第12章 函数与一次函数 章末复习 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

【2025新教材】沪科版数学

八年级上册第12章

函数与一次函数章末复习知识体系函数表示方法列表法一次函数解析法图象法图象和性质与方程、不等式的关系应用第12章函数与一次函数章末复习一、复习基本信息1.复习课题：第12章函数与一次函数章末复习2.课时：1课时（45分钟）3.学情分析：学生已学完本章内容，初步掌握函数的基本概念、一次函数的解析式与图像特征，但对“变量对应关系”的本质理解不够透彻，在一次函数图像性质应用及与实际问题结合时易混淆k、b的作用，需通过体系化梳理和针对性训练突破认知难点。4.复习目标：知识与技能：梳理函数及一次函数的核心概念，掌握函数的三种表示方法、一次函数的解析式求解、图像性质及应用；能运用一次函数解决实际问题，区分一次函数与正比例函数的关系。5.过程与方法：通过“概念辨析—图像分析—典例突破”的流程，构建“数与形”结合的思维模式，提升从实际问题中抽象出函数模型的能力；通过错题反思，强化逻辑推理的严谨性。二、复习过程设计6.情感态度与价值观：感受函数思想在描述变量关系中的实用性，体会数学与生活、科技的紧密联系；通过历史背景了解，增强对数学概念发展的认知，激发探究兴趣。（一）情境引入，激活知识（5分钟）（二）知识梳理，构建网络（10分钟）7.复习重难点：重点：函数的本质特征、一次函数的解析式与图像性质、待定系数法的应用及一次函数解决实际问题。1.核心概念-有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，记为（a，b），其作用是确定平面内点的位置（如座位、坐标）。8.难点：理解函数“单值对应”的本质、一次函数图像中k和b的几何意义、从实际问题中建立一次函数模型并确定自变量取值范围。-平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴称为x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上为正方向；两轴交点为原点O（0，0）。-点的坐标：平面内任意一点P，过P作x轴的垂线，垂足对应的数为横坐标；作y轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标，有序数对（横坐标，纵坐标）即为点P的坐标。9.复习准备：多媒体课件（含函数历史资料、图像动画、典例习题）、方格纸、学生课前整理的错题本。2.点的坐标特征点的位置横坐标特征纵坐标特征示例第一象限正正（2，3）第二象限负正（-2，3）第三象限负负（-2，-3）第四象限正负（2，-3）x轴上任意实数0（2，0）、（-3，0）y轴上0任意实数（0，3）、（0，-2）原点00（0，0）3.坐标与图形平移一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，其性质由k和b共同决定，核心是“k定增减，b定截距”：3.一次函数的图像与性质4.关键方法与应用图形平移时，对应点的坐标变化遵循“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”的规律：-待定系数法：求一次函数解析式的核心方法，步骤为“设解析式→代点坐标→列方程（组）→求系数”，需至少两个独立条件。k的符号函数增减性b的符号直线经过的象限示例k>0y随x增大而增大b>0一、二、三y=2x+1k>0y随x增大而增大b<0一、三、四y=2x-1k<0y随x增大而减小b>0一、二、四y=-2x+1k<0y随x增大而减小b<0二、三、四y=-2x-1-直线位置关系：设两条直线为y=k₁x+b₁和y=k₂x+b₂，k₁≠k₂时两直线相交；k₁=k₂且b₁≠b₂时平行；k₁=k₂且b₁=b₂时重合。1.核心概念-实际应用：常见模型有行程问题（路程=速度×时间）、计费问题（总价=单价×数量+基础费），需注意自变量的实际取值范围。-点（x，y）向右平移a个单位：（x+a，y）；向左平移a个单位：（x-a，y）；5.易错点辨析-函数：在一个变化过程中，若有两个变量x与y，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则x是自变量，y是x的函数。“唯一确定”是判断函数关系的关键。-判断函数关系时忽略“唯一确定”，如“一个x对应多个y”的关系不是函数；-点（x，y）向上平移b个单位：（x，y+b）；向下平移b个单位：（x，y-b）。-混淆k和b的作用，k决定直线倾斜方向和增减性，b是直线与y轴交点的纵坐标；-一次函数与正比例函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数；当b=0时，y=kx（k≠0）称为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。-求解析式时遗漏自变量取值范围，尤其是实际问题中需结合情境限制（如人数为正整数）。4.