小学三年级数学《集合》知识清单

小学三年级数学《集合》知识清单一、核心概念建立（一）集合的初步认识在数学中，把一些确定的、彼此不同的对象看作一个整体，就称为集合。这些对象被称为集合的元素。在我们的生活中，集合无处不在。例如，全班同学就构成了一个集合，教室里的所有桌椅也是一个集合。在三年级上册数学广角的学习中，我们主要研究的是人数集合的问题，特别是当两个集合之间有重叠部分时，如何计算总人数。（二）维恩图的引入维恩图，也叫文氏图，是用封闭曲线（通常是圆形或椭圆形）直观地表示集合及其关系的图形。它是英国逻辑学家约翰·维恩发明的。在解决重叠问题时，维恩图能帮助我们清晰地看出各部分的数量关系。【非常重要】二、基本原理阐释（一）集合元素的三个特性【重要】1、确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否属于这个集合是明确的。例如，“跳绳的同学”这个集合，每位同学要么属于（参加跳绳），要么不属于（不参加跳绳），不能模棱两可。2、互异性：集合中的元素是互不相同的，即同一个元素在集合中不能重复出现。在统计人数时，每位同学只应被计算一次，即使他参加了两项活动，在集合中仍然只代表一个人。3、无序性：集合中的元素没有顺序之分，无论我们如何排列名单，集合本身是不变的。（二）交集与并集的概念【核心难点】1、交集：两个集合重叠的部分称为交集。它表示既属于第一个集合，又属于第二个集合的元素组成的集合。例如，既参加跳绳比赛又参加踢毽比赛的同学，就是这两个集合的交集。2、并集：两个集合所有的元素合在一起组成的集合称为并集。它表示所有参加活动（无论是一项还是两项）的同学总数。这正是我们最终要计算的总人数。三、基本解题方法（一）两大核心公式【高频考点】1、两项集合重叠问题（容斥原理一）：总人数（并集）=集合A的人数+集合B的人数既属于A又属于B的人数（交集）用符号表示为：总人数=A+BA∩B原理说明：当我们将两个集合的人数相加时，交集部分被重复计算了一次，所以要减去一次。2、三项集合重叠问题（容斥原理二，拓展了解）：总人数=A+B+C(A∩B)(B∩C)(A∩C)+(A∩B∩C)原理说明：先加三个集合，减去两两重叠的部分（因为被重复计算了），但这样把三重重叠的部分减掉了三次，实际上三重部分只应算一次，所以要再加回来一次。（二）标准解题步骤【必考】第一步：整理数据，明确已知条件仔细阅读题目，找出集合A的人数、集合B的人数以及既属于A又属于B的人数。如果题目没有直接给出交集人数，则需要通过其他条件推导。第二步：画维恩图，标注各部分画两个相交的圆圈。左边圆圈代表集合A，右边圆圈代表集合B，中间相交部分代表既A又B。在图中标出三个区域：区域1（左圈中只有A的部分）：只属于A的人数区域2（中间相交部分）：既A又B的人数区域3（右圈中只有B的部分）：只属于B的人数第三步：根据公式列式计算选择合适的方法计算总人数：方法一：只A人数+既A又B人数+只B人数方法二：A总人数+B总人数既A又B人数方法三：A总人数+(B总人数既A又B人数)方法四：(A总人数既A又B人数)+B总人数第四步：检查验证将计算结果与题目条件对照，检查是否合理。特别注意检查重叠部分是否被正确处理。四、常见题型分类【难点】（一）直接套用公式型这类题目通常直接给出三个数据：集合A人数、集合B人数、交集人数，直接代入公式求解。例题：三（1）班参加跳绳比赛的有9人，参加踢毽比赛的有8人，两项都参加的有3人。问参加这两项比赛的一共有多少人？解析：直接使用公式9+83=14（人）【基础】（二）已知总人数求交集型这类题目给出总人数和两个集合的人数，要求求出重叠部分的人数。