第5章 分式（7类题型突破）【浙教】七下数学专题复习

第5章《分式》题型突破重要题型题型一分式的定义、分式有意义及分式的值为零的条件【例1】．（2022春•龙岗区校级期中）在代数式a+，，，，中，分式的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【例2】．（2024•上城区校级模拟）下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．【例3】．（2023春•锡山区校级期中）若分式无意义，则x的值为．【例4】．（2023秋•和田地区期末）如果分式的值为零，那么x＝．巩固训练1．（2023春•嵊州市期末）下列四个代数式1，π，x2﹣1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为（只需写出一个即可）．2．（2024•新昌县一模）若分式有意义，则x的取值范围是．3．（2023•龙港市二模）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2 B．0 C． D．14．求当x取何值时，分式：（1）有意义？（2）无意义？（3）分式的值为零？题型二分式的基本性质与分式的约分、通分【例1】．（2023秋•端州区期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定【例2】．（2023秋•崇川区期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A． B． C． D．【例3】．（2023秋•怀仁市期末）下列约分结果正确的是（）A． B．＝x﹣y C．＝﹣m+1 D．【例4】．（2023春•海曙区校级期末）为整数，符合条件的整数x的个数是（）A．1 B．2 C．4 D．5【例5】．（2023秋•凉州区期末）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【例6】．（2023秋•石河子校级期末）把，，通分的过程中，不正确的是（）A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D．【例7】．（2021春•奉化区校级期末）下列说法正确的是（）A．形如的式子叫分式 B．分式不是最简分式 C．分式与的最简公分母是a3b2 D．当x≠3时，分式有意义【例8】．（2023秋•连山区期末）已知3a﹣b＝0（b≠0），则分式的值为3．巩固训练1．（2023秋•信州区期末）下列各式中，正确的是（）A．﹣＝ B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝2．（2022春•北仑区期末）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（）A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定3．（2023•海曙区一模）对于分式，下列说法错误的是（）A．当x＝2时，分式的值为0 B．当x＝3时，分式无意义 C．当x＞2时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为14．（2023秋•长安区校级月考）化简﹣的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．1﹣x D．﹣x﹣15．（2016春•固镇县期末）分式，，的最简公分母是（）A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1） C．a2+1 D．（a﹣1）46．（2023春•镇海区校级期末）已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为．7．（2023秋•鹤城区校级期末）约分：（1）＝；（2）＝．8．（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则＝，＝．9．（2023春•萧山区期末）已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．题型三分式的乘除法运算【例1】．（2023•龙港市二模）计算：＝．【例2】．（2023秋•西湖区校级期中）一列数a1，a2，a3，⋯，an，其中a1＝﹣3，a2＝，a3＝，⋯，an＝，则a1×a2×a3×⋯×a2023＝；a1+a2+a3+⋯+a37＝．【例3】．（2023春•诸暨市期中）计算（1）；（2）．巩固训练1．（2023•鹿城区校级模拟）计算：＝．2．（2022春•嘉兴期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，2r的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为.（结果保留π，球体积公式V＝πr3）．3．（2022春•鄞州区校级期中）化简：÷（a2﹣1）＝．4．（2022春•余杭区月考）计算：（1）；（2）．题型四分式的加减运算【例1】．（2024•贵州一模）化简的结果是（）A． B． C． D．【例2】．（2022秋•东莞市期末）设p＝，q＝，则p，q的关系是（）A．p＝q B．p＞q C．p+q＝0 D．p＜q【例3】．（2023秋•玉环市期末）已知，则x2﹣y2＝．【例4】．（2023春•乐平市期末）计算：+的结果是．【例5】．（2023春•内乡县月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式来表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，已知f，u，则v＝．【例6】．（2023•西湖区校级三模）以下是圆圆同学化简的解答过程：解：原式＝圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【例7】．（2023秋•椒江区月考）【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．例如分式，，∵，，∴B是A的“关联分式”．【解决问题】（1）已知分式，，请直接判断B是不是A的“关联分式”？（2）求分式的“关联分式”；【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，直接写出分式的“关联分式”：．巩固训练1．（2023•金东区一模）化简的结果是（）A． B．0 C．2 D．2．（2023•西湖区校级模拟）在物理并联电路里，支路电阻R1、R2与总电阻R之间的关系式为＝+，若R≠R1，用R、R1表示R2正确的是（）A．R2＝ B．R2＝ C．R2＝ D．R2＝3．（2023春•柯桥区期末）对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝44．（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（）A．是的“3分式” B．若a的值为﹣3，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则a2＝3b2 D．若a与b互为倒数，则是的“5分式”5．（2023•武昌区模拟）计算的结果是．6．