广东深圳市龙华区2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

广东深圳市龙华区2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x∣3x+2≤8}，N={0,1,2,3}，则M∩N=（）A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2} D．∅2．复数2−1+iA．−2−i B．2−i C．−1−i D．−1+i3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C'A．122 B．12 C．625．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2b，sinA=23A．13 B．23 C．226．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为1的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（）A．618 B．69 C．637．菱形ABCD的边长为2，∠A=60∘,M为CD的中点，N为BCA．2+532 B．4+5328．定义域为R的函数fx满足fx+2=2fx，且当x∈0,2时，fx=xA．−∞,92 B．−∞,二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知向量a=(1,2)，bA．aB．a在b方向上的投影向量为1C．aD．与a垂直的单位向量为(−10．已知复数z1，z2，且A．若z1+z2=0，则z1C．若z12<0，则z111．如下图，在正三棱柱ABC−A1B1CA．若D是棱CC1中点，则三棱锥A−BCDB．三棱锥A1C．△A1D．棱AB上总存在点E，使得直线CE//平面A三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若a=2，b=6，C=30°，则边c=13．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为m．14．已知正四面体的棱长为46，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为26的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i、j，已知向量a=2i+4j，向量b=3i+xj，向量（1）求x与y的值；（2）若向量m=b−a，向量n=16．如图，已知圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABB1A1，满足AB=4, A1B（1）证明：B1M//平面（2）若圆台OO1的体积为7317．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，点M在边BC上且BM=（1）求中线BN的长；（2）若AP=λAM，BP=μBN，λ、18．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足bcos（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC周长的最大值；（3）若a=23，D为线段AC上一点，满足BD=CD=2AD，求△ABC19．设fx=e（1）证明：fx（2）令hx①解关于实数a的不等式：ha−1②若对于任意的x∈12ln

答案解析部分1．【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：解不等式3x+2≤8，可得x≤2，即集合M={x∣x≤2}，集合N={0,1,2,3}，则M∩N={0,1,2}.故答案为：B.【分析】先解不等式求得集合M，再根据集合交集的定义求解即可.2．【答案】D【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数【解析】【解答】解：2−1+i=2×【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据共轭复数的定义求解即可.3．【答案】D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：A、若m∥α，n∥α，则m,n可以平行或相交或异面，故A错误；B、若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n∥α或n⊂α，故B错误；C、若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；D、若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.4．【答案】A【知识点】斜二测画法直观图【解析】【解答】解：由题可得，原平面图形为直角梯形OABC，其中OC⊥OA，BC=2，OA=4，因为A'B'=2，∠x所以S梯形

故答案为：A.【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，并计算原平面图形的边长，再根据梯形面积公式求解即可.5．【答案】C【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用【解析】【解答】解：△ABC中，a=2b，sinA=23，

由正弦定理得sin由题意可知b=12a<a，则B<A，即B为锐角，则cos【分析】由a=2b，sinA=23，利用正弦定理求得sin6．【答案】A【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：连接AC，EF相交于点O，如图所示：

易知四边形ABCD为正方形，则EO⊥平面ABCD，由正八面体的性质可知，AB=BC=EA=EC=1，则AC=2，EO=则体积V=2VE−ABCD=2×13即VS故答案为：A.【分析】连接AC，EF相交于点O，利用四棱锥体积、表面积公式求解即可.7．【答案】D【知识点】平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：连接AM,AN,AC，

则AB=AD=2,ABAB⋅AD=ABADcosAB因为M为CD的中点，N为BC的中点，所以AM=则AM⋅故答案为：D.【分析】连接AM,AN,AC，根据向量的运算法则，结合向量的数量积定义求解即可.8．【答案】A【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象；函数恒成立问题【解析】【解答】解：因为函数fx的定义域为R，满足fx+2=2f且当x∈0,2时，f当x∈(2,4]，时，x−2∈(0,2]，则f(x)=2f(x−2)=2x−2当x∈(4,6]，时，x−4∈(0,2]，则f(x)=4f(x−2)=4x−2−2当x∈(−2,0]，时，x+2∈(0,2]，则f(x)=1作出函数fx对任意x∈−∞,m，都有fx≤3则ft=3，所以−4t−52+4=3由图可知：m的最大值为92，即m的取值范围是−故答案为：A.【分析】由题意，令x=x−2，可得fx=2fx−2，根据x∈0,2时，9．【答案】A,C【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：向量a=1,2，A、a+2B、a⋅b=1×(−3)+2×1=−1,|b|=10，