实际应用-函数三要素：定义域（自变量取值范围）、对应法则、值域，其中定义域需结合实际问题确定（如时间、长度不能为负）。用坐标表示地理位置：步骤为“建立坐标系（确定原点、正方向、单位长度）—确定各点坐标—描述位置”。2.函数的表示方法-有序数对（a，b）中，a、b的顺序不可颠倒，如（2，3）与（3，2）表示不同点；表示方法定义优点示例解析式法用数学式子表示函数关系简洁明了，易计算函数值y=2x+3列表法列出自变量与函数值的对应表直观易懂，易查具体值工资表、水电费表图像法在坐标系中描点连线表示关系形象直观，易看变化趋势气温变化曲线-x轴、y轴上点的坐标特征易混淆，记住“x轴上纵为0，y轴上横为0”；-图形平移时，“左减右加”针对横坐标，“上加下减”针对纵坐标，避免与平移方向混淆。（三）典例剖析，突破难点（12分钟）类型1：点的坐标特征应用例1：已知点A（m+2，3m-6），分别求满足下列条件的m值：（1）点A在x轴上；（2）点A在y轴上；（3）点A在第一象限。分析：根据各位置点的坐标特征列方程或不等式求解。解：（1）∵点A在x轴上，∴纵坐标为0，即3m-6=0，解得m=2；（2）∵点A在y轴上，∴横坐标为0，即m+2=0，解得m=-2；（3）∵点A在第一象限，∴横坐标、纵坐标均为正，即$\begin{cases}m+2>0\\3m-6>0\end{cases}$，解得m>2。变式：若点A在第二象限，求m的取值范围。（答案：-2<m<2）类型1：函数关系判断与定义域确定类型2：坐标与图形平移例1：下列关系中，y是x的函数的是（）；若为函数，求自变量x的取值范围。例2：将点P（-3，4）先向右平移5个单位，再向下平移2个单位，得到点P'，求点P'的坐标；若将线段PQ平移后，点Q（1，-2）的对应点为Q'（-2，1），求点P（-3，4）的对应点P''的坐标。（1）y=±√x；（2）y=2x+1；（3）x²+y²=4；（4）汽车行驶速度为60km/h，行驶路程y与时间x的关系。分析：直接应用平移规律，注意“对应点坐标变化一致”。分析：紧扣“x每确定一个值，y有唯一确定值”判断，定义域需结合解析式和实际意义。解：（1）P（-3，4）向右平移5个单位（x+5），向下平移2个单位（y-2），则P'（-3+5，4-2）=（2，2）；解：（1）不是函数，x=1时y=±1，对应不唯一；（2）Q（1，-2）→Q'（-2，1），横坐标变化：-2-1=-3（向左平移3个单位），纵坐标变化：1-（-2）=3（向上平移3个单位），∴P（-3，4）的对应点P''（-3-3，4+3）=（-6，7）。（2）是函数，x为任意实数；（3）不是函数，x=0时y=±2，对应不唯一；例3：如图，在校园平面坐标系中，教学楼A的坐标为（2，1），图书馆B在教学楼北偏东45°方向，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，求图书馆B的坐标，并描述教学楼A相对于图书馆B的位置。（4）是函数，y=60x，x≥0（时间非负）。分析：根据“到x轴距离为纵坐标绝对值，到y轴距离为横坐标绝对值”及方向确定坐标。变式：若y=√(x-2)+1/(x-3)，求x的取值范围。（答案：x≥2且x≠3）解：∵图书馆B到x轴距离为4，到y轴距离为5，且在北偏东方向（第一象限），∴B（5，4）；类型2：一次函数解析式求解（待定系数法）教学楼A（2，1）相对于B（5，4），横坐标差2-5=-3（西3个单位），纵坐标差1-4=-3（南3个单位），∴A在B的南偏西45°方向。例2：已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点A（1，3）和B（-2，-3），求该函数解析式，并判断点C（2，5）是否在该函数图像上。（四）巩固练习，强化提升（10分钟）分析：将两点坐标代入解析式，列二元一次方程组求k、b，若点的坐标满足解析式则在图像上。（1）已知有序数对（a-1，2b+3）与（2，-1）相等，则a=______，b=______；解：代入A（1，3）和B（-2，-3）得：$\begin{cases}k+b=3\\-2k+b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$，∴解析式为y=2x+1；（2）点M（-5，k）在第二象限，则k的取值范围是______；当x=2时，y=2×2+1=5，与C点纵坐标相等，∴点C在图像上。（3）将点（-1，3）向上平移2个单位后得到的点的坐标是______。变式：若该函数图像与正比例函数y=mx交于点（1，3），求m的值及两直线交点坐标。（答案：m=3，交点（1，3））（1）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（-2，-1）、C（2，-3），将△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△A'B'C'，求A'、B'、C'的坐标；类型3：一次函数图像与性质应用（2）已知点P（x，y）满足|x-2|+（y+3）²=0，求点P关于x轴对称的点P1的坐标，及点P1向右平移2个单位后的坐标。