（2023•淳安县一模）计算：＝．7．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．8．（2023春•宁波期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题：（1）因式分解：（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝；（2）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2024）×（2+3+…+2023）＝；（3）已知．①若，求m的值；②计算：a6+8a﹣2＝．题型五分式的混合运算及化简求值【例1】．（2023秋•玉环市期末）化简的结果是（）A．﹣x﹣y B． C．x+y D．【例2】．（2023•滨江区校级模拟）已知公式u＝（u≠0），则公式变形后t等于（）A． B． C． D．【例3】．（2023春•余姚市期末）按顺序排列的若干个数：x1，x2，x3，…，x（n是正整数），从第二个数x2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x2＝，x3＝…，下列选项正确的是（）①若x2＝5，则x7＝；②若x1＝2，则x1+x2+x3+⋯+x203＝1013；③若（x1+1）（x2+1）x6＝﹣1，则x1＝；A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①②③都正确【例4】．（2023秋•鄞州区月考）若a+b＝2012，b≠a+1，则的值等于（）A．2012 B．2011 C． D．【例5】．（2023秋•鄞州区月考）已知a+x2＝2011，b+x2＝2012，c+x2＝2013，且abc＝24，则＝．【例6】．（2022秋•房县期末）计算：（）÷．【例7】．（2023•三明二模）化简代数式，然后判断它的值能否等于﹣1，并说明理由．【例8】．（2023秋•泗水县期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是；（2）请你书写正确的化简过程，并在“﹣1，0，1”中选择一个合适的数代入求值．【例9】．（2023秋•玉环市期末）先化简，再求值：，其中x＝1．【例10】．（2023秋•台州期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，请你从﹣2，﹣1，0，1中选取适当的数代入求值．【例11】．（2024•杭州模拟）先化简，然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．【例12】．（2024春•宁波月考）（1）已知a2﹣7a﹣1＝0，求的值．（2）已知，先化简再求值：．巩固训练1．（2022春•鄞州区校级期中）化简（a﹣）÷的结果是（）A．a﹣b B．a+b C． D．2．（2023秋•鄞州区月考）若x2﹣12x+1＝0，则的个位数字是．3．（2023•宁波模拟）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为．4．（2023春•乐清市期中）已知x2+2x+1＝0，则x+＝．5．（2023•雷州市三模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．6．（2023•海宁市校级一模）计算：．7．（2023春•东阳市期中）化简：（）．8．（2023•杭州二模）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：（1）老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第步开始出现错误；乙同学的解答从第步开始出现错误；（2）请重新写出此题的正确解答过程．甲同学乙同学﹣＝﹣第一步＝第二步＝第三步﹣＝﹣第一步＝2x﹣2﹣x﹣5第二步＝x﹣7第三步9．（2022春•钱塘区期末）如图，A种小麦试验田是边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；B种小麦试验田是边长为（a+b）的正方形．（1）设两块试验田都收获了m（kg）小麦，求A，B两种小麦单位面积产量的比．（2）当a＝2b时，A，B两种小麦单位面积产量哪个较大？（3）若A，B两种小麦单位面积产量相同，求a，b满足的关系式．10．（2024•宁波模拟）先化简，再在﹣3＜x＜2里选一个你喜欢的整数代入求值．11．（2024•瓯海区模拟）先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m＝．12．（2024•镇海区校级模拟）已知，求的值．题型六分式方程的解法【例1】．（2023秋•台州期末）分式方程的解为．【例2】．（2023秋•武威期末）若关于x的方程有增根，则m的值是．【例3】．（2024•浙江一模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母得：2x+3﹣1＝﹣（x﹣1）…①，去括号得：2x+3﹣1＝﹣x+1…②，移项得：2x+x＝1+1﹣3…③，合并同类项得：3x＝﹣1…④，系数化为1得：x＝…⑤，∴x＝是原分式方程的解．【例4】．（2023秋•浉河区期末）（1）计算：（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）2．（2）解方程：．【例5】．（2023秋•婺城区校级期中）解方程：．巩固训练1．（2023秋•柳州期末）解方程：．2．（2023•沙湾区模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．1 B． C．1或 D．以上都不是3．（2023秋•宁江区期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣3的解为．题型七分式方程应用题【例1】．（2024•上城区校级模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A．10x＝40（x+6） B．10（x﹣6）＝40x C． D．【例2】．（2023秋•淮滨县期末）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（）A．﹣＝6 B．﹣＝6 C．﹣＝6 D．﹣＝6【例3】．（2023•温州校级开学）某车间需加工某工件560个，为更快完工，在原计划基础上再增调一批工人，增调人员后该车间每小时比原计划多加工60个工件，且能提早3小时完成任务，设原计划该车间每小时可加工x个工件，则可列方程（）A． B． C． D．【例4】．（2023春•诸暨市期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．甲种糖乙种糖丙种糖千克数201020单价（元/千克）152025商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖千克．【例5】．（2023秋•玉环市期末）玉环着力打响“鲜玉奇缘”区域公用品牌，助力农旅产业转型升级．其中玉环文旦是一张闪亮的名片．“鲜玉奇缘”品牌推介会在浙江杭州国际博览中心举办，某文旦基地需要从玉环寄出3种大小的文旦各100个进行展览销售．