例题：三（2）班有45人，参加数学兴趣小组的有28人，参加语文兴趣小组的有25人，每人至少参加一个小组。问两个小组都参加的有多少人？解析：根据公式总人数=A+B交集，可得交集=A+B总人数=28+2545=8（人）【重要】（三）含“只参加”条件的题型这类题目中会给出“只参加A”或“只参加B”的人数，需要先求出交集或直接分段相加。例题：一次测试中，做对第一题的有25人，做对第二题的有20人，其中10人两题都做对。问只做对第一题的有多少人？只做对第二题的有多少人？解析：只做对第一题=做对第一题总人数两题都做对人数=2510=15（人）；只做对第二题=2010=10（人）【基础】（四）包含“都不参加”的题型这类题目中有一部分人既不属于A也不属于B，需要先求出至少参加一项的人数，再求总人数或都不参加的人数。例题：三（3）班有50人，喜欢唱歌的有30人，喜欢跳舞的有25人，既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有10人。问两种都不喜欢的有多少人？解析：先求至少喜欢一种的人数=30+2510=45（人），再用总人数减去至少喜欢一种的人数=5045=5（人）【重要】（五）三量重叠问题（拓展）虽然三年级教材主要学习两项重叠，但部分考试中可能出现简单的三项重叠问题，需要理解三重重叠的原理。例题：一个班有40人，参加英语班的有20人，参加奥数班的有18人，参加作文班的有15人，同时参加英语和奥数的有8人，同时参加英语和作文的有5人，同时参加奥数和作文的有4人，三个班都参加的有2人。问这个班至少参加一个班的有多少人？解析：使用三项公式：20+18+15854+2=38（人）【难点】五、解题策略与技巧（一）画图策略无论题目是否要求，凡是遇到集合问题，第一步都应该在草稿纸上画出简单的维恩图。将已知数据标在相应区域，未知数据用问号表示，然后根据图寻找等量关系。【非常重要】（二）分块计数策略将整个维恩图分成四个独立的部分（只A、只B、既A又B、既非A也非B）。这四个部分的人数之和等于总人数。这是检验答案是否正确的基本方法。（三）方程思想渗透对于较复杂的问题，可以设未知数为x，根据各部分之和等于总数列方程求解。例如，设既A又B的人数为x，则总人数=(Ax)+x+(Bx)+都不参加的人数。（四）从问题出发反向思考当已知条件较多时，先明确题目要求的是什么，再思考需要哪些条件才能求出这个结果，最后在已知条件中寻找这些所需条件。六、易错点与避坑指南【高频易错】（一）忘记减去重复部分这是最常见的错误。看到“一共”就直接用A+B计算，忽略了重叠部分的存在。必须牢记：当有重叠时，A+B会把重叠部分算两次，一定要减去一次。（二）混淆“参加A的”与“只参加A的”“参加A的”包括既A又B的人；“只参加A的”不包括既A又B的人。这两个概念不能混用。在计算时，必须明确每个数据表示的是哪一种含义。（三）维恩图区域标注错误在标注维恩图时，容易把既A又B的人同时写在两个圈里，造成重复计数。正确的做法是：既A又B的人只能写在中间重叠的区域，每个区域只写一次。（四）忽视“至少参加一项”的条件有些题目中会出现“每人至少参加一项”的条件，这意味着“都不参加”的人数为0，总人数就等于至少参加一项的人数。如果忽略这个条件，可能会误认为还有都不参加的人。（五）三项重叠问题中的加减混乱在解决三项重叠问题时，容易忘记把三重重叠的部分加回来。可以借助维恩图理解：三个集合相加时，三重重叠部分被加了三次；减去两两重叠时，三重重叠部分被减了三次，相当于被完全减掉了，所以要加回一次。