山东泰安市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东泰安市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi=3+i，i为虚数单位，则z=(

)A.1−3i B.1+3i C.−1+3i D.−1−3i2.下列选项正确的是A.若|a|>|b|，则a>b

B.a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b

C.若a//b，b//3.已知非零向量a，b，b=2a，b在a上的投影向量为3a，则a与bA.π6 B.π3 C.2π34.对于不同的直线l，m和不重合的平面α，β，γ，下列选项不正确的是A.若α//β，β//γ，则α//γ

B.若l//α，l//β，α∩β=m，则l//m

C.若l⊥α，α⊥β，则l//β

D.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ5.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为45∘，沿倾斜角为30∘的斜坡AB向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60∘，则山的高度PQA.503+1米 B.503−1米 C.6.已知在四面体A−BCD中，AB=AC=AD=1，BC=CD=DB=2，AB的中点为M，则直线CM与直线BD夹角的余弦值为(

)A.105 B.1010 C.7.先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是(

)A.甲与丙 B.甲与丁 C.乙与丙 D.丙与丁8.已知点P是△ABC所在平面内一点，3PA+4PB+AC=0，延长AP交BC于DA.5:2 B.1:4 C.5:8 D.4:1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z是复数，i为虚数单位，则下列选项正确的是(

)A.若z=1+i，则|z|=2

B.若|z|=1，则z=±i

C.i+i2+i3+…+i2026=−1+i

D.已知10.下列选项正确的是A.如果事件A，B互斥，那么A∪B是必然事件

B.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：5，8，12，a，24，26，27，30，31，39，若该组数据的第40百分位数为20，则a=16

C.用分层随机抽样抽取的样本共分2层，第1层样本的平均数为2，方差为2，第2层样本的平均数为6，方差为1.若第1层与第2层的样本容量之比为1:3，则总样本的方差为174

D.若a1，a2，…，a9的平均数为311.如图，已知在三棱锥A−BCD中，∠BCD=90∘，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60∘，E，F分别为AC，AD上的动点，AEAC=A.EF与BD所成的角为45∘

B.若平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小为60∘，则λ=2−2

C.三棱锥A−BEF的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某学校高一，高二，高三年级学生人数之比为4:3:3，为了了解学生平均每学期阅读文学名著情况，利用分层抽样的方法抽取了容量为40的样本，则从高二年级抽取的学生人数为

．13.如图的组合体是一个正四棱锥P−ABCD和一个正四棱台ABCD−A1B1C1D1拼接而成的，已知14.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若5b=8ccosA，则1tanA+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，已知在▵ABC中，DC=2BD，M是线段AD的中点，过M的直线EF交线段AB于点E，交线段AC于点F，AE=x(1)用向量AB，AC表示AM；(2)求1x+16.(本小题15分)学生体质健康状况是评价学生综合素质的一个重要指标，结合新时期青少年体质健康状况和体育教育教学工作实际，高一年级随机抽取了40名学生进行体质测试，成绩分成六组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值；(2)求抽取的40名学生的成绩的中位数；(3)若从抽取的成绩在[70,80)的学生中任取2人，求这两名学生成绩都在[70,75)内的概率．17.(本小题15分)近年来，共享电动车在许多城市迅速流行起来，成为人们日常出行的重要选择．已知某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t(分钟)分段计算，t∈(0,30]时，收费3元，t∈(30,45]时，收费4元，t∈(45,60]时，收费5元．现甲，乙两人各租了一辆该品牌电动车，甲，乙两人的租车时间t∈(0,30]的概率分别为14，13，t∈(30,45]的概率分别为12，1(1)求甲乙两人所付租车费用相等的概率；(2)求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率．18.(本小题17分)已知在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，atan(1)求A；(2)若▵ABC为锐角三角形，求cb(3)若D为▵ABC外一点，A，D位于BC两侧，AD与BC相交于点M，∠ABC=∠CAD，AC=CD=2，CM=2MB，求四边形ABDC19.(本小题17分)已知在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=6，CD=4，AD=23，PA= PB=PD=4

(1)若点M在线段PB上，CM//平面PAD，求BM；(2)设P在底面ABCD的射影为O，求PO；(3)求三棱锥P−BCD的外接球被平面PAB截得的圆的半径．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】12