则C、a−b=(1,2)−(−3,1)=(4,1)D、与向量a=(1,2)垂直的一个向量为c因此与a垂直的单位向量为±c|c【分析】根据向量的坐标运算即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；根据向量的坐标运算以及向量模的坐标运算求解即可判断C；根据向量垂直以及单位向量的定义即可判断D.10．【答案】A,B,C【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数【解析】【解答】解：设复数z1=a+bi，z2=c+dia,b,c,d∈RA、z1若z1+z2=0则z1+zB、若z1=z2，即a=c,b=−d，则C、设z1=a+bia,b∈R又z12<0，所以a=0，b≠0D、z1+z22=故答案为：ABC．【分析】设复数z1，z11．【答案】A,B,D【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：A、因为D是棱CC1中点，AA∵△ABC是正三角形，AB=4，∴S∵V三棱锥A−BCD的体积为83B、∵AA1//CC1，∴D到平面A取AB的中点M，连接CM，∵△ABC是正三角形，∴AB⊥CM，又∵AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC∵AB∩AA1=A，∴CM⊥平面AA1B，∵△ABC是正三角形，AB=4，∴CM=23∵S∴V故三棱锥A1C、侧面展开图为：由侧面展开图可得BD+A在正三棱柱中A1则△A1BD故△A1BDD、在A1B上取一点F，使得EF//AA当EF=CD时，四边形EFCD是平行四边形，故CE//FD，CE⊄平面A1BD，FD⊂平面A1BD，则

【分析】若D是棱CC1中点，先求由AA1//CC1，可得D到平面AA1B的距离等于C到平面，由题意，根据线面垂直的判定推出CM⊥平面AA1B，即CM是C到平面AA1B的距离，求出CM是C到平面AA1B的距离，由△ABC是正三角形求出CM的长度，求出S△A1AB，则VA1−ABD=VD−A112．【答案】2【知识点】解三角形；余弦定理【解析】【解答】解：在△ABC中，a=2由余弦定理得c=a2+b2【分析】直接利用余弦定理求解即可.13．【答案】74【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用【解析】【解答】解：由图可得MC=2MN,AC=2AB=74,∠CAM=45°，

则在△ACM中，由正弦定理ACsin30°=MCsin故答案为：74.【分析】利用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度即可.14．【答案】2【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体【解析】【解答】解：如图，正四面体P−ABC在P点截去小正四面体P−EFG，取BC中点D，连接AD，过点P作PH⊥平面ABC，则H在AD上，且PH⊥平面EFG，垂足为I，连接EI，则EI为正△EFG的中心，大正四面体的外接球球心在高PH上，设为O，连接OA，则OA=OP=R，因为大正四面体的棱长为46，故2AH=46由勾股定理得PH=A在Rt△AOH中，AO2=OH2则大正四面体的外接球半径为6，若这个八面体的外接球半径为r=26由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接OE，则OE=r=26设截去的小正四面体的棱长为a，则2a≤46，即a<2则2EI=asin60°，故所以OI=OP−PI=6−6在Rt△IOE中，EO2=O解得a=26+23a=26+23截去的小正四面体的棱长最小值为26故答案为：26−2315．【答案】（1）解：由题意知，a=(2,4),b=(3,x),c=(4,y)，