某快递公司有一种“生鲜快递”模式，规定：从玉环寄送文旦到江浙沪地区有两种方式，如表：快递方式规定单价方式1重量不超过12千克0.5元/千克重量超过12千克超出部分按照1元/千克方式2一箱4个文旦10元/箱注：①方式1的快递初始寄送费为4.5元，方式2没有初始寄送费；②寄送过程中，不足1千克的按1千克计算；③为了方便售卖，不同大小的文旦不能混装寄送．其中3种文旦的基本信息如下：成本（元/个）均重（千克）售价（元/个）小果24232中果302.5a大果363a+15（1）用10800元购买文旦中果的个数和用14400元购买文旦大果的个数相同，求a的值；（2）小牛想要给在江苏的朋友寄13个小果文旦尝尝，请通过计算，帮助他选择一种寄送费用最少的寄送方式；（3）请你为此次展览设计寄送方案，使文旦基地获得的利润最大．巩固训练1．（2023秋•扶余市期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（）A． B． C． D．2．（2023•西湖区校级模拟）为了顺利迎接2023年亚运会，杭州市进一步加快了城市建设，并致力于打造各地亚运会场馆．某建设团队在打造场馆时需铺设一条长600米的水管，计划用若干天完成，在实际建设过程中，每天铺设长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，该团队原计划每天铺设水管多少米？设原计划每天铺设水管x米，根据题意可列方程为（）A． B． C． D．3．（2024•巧家县模拟）2023年台州马拉松比赛于12月3日举行，各位跑友齐聚山海水城、和合圣地，以跑者之势再现力量之美．小明参与“半程马拉松”（约21km）项目，前10km以平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态提升，以1.2vkm/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前11min到达目的地．求小明前10km的平均速度．4．（2023春•嘉兴期末）甲、乙两小区准备安装A、B两款智能快递柜，每个B款能满足快递需求人数比A款多20人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人．如果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装B款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同．（1）设每个A款能满足快递需求人数为m人，求m的值．（2）如果甲小区安装A款和B款智能快递柜共7个，其中安装A款的个数比安装B款的2倍还多1个，分别求甲小区A款和B款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求．（3）已知购买A款需6000元/个，购买B款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由．

第5章《分式》题型突破重要题型题型一分式的定义、分式有意义及分式的值为零的条件【例1】．（2022春•龙岗区校级期中）在代数式a+，，，，中，分式的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．【解答】解：在式子a+，，的分母中含有字母，都是分式，共有3个．故选：B．【例2】．（2024•上城区校级模拟）下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：A．x2+2≠0，故本选项符合题意；B．x2≥0，故本选项不符合题意；C．a2+a＝（a）2﹣≥﹣，故本选项不符合题意；D．y﹣1为全体实数，故本选项不符合题意；故选：A．【例3】．（2023春•锡山区校级期中）若分式无意义，则x的值为2．【分析】根据分式的分母为0，分式无意义，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．【例4】．（2023秋•和田地区期末）如果分式的值为零，那么x＝3．【分析】直接利用分式的值为零，分子的值为零，同时分母的值不为零，可得，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴，即，解得x＝3．故答案为：3．巩固训练1．（2023春•嵊州市期末）下列四个代数式1，π，x2﹣1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为（答案不唯一）（只需写出一个即可）．【分析】根据分式的定义写出一个分式即可．【解答】解：分式为．故答案为：（答案不唯一）．2．（2024•新昌县一模）若分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣5．【分析】分式有意义，分母不为零．【解答】解：根据题意，得x+5≠0，解得，x≠﹣5；故答案为：x≠﹣5．3．（2023•龙港市二模）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2 B．0 C． D．1【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．【解答】解：由题意得：x+2＝0且2x﹣1≠0，解得：x＝﹣2，故选：A．4．求当x取何值时，分式：（1）有意义？（2）无意义？（3）分式的值为零？【分析】（1）根据分式有意义，分母不等于零，进而求出即可；（2）根据分式无意义，即分母等于零，求出即可；（3）分式的值等于零：即分子等于零，分母不等于0，求出即可．【解答】解：（1）∵分式有意义，则分母不能为0，∴x﹣2≠0且x+3≠0，∴x≠2且x≠﹣3；（2））∵分式无意义，则分母为0，∴x﹣2＝0或x+3＝0，∴x＝2或x＝﹣3；（3））∵分式的值为零，则分子为0，分母不等于0，∴x﹣4＝0，x≠2且x≠﹣3，解得：x＝4．题型二分式的基本性质与分式的约分、通分【例1】．（2023秋•端州区期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：＝＝，则分式的值扩大为原来的2倍．故选：A．【例2】．（2023秋•崇川区期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A． B． C． D．【分析】根据分式的性质：分式的分子、分母异号得负，可得答案．【解答】解：∵＝﹣，故选：C．【例3】．（2023秋•怀仁市期末）下列约分结果正确的是（）A． B．＝x﹣y C．＝﹣m+1 D．【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．【解答】解：A、，错误；B、，错误；C、＝﹣＝﹣m+1，正确；D、分式的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误．故选：C．【例4】．（2023春•海曙区校级期末）为整数，符合条件的整数x的个数是（）A．1 B．2 C．4 D．5【分析】当x≥0时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得x＝0或x＝4；同理当x＜0时，可得为整数，求出x＝0（舍去）；由此即可得到答案．【解答】解：当x≥0时，，∵为整数，∴为整数，∴x+1＝1或x+1＝5，∴x＝0或x＝4；当x＜0时，，∵为整数，∴为整数，∴﹣x+1＝1，﹣x+1＝﹣1∴x＝0（舍去）；x＝2（舍去），综上所述，x＝0或x＝4；故选：B．【例5】．（2023秋•凉州区期末）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义：分式分子分母除了1以外，没有其他的公因式，判断即可．【解答】解：A、原式＝，不符合题意；B、原式为最简分式，符合题意；C、原式＝＝，不符合题意；D、原式＝＝，不符合题意．故选：B．【例6】．（2023秋•石河子校级期末）把，，通分的过程中，不正确的是（）A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D．【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确，不符合题意；B、通分正确，不符合题意；C、通分正确，不符合题意；D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4，符合题意；故选：D．【例7】．（2021春•奉化区校级期末）下列说法正确的是（）A．形如的式子叫分式 B．分式不是最简分式 C．分式与的最简公分母是a3b2 D．当x≠3时，分式有意义【分析】根据分式的定义，最简分式，最简公分母的计算方法以及分式有意义的条件解答．【解答】解：A、B中含有字母的式子才是分式，故本选项不符合题意．B、分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故本选项不符合题意．C、分式与的最简公分母是a2b，故本选项不符合题意．D、x≠3时，分子x﹣3≠0，分式有意义，故本选项符合题意．故选：D．【例8】．（2023秋•连山区期末）已知3a﹣b＝0（b≠0），则分式的值为3．【分析】将3a﹣b＝0（b≠0）进行变式即3a＝b，再将3a＝b代入分式即可求解．【解答】解：∵3a﹣b＝0∴3a＝b，将3a＝b代入分式，得到＝＝3故答案为：3．巩固训练1．（2023秋•信州区期末）下列各式中，正确的是（）A．﹣＝ B．﹣＝ C．﹣＝ D．＝【分析】根据等式的性质即可一一判断．【解答】解：A、﹣＝，故本选项不符合题意；B、﹣＝，故本选项不符合题意；C、﹣＝，故本选项符合题意；D、＝，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2022春•北仑区期末）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（）A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍得：＝＝×，故选：B．3．（2023•海曙区一模）对于分式，下列说法错误的是（）A．当x＝2时，分式的值为0 B．当x＝3时，分式无意义 C．当x＞2时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1【分析】根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值的求解分别判断即可．【解答】解：当x＝2时，2﹣x＝0，2x﹣6＝﹣2≠0，所以当x＝2时，分式的值为0，故A不符合题意；当x＝3时，2x﹣6＝6﹣6＝0，所以当x＝3时，分式无意义，故B不符合题意；当x＞2时，2﹣x＜0，2x﹣6＞﹣2，所以分式的值有可能为正数，有可能为负数，有可能无意义，故C选项符合题意；当x＝时，＝1，所以当x＝时，分式的值为1，故D不符合题意，故选：C．4．（2023秋•长安区校级月考）化简﹣的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．1﹣x D．﹣x﹣1【分析】根据分式的性质，乘法公式进行化简即可求解．【解答】解：，故选：A．5．（2016春•固镇县期末）分式，，的最简公分母是（）A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1） C．a2+1 D．（a﹣1）4【分析】利用最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母或整式的最高次幂，所有不同字母或整式都写在积里求解即可．【解答】解：＝，，＝，所以分式，，的最简公分母是（a﹣1）2（a+1）2．即（a2﹣1）2故选：A．6．（2023春•镇海区校级期末）已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为6．【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵＝2，∴＝＝＝6，故答案为：6．7．（2023秋•鹤城区校级期末）约分：（1）＝；（2）＝x﹣4．【分析】根据分式的基本性质对分式进行约分即可得到结论．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝x﹣4．故答案为：（1）；（2）x﹣4．8．（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则＝，＝．【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．【解答】解：＝，＝．故答案为：，．9．（2023春•萧山区期末）已知三个整式x2+4x，4x+4，x2．（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可【解答】解：（1）x2+（4x+4）＝（x+2）2或x2+（x2+4x）＝2x2+4x＝2x（x+2）；（2）＝＝或＝＝．题型三分式的乘除法运算【例1】．（2023•龙港市二模）计算：＝2a．【分析】利用分式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝2a．故答案为：2a．【例2】．（2023秋•西湖区校级期中）一列数a1，a2，a3，⋯，an，其中a1＝﹣3，a2＝，a3＝，⋯，an＝，则a1×a2×a3×⋯×a2023＝2022；a1+a2+a3+⋯+a37＝﹣20．【分析】求出a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣3，再根据求出的结果得出规律，再根据求出的规律进行计算即可．【解答】解：∵a1＝﹣3，∴a2＝＝＝，∴a3＝＝＝，∴a4＝＝＝﹣3，......，∵2023÷3＝674......1，37÷3＝12......1，∴a1×a2×a3×⋯×a2023＝674×[（﹣3）××]×（﹣3）＝674×（﹣1）×（﹣3）＝2022，a1+a2+a3+⋯+a37＝12×（﹣3++）+（﹣3）＝﹣20．故答案为：﹣20．【例3】．（2023春•诸暨市期中）计算（1）；（2）．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝9﹣8﹣1＝0；（2）原式＝••＝a+1．巩固训练1．（2023•鹿城区校级模拟）计算：＝y．【分析】先把前面分式的分子、分母因式分解，再约分，再根据分式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝y，故答案为：y．2．