2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 2.3.1 2.3.2 两点间的距离公式

第二章

直线和圆的方程2.3

直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式

(教师独具内容)课程标准：1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式．教学重点：1.解决与两直线的交点、两点间的距离相关的问题.2.用坐标法证明简单的几何问题．教学难点：坐标法在平面几何中的应用．核心素养：通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离，提升数学运算及逻辑推理素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点为P，则点P的坐标是方程组____________________的解．(2)两条直线的位置关系无解无数个相交平行1．(求两条直线的交点坐标)直线l1：x－2y＝0与l2：x＋y－3＝0的交点坐标为_______．2．(两点间的距离公式)点M(－3，4)到原点的距离|OM|＝___．3．(求两条直线的交点坐标和直线方程)直线l的斜率不存在，且经过直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点，则直线l的方程为______．(2，1)5x＝14．(两点间的距离公式)(1)若A(2，0)，B(0，8)，则|AB|＝_______；(2)若A(1，3)，B(－2，1)，则|AB|＝_____；(3)若A(5，0)，B(－1，0)，则|AB|＝___；(4)若A(a，3)，B(a，－3)，则|AB|＝___．66核心素养形成题型一直线的交点问题

(1)过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(

)A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0(2)过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为______________．4x＋3y－6＝0【感悟提升】

求过两条直线交点的直线方程的两种方法(1)先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解．【跟踪训练】

1．(1)已知直线x＋ky＋2＝0经过两直线3x＋2y－9＝0和x－1＝0的交点，则实数k的值为____．－1(2)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标．①l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；②l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.(2)已知四边形ABCD的顶点分别为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)，D(－4，9)，判断这个四边形的形状．[条件探究]将本例(2)中点D的坐标改为(0，21)，判断此四边形的形状．【感悟提升】

判断四边形与三角形形状的方法(1)判断四边形形状的方法：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形．(2)判断三角形形状的方法：利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度的关系判断三角形形状．(2)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，①判断△ABC的形状；②求BC边上的中线AM的长．题型三坐标法的应用

在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明以D为原点，边BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．【感悟提升】

利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量；(2)进行有关代数运算；(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．【跟踪训练】

3．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.题型四过定点的直线系问题

求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点．题型五对称问题

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【跟踪训练】

5.如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从点O到达点P所走过的路程．随堂水平达标1．直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(

)A．(－1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(1，1)2．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(

)A．1 B．3C．－5 D．1或－53．与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线方程是(

)A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝04．已知点M(0，－1)，N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是_______．(2，3)5．已知直线x－y－1＝0与直线x－2y＋3＝0交于点P，则过点P且平行于直线3x－4y＋5＝0的直线方程为_______________．3x－4y＋1＝0课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点求直线的交点坐标求直线过的定点坐标直线关于直线对称判断三角形的形状点关于直线对称与交点有关的三角形问题求交点坐标和直线方程题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点根据交点位置求参数点关于直线对称求交点坐标和直线方程与交点有关的分割平面问题两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用坐标法的应用；三线共点问题一、选择题1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(

)A．(2，0) B．(2，1)C．(0，2) D．(1，2)2．若直线kx－y＋3k－2＝0恒过一定点，则该定点的坐标为(

)A．(3，2) B．(－3，－2)C．(2，3) D．(－2，－3)3．已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为(

)A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝06．(多选)若三条不同的直线l1：mx＋2y＋m＋4＝0，l2：x－y＋1＝0，l3：3x－y－5＝0不能围成一个三角形，则m的取值可能为(

)A．－2 B．－6C．－3 D．1二、填空题7．平面直角坐标系Oxy中，过直线l1：7x－3y＋1＝0与l2：x＋4y－3＝0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为_______________．9x＋5y－5＝08．若直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________．9．已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线的方程为______________．x－2y－1＝0三、解答题10．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线过点(1，－2)，且直线BH的一个方向向量为(－2，－1)．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC的方程．11．已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有(