因为a→//b→，所以2x=4×3，解得x=6（2）解：由（1）得b=(3,6),c=(4,−2)，

若m=b−a，则m=(3−2,6−4)=(1,2)，

因为n=a+c，所以n=(2+4,4−2)=(6,2)，

设m与n的夹角为θ【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系【解析】【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列式求解即可；（2）由（1）得b=(3,6),（1）由题意知，a=(2,4),∵a→//b→，∴∵a⊥c，∴a⋅（2）由（1）得b=(3,6),∵m=∴m=(3−2,6−4)=(1,2)∵n=∴n=(2+4,4−2)=(6,2)设m与n的夹角为θ，θ∈[0,π].则cosθ=∵θ∈[0,π]，∴θ=π16．【答案】（1）证明：连接OB1，OM，如图所示：因为四边形ABB1A因为AB=4, A1B1=2，O为AB中点，所以A又因为OB1⊄平面A1AC，AA1又因为M为BC的中点，所以OM为三角形ABC的中位线，所以OM//AC，又因为OM⊄平面A1AC，AC⊂平面A1AC，所以又因为OM⊂平面OMB1，OB1⊂平面OMB1又因为B1M⊂平面OMB1，所以（2）解：设上底面圆半径为r'，则r'=上底面圆半径为r，则r=AO=12AB=2设圆台高为h，体积为V，则V=13S+在截面等腰梯形ABB1A1中，过A1则A1E=3故圆台OO1的表面积【知识点】直线与平面平行的判定；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用【解析】【分析】（1）连接OB1，OM，根据梯形的性质以及中位线定理，面面平行的判定先证明平面OMB1//平面A（2）设上底面圆半径为r'，上底面圆半径为r，圆台高为h，体积为V（1）连接OB1，因为四边形ABB所以AB//A因为AB=4, A1B1=2所以A1所以四边形AOB所以OB又因为OB1⊄平面A1AC所以OB1//又因为M为BC的中点，所以OM为三角形ABC的中位线，所以OM//AC，又因为OM⊄平面A1AC，AC⊂平面所以OM//平面A1又因为OM⊂平面OMB1，OB1⊂所以平面OMB1//又因为B1M⊂平面所以B1M//平面（2）设上底面圆半径为r'，则r'=上底面圆半径为r，则r=AO=12AB=2设圆台高为h，体积为V，则V=1解得h=3在截面等腰梯形ABB1A1中，过A1则A1所以圆台母线长l=2，所以圆台OO1的表面积17．【答案】（1）解：易知AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cos∠BAC=2×6×cos60°=6，

因为BN是AC边上的中线，所以N为AC的中点，

所以AN=12AC，（2）解：因为BM=14BC，所以AM=AB+BM=AB+14(AC−AB)=34AB+14AC，

因为A,P,M共线，所以存在实数λ使得AP=λAM，即AP=3λ4AB+λ【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算【解析】【分析】（1）以AB,AC为基向量表示向量BN，结合向量模长公式、以及向量数量积运算求解（2）BM=14BC，以AB→,AC→为基向量表示（1）由题意得，AB⋅∵BN是AC边上的中线，∴N为AC的中点，∴AN=∴BN=∴|BN代入已知数值得|BN∴|BN⃗|=7，即中线（2）∵BM=∴AM=∵AP=λ∴AP=3λ∵BP=μ∴AP=AB∵AB,AC不共线，根据平面向量基本定理，①②中∴3λ4解得λ=4∴λ+3μ=418．【答案】（1）解：bcosA=(2c−a)cos整理得：sinB即sin(B+A)=2sinc而sinC>0，故cosB=12，又因为（2）解：B=π3，由余弦定理b2=a又因为ac≤(a+c2所以4=(a+c)当且仅当a=c时，等号成立，所以(a+c)2所以a+c≤4，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以△ABC周长l=a+c+b=a+c+2≤4+2=6，当且仅当a=c=2时，等号成立，则△ABC周长的最大值为6；（3）解：如图所示：

设AD=x(x>0)，则BD=CD=2x，在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠ADB=在△BCD中，由余弦定理可得：cos∠CDB=又因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB=−cos∠CDB，所以在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=则S△ABC【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可；（3）设AD=x(x>0)，则BD=CD=2x，在△ABD和△BCD中，分别利用余弦定理求得cos∠ADB，cos∠CDB，根据∠ADB与∠CDB互补，可得c2=9x2−6①，再在△ABC（1）因为bcos所以sinB整理得：sinB即sin(B+A)=2sinc而sinC>0，故cosB=12，又因为（2）B=π3，由余弦定理可得：b2即4=a又因为ac≤(a+c2所以4=(a+c)当且仅当a=c时，等号成立，所以(a+c)2所以a+c≤4，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以△ABC周长l=a+c+b=a+c+2≤4+2=6，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为6；（3）如图所示：设AD=x(x>0)，则BD=CD=2x，在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠ADB