都摸到红球的概率。”（设计意图：巩固有放回情境下的列表法应用

）

2.综合层（情境应用）：“‘石头、剪刀、布’游戏中，甲乙两人同时随机出手势。求甲获胜的概率。”（设计意图：在新颖情境中应用列举法，需学生自己构建模型

）

3.挑战层（开放探究）：“设计一个概率为$\frac{1}{4}$的抽奖游戏规则，并用树状图说明其合理性。”（设计意图：逆向思维，考查对概率计算原理的深度理解与创造性应用

）

反馈机制：学生独立完成后，小组内互查基础层和综合层答案。教师利用实物投影展示具有代表性的解答过程（包括正确范例和典型错误），重点讲评如何规范列表/画图、如何确保等可能性的分析。对于挑战层，鼓励学生自愿展示设计，并引导全班从“等可能性”和“计算准确性”角度进行评价。

第四、课堂小结

1.知识整合：“同学们，今天我们共同装备了两件解决概率问题的‘利器’。谁能用一句话说说它们各自最擅长对付什么样的‘敌人’？”引导学生回顾列表法与树状图法的适用情境。邀请学生尝试用简易的思维导图在黑板上梳理本节课的知识结构：中心是“列举法求概率”，分支为“列表法”（特点、步骤、例题）、“树状图法”（特点、步骤、例题），以及共同的“前提：等可能”、“核心：有序不重漏”。

2.方法提炼：“回顾我们解决问题的过程，最关键的一步是什么？（停顿）对，是‘分析事件结构’，判断它是几步、要素之间是什么关系。这比直接动笔计算更重要。我们学到了‘有序’这个强大的思维武器。”

3.作业布置与延伸：“必做作业：完成学习任务单上的基础练习题和一道综合应用题。选做作业（二选一）：1.探究‘不放回’抽取与‘放回’抽取在列举时有何不同？2.寻找一个生活中的概率问题，用今天所学进行分析。下节课，我们将带着对这些问题的思考，进一步探索概率的奥秘。”

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

(1)教科书对应章节的课后基础练习题。

(2)从分别标有数字1,2,3的三张卡片中随机抽取一张后放回，再随机抽取一张。用列表法求抽取的两张卡片数字之和为偶数的概率。

(3)用树状图法求抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面的概率。

2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

小明有一个可以转动的圆形转盘，转盘被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字1,2,3,4。小红有一个不透明的袋子，里面装有两个乒乓球，一个标有数字5，一个标有数字6。小明转动转盘一次，记录指针指向的数字；小红从袋中随机摸出一个乒乓球，记录其数字。请用你擅长的方法，计算两人记录的数字之和大于7的概率。

3.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

项目小探究：三人玩“手心手背”游戏（每次每人随机出手心或手背）。请探究：

(1)一次游戏中，三人出手结果完全相同的概率是多少？

(2)是否存在一种“胜负规则”，使得游戏对每个人是公平的（即每人获胜的概率相等）？如果存在，请说明规则并用列举法验证；如果不存在，请阐述理由。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.列举法的定义：通过列出所有等可能的结果（样本点），进而计算事件概率的方法。它是古典概型概率计算的实现手段。

★2.列表法：当一次试验涉及两个因素（如两次抽取、两个转盘），且每个因素可能取值数目有限时，采用行、列对应的表格列出所有可能组合。关键：表头设计要清晰对应两个因素。

★3.画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上步骤（分步进行）时，采用从起点开始分支展开的树形图列出所有可能路径。关键：每一步的分支代表该步所有等可能选择。

★4.等可能性前提：使用列举法求概率，必须确保所列出的每一个基本事件发生的可能性完全相同。这是正确应用古典概型公式$P(A)=\frac{m}{n}$的生命线。

▲5.“有序”思考的价值：对试验对象进行编号、排序（如区分第一枚硬币和第二枚硬币），是人为构造等可能样本空间的有效策略。避免因忽视顺序而导致基本事件概率不均等。

★6.概率计算步骤：①审题，判断是否满足等可能性；②选择合适方法（列表/树状图）列举所有等可能结果$n$；③在列举结果中找出事件A包含的结果数$m$；④代入公式$P(A)=\frac{m}{n}$计算。

★7.列表法与树状图法对比：列表法结果呈现集中，适合二维组合；树状图过程展现清晰，适合多步序贯。两者本质相通，皆为实现“不重不漏”枚举。

▲8.常见误区——忽视“等可能”：典型错误如认为“出生在星期一至星期日”是等可能的（实际出生率有差异），或未对不可区分对象做标记导致列举结果不等可能。

★9.考点聚焦：中考中常以选择题、填空题形式直接考查用列举法求概率的计算；以解答题形式结合实际问题（如游戏公平性、抽奖规则设计）考查方法的应用与说理。

▲10.不放回抽取与放回抽取：放回抽取，每次试验条件不变，可用列表或树状图。不放回抽取，样本空间随抽取变化，列表时需注意剔除不可能的组合（如自己与自己组合），或使用后续将学的更系统的计数方法。

▲11.树状图中的“层”与“枝”：“层数”对应试验的步骤数；从同一点出发的“分支数”对应该步骤的可能情况数；所有可能结果（路径）总数等于各步分支数的乘积（乘法原理）。

★12.概率的验证意义：理论计算得到的概率值，是对大量重复试验中频率稳定值的预测。可以通过（如用计算机模拟）大量重复试验进行近似验证，感受理论值与实验值的趋近关系。

八、教学反思

一、教学目标达成度分析

假设的课堂教学后测显示，超过85%的学生能独立、规范地运用列表法或树状图法解决两步等可能事件的概率问题，表明知识技能目标基本达成。在解决“石头剪刀布”游戏获胜概率问题时，约70%的学生能主动构建列表模型，体现了模型应用能力的初步形成。然而，在挑战性作业（设计游戏规则）中，部分学生仅关注数字设计而忽略了对“等可能性”的论证，说明对概率本质的理解深度存在分化，情感态度目标中的“理性精神”需长期浸润。

二、教学环节有效性评估

导入环节的“双转盘”争议成功制造了认知冲突，有效激发了探究欲。学生从“感觉”到“求证”的心理转变明显。新授环节的四个任务构成了逻辑闭环：任务一从“无序”到“有序”的转折是关键铺垫；任务二、三中，教师示范与学生探究相结合，脚手架搭建适度；任务四的方法对比讨论是思维升华点，但实际课堂讨论时间可能不足，部分学生仍停留在方法“形式”选择，未深入“为何如此选择”的机理。巩固训练的分层设计照顾了差异，但挑战题展示环节因时间所限，未能让更多学生分享其创意设计，略感遗憾。

三、学生表现的深度剖析

在小组活动中，基础薄弱的学生在“半结构化表格”的辅助下，能顺利完成任务二，获得了成功体验，增强了信心。他们的主要困难在于从具体操作到抽象方法的归纳（如自己总结列表步骤）。中等层次学生是课堂最活跃的群体，能较快掌握方法，并在任务四的讨论中贡献主要观点。学有余力者则在“探究不放回抽取”的思考中表现出前瞻性，个别学生甚至自发提出了“是否可以用字母和数字的组合来代表所有可能结果”的符号化想法，这是超出预设的生成性火花，应在后续课中予以鼓励和拓展。对于个别始终游离在小组边缘的学生，观察发现他们并非