13.【答案】714.【答案】5415.【答案】解：(1)由DC=2BD，得BD=13又因为AD=又因为M是线段AD的中点，所以AM=(2)由(1)知AM=又AE=xAB，AF=yAC，所以所以AM=又因为E,M,F在同一直线上，所以13x+1

16.【答案】解：(1)由频率分布直方图所有组频率和为1，组距为5，得5×(0.01+a+0.04+0.06+0.05+a)=1，整理得0.8+10a=1，解得a=0.02。

(2)计算各组累计频率：[70,75)的频率为0.01×5=0.05，累计频率0.05；[75,80)的频率为0.02×5=0.1，累计频率0.15；[80,85)的频率为0.04×5=0.2，累计频率0.35；[85,90)的频率为0.06×5=0.3，累计频率0.65>0.5，故中位数落在[85,90)内。设中位数为x，则0.35+(x−85)×0.06=0.5，解得x=87.5。

(3)成绩在[70,75)的人数为40×0.05=2，记为A,B；成绩在[75,80)的人数为40×0.1=4，记为C,D,E,F。从[70,80)的6名学生中任取2人，所有等可能基本事件为AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，共15种，其中2名学生成绩都在[70,75)的基本事件仅AB，共1种，故所求概率P=11517.【答案】解：设事件A1表示“甲付租车费用3元”，A2表示“甲付租车费用4元”，A3表示“甲付租车费用5元”，事件B1表示“乙付租车费用3元”，B2表示“乙付租车费用4元”，B3表示“乙付租车费用5元”。由题意得P(A1)=14，P(A2)=12，故P(A3)=1−14−12=14；P(B1)=13，P(B2)=16，故P(B3)=1−18.【答案】解：(1)因为atanA+tan则asinCcos在▵ABC中sinC>0，得tanA=(2)因为▵ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<则tanB>1故cb的取值范围为1(3)设∠ABC=∠CAD=α∈0,则∠MAB=π在▵ACM,▵ABM中利用正弦定理得AMsin因为CM=2MB，所以得sin2α=cos2α，则因为AC=CD=2，所以∠CDA=π在▵ABC中由正弦定理得BCsinπ3因为sin5πsinπ所以S=1故四边形ABDC的面积为3

19.【答案】解：(1)过点M作MN//AB交AP于点N，连接DN，因为AB//CD，所以MN//CD，则M,N,C,D四点共面，因为CM//平面PAD，平面MNDC∩平面PAD=DN，CM⊂平面MNDC，所以CM//DN，则四边形MNDC是平行四边形，则MN=CD，因为AB=6，CD=4，所以MNAB=4(2)因为PA= PB=PD=4所以其在平面ABCD内的射影OA,OB,OD长度相等，即OA=OB=OD，则O为▵ABD的外心，由AB⊥AD可知O为线段BD的中点，因为AB⊥AD，AB=6，AD=23，则因为PB=PD=BD=43，所以▵PBD为等边三角形，则(3)因为O为线段BD的中点，所以PO⊂平面BDP，因为PO⊥平面ABCD，所以平面BDP⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，BC=6−42则CO⊥BD，因为CO⊂平面ABCD，平面BDP∩平面ABCD=BD，所以CO⊥平面BDP，设S,E分别为▵PBD,▵BCD的外心，过E,S分别作平面ABCD和平面BDP的垂线交于点F，则点F为三棱锥P−BCD外接球球心，FS//OE,EF//OP，因为cos∠CBO=OBBC=2在▵BCD中利用正弦定理得2CE=CDsin30∘所以四边形DCBE是平行四边形，则点E在线段AB上，且BE=4，因为OS=1所以在Rt△FEB中FB=即三棱锥P−BCD外接球半径R=2取线段AB的中点T，过T作QT//EF,QT=EF，连接OT,QP,TP，则四边形EFQT为平行四边形，则FQ//EF，因为FQ⊄平面PAB，ET⊂平面PAB，所以FQ//平面PAB，所以点F到平面PAB的距离等于点Q到平面PAB的距离，过点Q作QR⊥PT，垂足为