（2022春•嘉兴期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，2r的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为.（结果保留π，球体积公式V＝πr3）．【分析】先确定小球的总数量，然后计算出小球的总体积和纸箱的容积，最后计算二者的比，即为所求的纸盒的空间利用率．【解答】解：∵长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，∴长方体的长边放置的球的数量＝，长方体的宽边放置的球的数量＝，∴小球的数量＝•＝，∴小球的总体积＝•πr3＝，纸箱容积＝a•b•2r＝2abr，∴纸盒的空间利用率＝＝＝•＝．故答案为：．3．（2022春•鄞州区校级期中）化简：÷（a2﹣1）＝．【分析】利用分式的除法法则运算，最后化简即可．【解答】解：原式＝＝，故答案为：．4．（2022春•余杭区月考）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）根据分式的除法法则可以解答本题．【解答】（本题满分6分）解：（1）＝÷（﹣8）＝﹣×＝﹣；（2）＝÷＝÷＝×＝．题型四分式的加减运算【例1】．（2024•贵州一模）化简的结果是（）A． B． C． D．【分析】利用分式的减法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，故选：D．【例2】．（2022秋•东莞市期末）设p＝，q＝，则p，q的关系是（）A．p＝q B．p＞q C．p+q＝0 D．p＜q【分析】把两个式子进行相加运算，从而可得结果．【解答】解：∵p＝，q＝，∴p+q＝+＝＝1﹣1＝0，即p+q＝0．故选：C．【例3】．（2023秋•玉环市期末）已知，则x2﹣y2＝．【分析】先根据已知条件，把分式通分，求出x+y，再利用完全平方公式求出x2+y2，x﹣y，最后把所求代数式分解因式，再把x+y和x﹣y的值代入计算即可．【解答】解：∵，∴，，，x+y＝4，∴（x+y）2＝16，x2+y2+2xy＝16，x2+y2＝12，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝12﹣2×2＝12﹣4＝8，∴，∴当时，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝＝，当时，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝＝，综上可知：，故答案为：．【例4】．（2023春•乐平市期末）计算：+的结果是2．【分析】先将分母变成相同的，然后分母不变，分子相减，再约分化简可得结果．【解答】解：+＝＝＝＝2．故答案为：2．【例5】．（2023春•内乡县月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式来表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，已知f，u，则v＝．【分析】通过移项，先求出＝，再由分式的基本性质，可得v＝，即可求解．【解答】解：∵，∴＝﹣＝，∴v＝，故答案为：．【例6】．（2023•西湖区校级三模）以下是圆圆同学化简的解答过程：解：原式＝圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【分析】按照分式减法的运算法则进行计算并判断即可．【解答】解：有错误，正确过程如下：原式＝﹣＝﹣＝＝＝．【例7】．（2023秋•椒江区月考）【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．例如分式，，∵，，∴B是A的“关联分式”．【解决问题】（1）已知分式，，请直接判断B是不是A的“关联分式”？（2）求分式的“关联分式”；【拓展延伸】（3）观察（1）（2）的结果，直接写出分式的“关联分式”：．【分析】（1）根据“关联分式”的定义验证即可；（2）根据“关联分式”的定义列出等式计算即可；（3）根据“关联分式”的定义列出等式计算即可．【解答】解：（1）∵A﹣B＝＝＝＝，AB＝＝，∴A﹣B＝AB，∴B是A的“关联分式”；（2）设分式的“关联分式”为M，根据新定义得：，M＝，∴分式的“关联分式”为；（3）设分式的“关联分式”为N，根据新定义得：﹣N＝，解得：N＝，故答案为：．巩固训练1．（2023•金东区一模）化简的结果是（）A． B．0 C．2 D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式＝＝，故选：A．2．（2023•西湖区校级模拟）在物理并联电路里，支路电阻R1、R2与总电阻R之间的关系式为＝+，若R≠R1，用R、R1表示R2正确的是（）A．R2＝ B．R2＝ C．R2＝ D．R2＝【分析】原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可用R1表示R2．【解答】解：＝+，＝﹣，＝，得R2＝．故选：B．3．（2023春•柯桥区期末）对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【分析】先计算+＝，根据＝+得，解之可得．【解答】解：+＝＝，∴，解得：，故选：B．4．（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（）A．是的“3分式” B．若a的值为﹣3，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则a2＝3b2 D．若a与b互为倒数，则是的“5分式”【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可．【解答】解：A、，A说法正确；B、，B说法正确；C、由已知条件得：，化简得：a2＝2b2，C说法错误；D、由已知得：ab＝1，，D说法正确．故选：C．5．（2023•武昌区模拟）计算的结果是．【分析】根据分式混合运算法则化简即可得到答案．【解答】解：＝﹣＝﹣＝＝＝＝．故答案为：．6．（2023•淳安县一模）计算：＝．【分析】确定最简公分母为ab，通分后计算即可．【解答】解：＝+＝．7．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．【分析】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4＝12；（2）原式＝＝＝a﹣1．8．（2023春•宁波期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题：（1）因式分解：（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x﹣1）4；（2）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2024）×（2+3+…+2023）＝2024；（3）已知．①若，求m的值；②计算：a6+8a﹣2＝21．【分析】（1）将（x2﹣2x）看成一个整体，令（x2﹣2x）＝y，代入计算即可；（2）将（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2021）看成一个整体，令（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2021）＝x，将（2+3+⋯+2022）看成一个整体，令（2+3+⋯+2022）＝y，代入计算即可；（3）由已知推出，，①分子分母同除以a2，再化简求解即可；②将原式整理，将代入得到，再整理再代入得到，进一步计算即可求解．【解答】解：（1）将（x2﹣2x）看成一个整体，令（x2﹣2x）＝y，则（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4；故答案为：（x﹣1）4；（2）将（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023）看成一个整体，令（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023）＝x，将（2+3+⋯+2024）看成一个整体，令（2+3+⋯+2024）＝y，则（1﹣2﹣3﹣⋅⋅⋅﹣2023）×（2+3+⋅⋅⋅+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣⋅⋅⋅﹣2024）×（2+3+⋅⋅⋅+2023）＝xy﹣（x﹣2024）（y﹣2024）＝2024（x+y﹣2024）＝2024（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023+2+3+⋯+2024﹣2024）＝2024；故答案为：2024；（3）∵，∴，即，∴，，①∵，a2≠0，∴，即，∴，∴m＝﹣15，经检验，m＝﹣15是方程的解；②＝＝＝＝＝＝21．题型五分式的混合运算及化简求值【例1】．（2023秋•玉环市期末）化简的结果是（）A．﹣x﹣y B． C．x+y D．【分析】先通分算括号内的，再把分子，分母分解因式约分．【解答】解：原式＝•＝•＝﹣x﹣y；故选：A．【例2】．（2023•滨江区校级模拟）已知公式u＝（u≠0），则公式变形后t等于（）A． B． C． D．【分析】先两边都乘以t﹣1，再将左边的﹣u移到右边，最后两边都除以u即可得．【解答】解：∵u＝（u≠0），∴ut﹣u＝S1﹣S2，∴ut＝S1﹣S2+u，则t＝，故选：B．【例3】．（2023春•余姚市期末）按顺序排列的若干个数：x1，x2，x3，…，x（n是正整数），从第二个数x2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x2＝，x3＝…，下列选项正确的是（）①若x2＝5，则x7＝；②若x1＝2，则x1+x2+x3+⋯+x203＝1013；③若（x1+1）（x2+1）x6＝﹣1，则x1＝；A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①②③都正确【分析】利用题干的规定：设x1＝a，则x2＝，x3＝，x4＝a，……，得到x1，x2，x3，……，xn，（n是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，，，利用此规律对每个说法进行判断即可．【解答】解：设x1＝a，则，＝，，x5＝，，x7＝a，……，∴x1，x2，x3，……，xn，（n是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，，，∵7÷3＝2⋯1，∴x7＝x1，若x2＝5，∴，∴，∴，∴说法①正确；若x1＝2，则x2＝﹣1，，∴，∵203÷3＝67…2，∴x1+x2+x3+⋯+x203＝67×+2﹣1＝101.5∴说法②错误；∵6÷3＝2，∴x6＝x3，∵（x1+1）（x2+1）x6＝﹣1，x1＝a，x2＝，x3＝，∴（a+1）（+1）＝﹣1，解得a＝±，经检验，a的值是方程的解，x＝，∴说法③正确．故选：A．【例4】．（2023秋•鄞州区月考）若a+b＝2012，b≠a+1，则的值等于（）A．2012 B．2011 C． D．【分析】先对所求分式的分子、分母因式分解，再约分，最后把a+b的值整体代入计算即可．【解答】解：∵b≠a+1，原式＝＝，当a+b＝2012时，原式＝＝，故选：D．【例5】．（2023秋•鄞州区月考）已知a+x2＝2011，b+x2＝2012，c+x2＝2013，且abc＝24，则＝．【分析】由a+x2＝2011，b+x2＝2012，c+x2＝2013分别表示出x2，可用a表示出b和c，然后将所求的式子通分后，利用同分母分式的加减法则计算后，将表示出的b和c，以及abc的值代入，分子利用完全平方公式及多项式乘以多项式，单项式乘以多项式计算合并后即可得到原式的值．【解答】解：∵a+x2＝2011，b+x2＝2012，c+x2＝2013，∴2011﹣a＝2012﹣b＝2013﹣c，∴b＝a+1，c＝a+2，又abc＝24，则＝﹣＝＝＝＝．故答案为：【例6】．（2022秋•房县期末）计算：（）÷．【分析】本题需先对分母进行因式分解，再利用乘法的分配律进行计算即可．【解答】解：原式＝[+]＝＝＝【例7】．（2023•三明二模）化简代数式，然后判断它的值能否等于﹣1，并说明理由．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后令其值为﹣1，求得a的值，再检验即可．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，若＝﹣1，则a＝0，此时＝0，即原式无意义，∴它的值不能为﹣1．【例8】．（2023秋•泗水县期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲；（2）请你书写正确的化简过程，并在“﹣1，0，1”中选择一个合适的数代入求值．【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；（2）利用异分母分式加减法法则先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲，故答案为：甲；（2）（﹣x+1）÷＝•＝•＝，∵x+1≠0，x≠0，∴x≠﹣1，x≠0，∴当x＝1时，原式＝＝﹣1．【例9】．（2023秋•玉环市期末）先化简，再求值：，其中x＝1．【分析】先把括号里面的分式通分后相减，再把各个分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，进行约分化简，最后把x＝1代入化简后的式子进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝，当x＝1时，原式＝1．【例10】．（2023秋•台州期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，请你从﹣2，﹣1，0，1中选取适当的数代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝，∵a+2≠0，a+1≠0，a﹣1≠0，∴a≠﹣2，﹣1，1，∴当a＝0时，原式＝＝2．【例11】．（2024•杭州模拟）先化简，然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从﹣2≤x＜3中选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．【解答】解：＝÷＝•＝•＝，∵﹣2≤x＜3且x为整数，x＝﹣1或±2时，原分式无意义，∴x＝0或1，当x＝0时，原式＝＝1；当x＝1时，原式＝＝．【例12】．（2024春•宁波月考）（1）已知a2﹣7a﹣1＝0，求的值．（2）已知，先化简再求值：．【分析】（1）由a2﹣7a﹣1＝0，得a2﹣7a＝1，a﹣＝7，而＝2（a2﹣7a）++（a﹣）2+2，代入即可求出答案；（2）由﹣＝﹣1，得a+b＝3，而＝+ab＝（a+b）2，代入计算即可．【解答】解：（1）∵a2﹣7a﹣1＝0，∴a2﹣7a＝1，a﹣＝7，∴＝2（a2﹣7a）+a2+＝2×1+（a﹣）2+2＝2+72+2＝2+49+2＝53；（2）∵﹣＝﹣1，∴a+b＝3，∴＝+ab＝+ab＝a2+b2+ab+ab＝（a+b）2＝32＝9．巩固训练1．（2022春•鄞州区校级期中）化简（a﹣）÷的结果是（）A．a﹣b B．a+b C． D．【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝÷＝•＝a﹣b，故选：A．2．（2023秋•鄞州区月考）若x2﹣12x+1＝0，则的个位数字是2．【分析】移项后得出x2+1＝12x，除以x得出x+＝12，平方后得出（x+）2＝122，求出x2+＝142，同理求出x4+＝20162，再求出答案即可．【解答】解：∵x2﹣12x+1＝0，∴x2+1＝12x，除以x，得x+＝12，两边平方得：（x+）2＝122，x2+2•x•+＝144，x2+＝144﹣2＝144﹣2＝142，两边平方得：（x2+）2＝1422，x4+2•x2•+＝20164，∴x4+＝20164﹣2＝20162，即的个位数字是2．故答案为：2．3．（2023•宁波模拟）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为1011．【分析】根据定义新运算可得﹣＝2，从而可得x﹣y＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：∵x*y＝2，∴﹣＝2，∴x﹣y＝2xy，∴＝＝1011，故答案为：1011．4．（2023春•乐清市期中）已知x2+2x+1＝0，则x+＝﹣2．【分析】根据x2+2x+1＝0，方程两边同时除以x，即可得到x+的值．【解答】解：∵x2+2x+1＝0，∴x+2+＝0，∴x+＝﹣2，故答案为：﹣2．5．（2023•雷州市三模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝[]•＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝2．6．（2023•海宁市校级一模）计算：．【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：＝•＝•＝．7．（2023春•东阳市期中）化简：（）．【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得出答案．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝（﹣）÷＝﹣•＝﹣．8．（2023•杭州二模）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：（1）老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误；（2）请重新写出此题的正确解答过程．甲同学乙同学﹣＝﹣第一步＝第二步＝第三步﹣＝﹣第一步＝2x﹣2﹣x﹣5第二步＝x﹣7第三步【分析】（1）观察解答过程，找出错误步骤，分析错误原因即可；（2）根据分式的混合运算法则和运算顺序计算即可．【解答】解：（1）甲同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是未遵守去括号法则，当括号前面是减号时，去括号，括号内的加号变减号，减号变加号，所以第二步分子中的“+5”应为“﹣5”；乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是与等式混淆，丢掉了分母；故答案为：二；二；（2）原式＝＝＝．9．（2022春•钱塘区期末）如图，A种小麦试验田是边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；B种小麦试验田是边长为（a+b）的正方形．（1）设两块试验田都收获了m（kg）小麦，求A，B两种小麦单位面积产量的比．（2）当a＝2b时，A，B两种小麦单位面积产量哪个较大？（3）若A，B两种小麦单位面积产量相同，求a，b满足的关系式．【分析】（1）分别表示出两个阴影部分面积，根据收获的小麦重量求出各自的单位面积产量，进而求出之比即可；（2）把a＝2b代入比较大小即可；（3）根据两种小麦单位面积产量相同，确定出a与b的关系式即可．【解答】解：（1）根据题意得：A种小麦：，B种小麦：，则A，B两种小麦单位面积产量的比为：＝•＝；（2）把a＝2b代入得：＝＝，＝，∵＜，∴B种小麦单位产量较大；（3）根据题意得：＝，整理得：4a2﹣4b2＝4（a+b）（a﹣b）＝（a+b）2，∵a＞b，∴a﹣b≠0，∴4（a﹣b）＝a+b，整理得：3a＝5b．10．（2024•宁波模拟）先化简，再在﹣3＜x＜2里选一个你喜欢的整数代入求值．【分析】首先将括号里面通分，进而将能因式分解的分子与分母因式分解，即可化简，再利用分式有意义的条件得出即可．【解答】解：＝＝x+2，∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，在﹣3＜x＜2里，可取x＝0，∴原式＝0+2＝2．11．（2024•瓯海区模拟）先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m＝．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，接着把已知条件变形得到m2+3m＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式＝÷＝•＝＝，∵m＝，∴2m+3＝，∴（2m+3）2＝（）2，即4m2+12m+9＝5，∴m2+3m＝﹣1，∴原式＝＝＝﹣．12．（2024•镇海区校级模拟）已知，求的值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，【解答】解：＝[﹣]•﹣＝•﹣＝•﹣＝•﹣＝﹣＝＝，∵，∴a2﹣a＝1，∴原式＝＝＝＝＝＝﹣2．题型六分式方程的解法【例1】．（2023秋•台州期末）分式方程的解为x＝1．【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：6x＝x+5，解得：x＝1，检验：将x＝1代入2x（x+5）得2×1×6＝12≠0，故原方程的解为x＝1，故答案为：x＝1．【例2】．（2023秋•武威期末）若关于x的方程有增根，则m的值是﹣1．【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于m的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：去分母得：1﹣（x+m）＝2（x﹣2），去括号得：1﹣x﹣m＝2x﹣4，移项，合并同类项得：﹣3x＝m﹣5，∴x＝．∵关于x的方程有增根，∴＝2，∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．