七、典型例题精析【热点】例1：学校组织文艺汇演，三（4）班参加唱歌的有16人，参加跳舞的有14人，两项都参加的有5人。问：（1）只参加唱歌的有多少人？（2）只参加跳舞的有多少人？（3）参加这两项演出的一共有多少人？解析：画维恩图。左圈代表唱歌16人，右圈代表跳舞14人，中间重叠部分5人。只参加唱歌=165=11（人）只参加跳舞=145=9（人）总人数=11+5+9=25（人），或用公式16+145=25（人）答：（1）11人；（2）9人；（3）25人。例2：三（5）班有42人，每人至少订阅一种报纸。订阅《数学报》的有28人，订阅《语文报》的有25人。问两种报纸都订阅的有多少人？解析：根据公式总人数=A+B交集，所以交集=A+B总人数=28+2542=11（人）验证：只订数学报=2811=17人，只订语文报=2511=14人，总人数=17+11+14=42人，正确。答：两种报纸都订阅的有11人。例3：一次考试，全班40人，做对第一题的有32人，做对第二题的有24人，两题都做对的有20人。问两题都没做对的有多少人？解析：先求至少做对一题的人数=32+2420=36（人）再用总人数减去至少做对一题的人数=4036=4（人）验证：只对第一题=3220=12人，只对第二题=2420=4人，都对=20人，都不对=4人，总和=12+4+20+4=40人，正确。答：两题都没做对的有4人。例4：三（6）班有48人，其中会弹钢琴的有22人，会画画的有18人，两种都会的有6人。问两种都不会的有多少人？只会画画的有多少人？解析：只会画画=会画画总人数两种都会=186=12（人）至少会一种的人数=22+186=34（人）两种都不会的人数=4834=14（人）答：两种都不会的有14人，只会画画的有12人。例5（拓展）：一个兴趣小组共有30人，其中喜欢篮球的有18人，喜欢足球的有15人，喜欢排球的有12人，喜欢篮球和足球的有7人，喜欢篮球和排球的有5人，喜欢足球和排球的有4人，三种都喜欢的有2人。问三种都不喜欢的有多少人？解析：至少喜欢一种的人数=18+15+12754+2=31（人）奇怪，至少喜欢一种的人数31人比总人数30人还多？这说明题目数据有矛盾吗？让我们仔细分析。实际上，当计算出的至少喜欢一种的人数大于总人数时，说明题目给定的数据本身存在问题（例如三种都喜欢的人数可能给少了）。但在实际解题中，我们通常按照公式计算，如果出现这种情况，需要检查数据是否合理。如果数据合理，则三种都不喜欢的人数=总人数至少喜欢一种的人数。这里至少喜欢一种的人数是31人，但总人数只有30人，说明数据有误。正确的数据应该满足各部分之和不超过总人数。假设我们信任公式，那么至少喜欢一种=31人，则三种都不喜欢=3031=1人，这是不可能的。因此，在实际命题中，题目数据会经过调整以保证合理性。（此例旨在说明检查数据合理性的重要性，考试中不会出现这种矛盾数据。）八、综合应用与思维拓展（一）生活中的集合问题1、购物统计：超市进了一批货物，其中A品牌有15种，B品牌有12种，两个品牌都有的有5种。问这批货物中A、B品牌共有多少种？2、家庭统计：小明家订阅了3种报纸，小红家订阅了4种报纸，他们两家有2种报纸是相同的。问小明和小红家一共订阅了多少种不同的报纸？3、交通统计：在一个路口统计，上午经过的卡车有28辆，下午经过的卡车有35辆，有12辆车上午和下午都经过了该路口。问这一天经过该路口的卡车共有多少辆？（二）图形中的重叠问题不只是人数问题，物体的重叠也可以用集合思想解决。例如：两张长度分别为20厘米和15厘米的纸条粘在一起，重叠部分长3厘米，粘好后纸条的总长度是多少？解析：总长度=20+153=32（厘米）。这正是集合思想的迁移应用。（三）推理判断中的集合思想在逻辑推理题中，集合思想也很有用。例如：某班有25人喜欢数学，20人喜欢语文，其中10人两科都喜欢，另外还有5人两科都不喜欢。问这个班一共有多少人？解析：至少喜欢一科的人数=25+2010=35人，全班人数=35+5=40人。（四）最大与最小问题已知两个集合的人数，求并集的最大值和最小值。最大值：当两个集合没有重叠时，并集最大，等于A+B。最小值：当重叠部分尽可能大时，并集最小。最小并集等于max(A,B)（即取较大集合的人数）。例如：A=15人，B=12人，则总人数最多为15+12=27人，最少为15人（当12人完全包含在15人中时）。九、考试考点归纳【必考】（一）基础题考点1、直接给出A、B、A∩B，求总数2、给出总数和A、B，求A∩B3、给出A、A∩B和总数，求B4、计算只A或只B的人数（二）变式题考点1、包含“都不参加”的题目2、需要先求部分量再求总量的题目3、结合图形（已画好维恩图）填写各部分人数的题目4、判断给出的算式是否正确（三）难题考点1、涉及三个集合的简单问题2、集合思想与其他知识点（如统计、平均数）的综合应用3、需要自己画图分析的实际问题4、求最大值或最小值的优化问题（四）常见考查形式1、填空题：直接填写计算结果2、选择题：选择正确的算式或结果3、解答题：需要写出解题过程，画图分析4、应用题：结合生活情境，需要阅读理解后建模十、解题口诀与技巧总结（一）记忆口诀集合问题不用怕，画个圈圈帮助大。两圈相加减重叠，分块计算也不错。只A只B中间交，四个部分要记牢。题目条件看仔细，重复部分别忘掉。（二）解题步骤口诀一读题，找数据；二画图，标区域；三列式，细计算；四检查，要仔细。（三）易错提醒口诀看到一共别急加，先看是否有重叠。参加A的是总数，只A要去掉重叠。题目说每人至少一，都不参加就是零。数据算完要验算，分块相加对总人。十一、能力提升训练（一）基础训练1、三（1）班参加书法比赛的有12人，参加绘画比赛的有15人，两项都参加的有4人。问参加这两项比赛的一共有多少人？2、一个旅行团有40人，其中会英语的有28人，会法语的有15人，两种语言都会的有8人。问两种语言都不会的有多少人？3、某班有35人，订阅《故事会》的有20人，订阅《童话大王》的有18人，两种都订阅的有7人。问只订阅一种刊物的有多少人？（二）变式训练4、三（2）班有42人，每人至少参加一个兴趣小组。参加数学组的有24人，参加作文组的有19人。问两个组都参加的有多少人？5、一次数学测验，全班45人，做对第一题的有38人，做对第二题的有31人，两题都做对的有25人。问两题都没做对的有多少人？6、学校乐队有32人，会弹钢琴的有18人，会拉小提琴的有16人，两种都会的有7人。问只会弹钢琴的有多少人？只会拉小提琴的有多少人？（三）拓展训练7、三（3）班共有50人，喜欢足球的有30人，喜欢篮球的有25人，喜欢排球的有20人，喜欢足球和篮球的有12人，喜欢足球和排球的有8人，喜欢篮球和排球的有6人，三种都喜欢的有3人。问三种都不喜欢的有多少人？8、一张纸条长25厘米，另一张纸条长18厘米，把它们粘在一起，粘好后总长38厘米。问重叠部分长多少厘米？9、某次考试共有两道题，全班40人，做对第一题的有32人，做对第二题的有24人，问两道题都做对的人数可能是多少人？最多是多少？最少是多少？十二、易错题专项突破（一）典型易错题1题目：三（1）班参加跳绳比赛的有9人，参加踢毽比赛的有8人，两项都参加的有3人。小明说：“参加这两项比赛的一共有9+8=17人。”小明说得对吗？为什么？解析：小明说得不对。因为他没有减去重复计算的3人。正确的应该是9+83=14人。易错点：忘记减去重叠部分。（二）典型易错题2题目：三（2）班有45人，参加美术组的有28人，参加音乐组的有22人，有5人两个组都参加了。问两个组都没参加的有多少人？错误解法：+5=0人。为什么错了？解析：错误解法实际上是在做45(28+225)=4545=0。但28+225=45人，这正是至少参加一组的人数，所以两组都没参加的人数应该是4545=0人，这个结果是对的。但为什么说它错？因为部分同学可能会写成+5，这个算式的结果确实是0，但理解上容易混淆。正确的思考应该是先求至少参加一组的人数=28+225=45人，再用总人数45减去45得0。如果直接用+5，虽然得数对，但算理不清，因为已经减多了，最后+5是为了补回多减的重复部分。所以这个算式也是正确的，只是理解难度较大。建议分步计算，避免混淆。易错点：算式理解不清，容易在符号上出错。（三）典型易错题3题目：下图是三（3）班同学参加兴趣小组的情况统计图（图略）。看图回答问题：（1）参加绘画组的有（）人。（2）参加书法组的有（）人。（3）两个组都参加的有（）人。（4）参加这两个组的一共有（）人。错误解法：部分学生数人数时，把中间重叠部分的人数重复数到两边，导致两边人数统计错误。解析：看维恩图时，要明确每个区域的含义。左圈中除了中间的部分是只参加绘画的，右圈中除了中间的部分是只参加书法的，中间部分是两者都参加的。统计参加绘画组的总人数时，要把只参加绘画的和两者都参加的加起来；统计参加书法组的总人数时同理。易错点：维恩图各区域含义不清，统计人数时区域混淆。（四）典型易错题4题目：某班有48人，喜欢语文的有35人，喜欢数学的有30人，有20人两科都喜欢。问两科都不喜欢的有多少人？错误解法：+20=3人。这个算式对吗？解析：这个算式正确。35+3020=45人是至少喜欢一科的人数，4845=3人是两科都不喜欢的人数。而+20=48(35+30)+20=4865+20=3，结果一致。所以这个算式是正确的。但很多同学不理解为什么要+20，其实是因为35+30时把两科都喜欢的人加了两次，减去35和30时相当于把两科都喜欢的人减了两次，所以需要+20补回一次。易错点：对算式的理解不够深入，只会机械套用，遇到变式就出错。（五）典型易错题5题目：三年级有80人参加兴趣小组，其中参加合唱队的有45人，参加舞蹈队的有38人，有15人两个队都参加了。问两个队都没参加的有多少人？错误解法：+15=12人。这个算式对吗？解析：让我们检查一下：至少参加一个队的人数=45+3815=68人，两个队都没参加=8068=12人。而+15=80(45+38)+15=8083+15=12，结果正确。所以这个算式也正确。但要注意，当45+38大于80时，说明数据可能有问题，但这里45+38=83>80，说明有重叠，数据是合理的。易错点：当两个集合人数之和超过总人数时，部分学生不敢继续计算，怀疑自己错了。十三、思维导图与知识建构（一）集合知识体系1、集合概念：确定的、互异的对象组成的整体2、集合表示：列举法、描述法、维恩图法3、集合关系：包含、相交、相离4、集合运算：交集、并集5、容斥原理：两项、三项（二）本课重点掌握1、能识别生活中的重叠问题2、能画出简单的维恩图3、能正确计算重叠问题的总人数4、能解决“只参加”、“都不参加”等变式问题5、能理解并运用两个基本公式（三）与后续知识的联系集合思想是数学的基础思想之一，后续学习中将反复用到：1、分类讨论思想与集合的划分有关2、统计中的分组与集合有关3、排列组合问题需要用到集合计数4、概率问题中事件的关系可以用集合表示5、