例3：已知一次函数y=(m-1)x+2-m，回答下列问题：某小区平面如图，以大门O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，1个单位代表10米。已知超市A的坐标为（3，2），便利店B在大门北偏东30°方向60米处，求便利店B的坐标，并说明超市A到便利店B的行走路线（用方向和距离描述）。（1）若函数图像经过原点，求m的值；（2）若函数图像y随x增大而减小，求m的取值范围；（3）若函数图像经过第一、二、四象限，求m的取值范围。学生独立完成后，小组内互评，教师对第2、3题进行集中讲解，强调解题规范。分析：结合k、b的几何意义，列方程或不等式求解。（五）课堂小结，反思提升（5分钟）解：（1）过原点则b=0，即2-m=0，解得m=2，此时k=2-1=1≠0，符合条件；-核心知识：平面直角坐标系的概念、点的坐标特征、平移规律是本章核心，需牢牢掌握；（2）y随x增大而减小则k<0，即m-1<0，解得m<1；-解题关键：遇点的位置问题，紧扣坐标特征；遇平移问题，牢记“上加下减、左减右加”；遇实际问题，先建坐标系再确定坐标；答：函数关系式为y=$\begin{cases}10(0<x≤1)\\6x+4(x>1)\end{cases}$，3.2kg快递费用为28元。3.2kg按4kg计算，y=6×4+4=28（元）。解：当0<x≤1时，y=10；当x>1时，y=10+6×(x-1)=6x+4（x取整数或小数进一）；分析：分情况讨论，构建分段函数模型，注意自变量取值范围的划分。例4：某快递公司收费标准：重量不超过1kg收费10元，超过1kg的部分，每千克收费6元（不足1kg按1kg计算）。设快递重量为xkg（x>0），费用为y元，求y与x的函数关系式，并计算3.2kg快递的费用。类型4：一次函数实际应用（3）过一、二、四象限则k<0且b>0，即$\begin{cases}m-1<0\\2-m>0\end{cases}$，解得m<1。-后续任务：整理本节课错题，标注错误原因，强化薄弱环节。（六）布置作业，分层落实（3分钟）三、板书设计第11章平面直角坐标系章末复习一、知识框架有序数对→平面直角坐标系→点的坐标→坐标特征→平移规律→实际应用二、核心要点1.点的坐标特征：（象限/轴上，横纵正负）2.平移规律：上加下减（纵），左减右加（横）3.易错点：有序性、轴上点特征、平移方向与坐标变化三、典例示例例1：点A（m+2，3m-6）在x轴上→3m-6=0→m=2例2：P（-3，4）→右5下2→（2，2）（四）巩固练习，强化提升（10分钟）学生独立完成后，小组互评，教师针对提升题和拓展题集中讲解，强调分段函数、二次函数与一次函数结合的解题思路。在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△AOB的面积，并求过点B且与该函数图像垂直的直线解析式（提示：垂直直线的k值乘积为-1）。（2）某商店销售某种商品，每件成本为30元，售价为x元（30≤x≤60），每月销量y件与售价x的关系为y=-10x+900，求每月利润W（元）与x的函数关系式，并求售价为多少时利润最大（利润=（售价-成本）×销量）。（1）已知一次函数y=kx+b与y=2x+1平行，且过点（-1，3），求其解析式，并求该函数与x轴交点坐标。（3）已知一次函数y=kx+3的图像过点（2，-1），则k=______。（2）一次函数y=-3x+2的图像经过第______象限，y随x的增大而______。（1）下列函数中，是正比例函数的是（）A.y=2x+1B.y=2x²C.y=2/xD.y=2x复习回顾考点1函数的概念及表示方法1.变量与常量某一变化过程中_____________的量叫作变量.某一变化过程中_________的量叫作常量.不断发生变化保持不变2.函数一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量.练一练1.下列变量间的关系不是函数关系的是（）A.长方形的宽一定，其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径C2.函数中，自变量x的取值范围是（）A.x＞3B.x＜3C.x≤3D.x≥-3B考点2函数的图象1.函数表达式画图像的步骤1.列表：列出自变量与函数的一些对应值.2.描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点.3.连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来.描出的点越多，描绘的图象误差越小2.函数的三种表示方法列表法解析法图象法定义优点通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法用数学式子表示函数关系的方法能够具体反映自变量的值与函数值的对应关系能够准确地反映函数与自变量间的数量关系用图象来表示两个变量间的函数关系的方法直观、形象，容易从中了解函数的变化情况考点3一次函数的图象与性质1.一次函数与正比例函数的概念一次函数一般地，形如y＝kx＋b

(k、b是常数，且k≠0)的函数叫作一次函数.正比例函数特别地，当b＝____时，形如y=kx

(k为常数，且k≠0)的函数叫作正比例函数.02.一次函数的图象与性质一次函数y=kx+bk＞0b＞0b＜0b=0图象与y轴交点位置经过的象限性质正半轴负半轴原点第一、二、三象限第一、三、四象限第一、三象限y的值随着x值的增大而增大一次函数y=kx+bk＜0b＞0b＜0b=0图象与y轴交点位置经过的象限性质正半轴负半轴原点第一、二、四象限第二、三、四象限第二、四象限y的值随着x值的增大而减小1.一次函数y=－5x+2的图象不经过第______象限.2.点(－1，y1)，(2，y2)是直线y=2x+1上两点，则y1____y2.练一练三＜3.如图，一次函数y=(m－3)x－m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A，B.(1)求m的取值范围；解：由题意知，一次函数y=(m－3)x－m+1的图象经过第一、三、四象限，解得m>3.所以m－3＞0，－m+1＜0，3.如图，一次函数y=(m－3)x－m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A，B.(2)若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的表达式.解：将一次函数y=(m－3)x－m+1的图象向上平移4个单位长度后得到的是函数y=(m－3)x－m+5的图象.由题意，得－m+5=0，解得m=5，所以m－3=5－3=2，所以这个正比例函数的表达式为y=2x.考点4用待定系数法求一次函数的表达式1234设：设一次函数的一般形式

；y=kx+b(k≠0)代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的

方程组；二元一次解：解二元一次方程组得k，b；写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.练一练如图，经过点A(－2，0)的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=－x+1交于点P(－1，a)，直线l2与y轴交于点C，与x轴交于点B.(1)求直线l1的表达式；解：(1)把P(－1，a)带入y=－x+1，得a=2，则点P的坐标为(－1，2).把A(－2，0)，P(－1，2)分别带入y=kx+b，得－2k+b=0，－k+b=2.解得k=2，b=4.所以直线l1的表达式为y=2x+4.如图，经过点A(－2，0)的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=－x+1交于点P(－1，a)，直线l2与y轴交于点C，与x轴交于点B.(2)求四边形PAOC的面积.(2)因为直线y=－x+1交x轴于点B，交y轴于点C，所以易得B(1，0)，C(0，1)，所以OB=1，OC=1.因为A(－2，0)，所以AB=3.因为P(－1，2)，所以|yp|=2.

练一练考点5一次函数与一次方程(组)、不等式1.一次函数与一元一次方程求一元一次方程kx+b=0的解一次函数y=kx+b中，y=0时x的值求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标从“函数图象”看从“函数值”看2.一次函数与一元一次不等式求kx+b＞0(或＜0)(k≠0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围从“函数图象”看从“函数值”看3.一次函数与二元一次方程二元一次方程ax+by+c=0(ab≠0)

一一对应相互转化解一条直线以解为坐标的点组成的图象直线上点的坐标是方程的解无数多组图像4.一次函数与二元一次方程组二元一次方程组的解两个一次函数所在直线的交点坐标对应5.图象法解二元一次方程组的步骤

练一练1.已知方程组的解为则在平面直角坐标系中，一次函数y=－x+3与y=x+1图象的交点坐标为()A.(－1，－2)B.(1，2)C.(2，1)D.(－2，－1)B2.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=kx+b(k≠0)相交于点P(m，5)，则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为_______.x≤4考点6一次函数的应用利用一次函数进行方案决策①从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；②列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系；③结合实际需求，选择最佳方案.1.求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y=1－x；(2)y=2(x－1)

2；解：(1)x可取全体实数.(2)x可取全体实数.(3)x≠－1.(4)x可取全体实数.2.小李某天上午9:00骑自行车离开家，15:00回到家.如图，图象描述了他离家的路程s与时间t的变化关系.(1)10:00和13:00时，他分别离家多远？(2)他何时开始到达离家最远的地方？离家多远？(3)11:00到12:00他骑行了多少千米？(4)他在哪些时段休息了？(5)他返程回到家的平均速度是多少？解：(1)10:00时，他离家10km远；13:00时，他离家30km远.(2)他到达离家最远的地方时，时间是12:00，他离家最远30km.(3)13km.(4)他可能在12:00~13:00这段时间内休息，并吃午餐.(5)15km/h.3.已知一次函数y=(m－2)x+3－m(m为常数)．求m分别为何值时，下列各结论成立：(1)у随x的增大而减小；(2)函数的图象经过原点；(3)函数的图象不经过第三象限。解：(1)m<2.(2)m=3.(3)m<2.4.有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点.甲：y随x的增大而减小；乙：当x<2时，y>0.请你写出同时满足甲、乙两位同学要求的一个一次函数表达式.解：y=－x+2(答案不唯一).5.“复兴号”动车是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的中国标准动车组.假设某“复兴号”动车组列车从A站驶出5km到达B处后，以350km/h的速度匀速前进.设该列车离开B处th，其离A站的路程为skm.(1)求s与t之间的函数表达式；(2)填写下列表格：(3)画出s关于t的函数图象.s=5+350t535570510554566.为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度(不含靠背)为xcm，则y是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：(1)试确定у与x之间的函数表达式(不要求写出x的取值范围)；(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请说明理由。解：(1)y=1.6x+11.(2)配套.BBD8.已知函数y=－2x+3，结合图象：(1)求不等式－2x+3>0和不等式－2x+3≤－2的解集；(2)当x≥1时，求y的取值范围.

9.填空：(1)直线y=-2x+6与x轴交点的横坐标是_____，与у轴交点的纵坐标是______;(2)函数y=2x+4，如果-2≤y≤2，那么x的取值范围是____________；(3)已知直线y=ax+7(a为常数)与直线y=-2x+1交于x轴上一点，则a=_______.36-3≤x≤-1-1410.直线y1=-x+1与直线y2=2x-2交于点P，它们与y轴分别交于点A，B.(1)在同一平面直角坐标系中，画出这两条直线；(2)x分别为何值时，y1>y2，y1=y2，y1<y2？(3)求三角形ABP的面积.

11.甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地向B地行进，两地之间的距离是60km，他们行驶的路程ykm与时间xh的函数关系如图所示，请根据图象回答：(1)甲和乙的速度分别是多少？(2)两人相遇的时候，距B地还有多远？(3)乙比甲晚多久出发，又早到多久？解：(1)10km/h；40km/h.(2)20km.(3)3h；1.5h.1.在同一平面直角坐标系中，画出直线3x-y-2=0和直线2x-y+3=0.利用图象求：(1)方程3x-2=2x+3的解；(2)方程组的解；(3)不等式3x-2>2x+3的解集.x=5x＞52.已知直线x-2y=-k+6和直线x+3y=4k+1，其中k为常数，如果两直线的交点在第四象限内，求k的取值范围.解：-4＜k＜13.两个一次函数表达式写成如下形式，直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2.问当k1，k2，b1，b2分别有何关系时，直线l1与l2相交、平行、重合？解：当k1≠k2时相交；当k1=k2但b1≠b2