【例3】．（2024•浙江一模）小汪解答“解分式方程：”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母得：2x+3﹣1＝﹣（x﹣1）…①，去括号得：2x+3﹣1＝﹣x+1…②，移项得：2x+x＝1+1﹣3…③，合并同类项得：3x＝﹣1…④，系数化为1得：x＝…⑤，∴x＝是原分式方程的解．【分析】错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1），进而解这个整式方程，最后检验，即可求解．【解答】解：错误步骤的序号为①，，去分母得：2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1），去括号得：2x+3﹣2x+4＝﹣x+1，移项得：2x﹣2x+x＝1﹣3﹣4…③，合并同类项得：x＝﹣6…④，检验：当x＝﹣6时，x﹣2≠0，∴x＝﹣6是原分式方程的解．【例4】．（2023秋•浉河区期末）（1）计算：（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）2．（2）解方程：．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝x2﹣1﹣（x2+2x+1）＝x2﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝﹣2x﹣2；（2）去分母得：2x＝3x﹣3x+3，解得：x＝，检验：把x＝代入得：3（x﹣1）≠0，∴x＝是分式方程的解．【例5】．（2023秋•婺城区校级期中）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2＝2x﹣2，解得：x＝0，检验：把x＝0代入得：（x﹣1）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝0．巩固训练1．（2023秋•柳州期末）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x＝1﹣2（x﹣3），解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣3≠0，∴分式方程的解为x＝5．2．（2023•沙湾区模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．1 B． C．1或 D．以上都不是【分析】解分式方程，分a＝和a≠两种情况分别计算，根据分式无解得出a的值即可．【解答】解：去分母，得：x﹣3a＝2a（x﹣3），整理，得：（2a﹣1）x＝3a，当a＝时，0•x＝，不成立，即当a＝时原分式方程无解；当a≠时，x＝，∵分式无解，∴x﹣3＝0，∴x＝3，∴＝3，解得a＝1，∴a＝或1．故选：C．3．（2023秋•宁江区期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣3的解为x＝3．【分析】根据新定义化简已知等式，求出解即可．【解答】解：当x＞1时，，去分母得：2＝﹣4﹣3（1﹣x），解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，当x＜1时，，去分母得：1＝﹣4﹣3（1﹣x），解得：x＝，不符合题意，舍去，∴方程的解为x＝3，故答案为：x＝3．题型七分式方程应用题【例1】．（2024•上城区校级模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A．10x＝40（x+6） B．10（x﹣6）＝40x C． D．【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人．根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人．依题意得：．故选：D．【例2】．（2023秋•淮滨县期末）2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（）A．﹣＝6 B．﹣＝6 C．﹣＝6 D．﹣＝6【分析】根据租车数量＝总人数÷每辆车乘坐的人数，结合单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人，依题意得：﹣＝6．故选：A．【例3】．（2023•温州校级开学）某车间需加工某工件560个，为更快完工，在原计划基础上再增调一批工人，增调人员后该车间每小时比原计划多加工60个工件，且能提早3小时完成任务，设原计划该车间每小时可加工x个工件，则可列方程（）A． B． C． D．【分析】设原计划该车间每小时可加工x个工件，根据能提早3小时完成任务列方程即可得到结论．【解答】解：由题意得，﹣＝3，故选：D．【例4】．（2023春•诸暨市期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．甲种糖乙种糖丙种糖千克数201020单价（元/千克）152025商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖12.5千克．【分析】设需再加入丙种糖x千克，根据要使什锦糖的单价每千克提高1元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设需再加入丙种糖x千克，根据题意得：＝+1，解得：x＝12.5，经检验，x＝12.5是所列方程的解，且符合题意，∴需再加入丙种糖12.5千克．故答案为：12.5．【例5】．（2023秋•玉环市期末）玉环着力打响“鲜玉奇缘”区域公用品牌，助力农旅产业转型升级．其中玉环文旦是一张闪亮的名片．“鲜玉奇缘”品牌推介会在浙江杭州国际博览中心举办，某文旦基地需要从玉环寄出3种大小的文旦各100个进行展览销售．某快递公司有一种“生鲜快递”模式，规定：从玉环寄送文旦到江浙沪地区有两种方式，如表：快递方式规定单价方式1重量不超过12千克0.5元/千克重量超过12千克超出部分按照1元/千克方式2一箱4个文旦10元/箱注：①方式1的快递初始寄送费为4.5元，方式2没有初始寄送费；②寄送过程中，不足1千克的按1千克计算；③为了方便售卖，不同大小的文旦不能混装寄送．其中3种文旦的基本信息如下：成本（元/个）均重（千克）售价（元/个）小果24232中果302.5a大果363a+15（1）用10800元购买文旦中果的个数和用14400元购买文旦大果的个数相同，求a的值；（2）小牛想要给在江苏的朋友寄13个小果文旦尝尝，请通过计算，帮助他选择一种寄送费用最少的寄送方式；（3）请你为此次展览设计寄送方案，使文旦基地获得的利润最大．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程，解方程即可；（2）（3）可以分别计算方式1，方式2的寄送费，进行对比后选择最佳寄送方式即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得，a＝45，故a的值为45；（2）13×2＝26（千克），方式1寄送费：4.5+12×0.5+（26﹣12）×1＝34.5（元），方式2：13÷4＝3⋯⋯1，∴若选择方式2，应该装4箱，寄送费为：4×10＝40（元），∵34.5＜40，∴应该选择方式1寄送；（3）小果：100×2＝200（千克），方式1：4.5+12