初中七年级数学《有理数的除法》学历案设计

初中七年级数学《有理数的除法》学历案设计

（基于北师大版教材的深度学习建构）

一、学习主题与内容解析

1.主题确立

本课时隶属于“数与代数”领域，核心主题为“有理数运算的完备性建构”。有理数的除法是有理数运算体系的最后一块关键拼图，它不仅是乘法的逆运算，更是对“数系”扩充后运算一致性、和谐性的深刻诠释。掌握有理数的除法，意味着学生完成了从算术数到有理数在运算层面的完整跨越，为后续学习比例、线性方程、函数等核心概念奠定了不可或缺的基石。

2.内容解构

1.知识本质：有理数除法法则a÷b=a×(1/b)(b≠0)

，其数学本质是“转化”。它将未知的除法运算转化为已知的乘法运算，体现了数学中“化归”这一核心思想。其中，“倒数”概念是转化的桥梁。

2.纵向联系：本课是小学整数、分数除法运算的自然推广，是有理数乘法运算的逆向深化，也是后续分式运算、解方程（如ax=b

）、学习反比例函数等内容的直接基础。

3.横向关联：与物理学中的速度、密度计算（涉及方向或正负标量），与经济学中的盈亏率计算等现实情境紧密相连，体现了数学建模的初步应用。

4.核心概念：倒数（multiplicativeinverse）、除法法则、运算律的保持（运算的封闭性、确定性）。

5.易错点与难点：符号的确定是显性难点，而从乘法到除法的逆向数学思维建构是隐性难点。学生容易将除法法则中的符号规则与乘法混淆，或在处理复杂分数的除法时步骤混乱。

3.素养指向

本节课旨在发展以下数学核心素养：

1.数学抽象：从具体算例中抽象出普遍适用的除法法则。

2.逻辑推理：通过“因为除法是乘法的逆运算，所以…”的逻辑链，推导并论证法则的合理性。

3.数学运算：熟练、准确地进行有理数除法运算，并能合理选择运算策略（直接除或转化为乘）。

4.数学建模：用有理数除法解决简单的实际问题，理解运算的现实意义。

二、学习目标与评价预设

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与运算”的主题要求，制定如下可观测、可评价的学习目标：

1.学习目标

1.目标A（知识与技能）：理解倒数的概念，能准确求出一个非零有理数的倒数；归纳并理解有理数的除法法则，能熟练运用法则进行有理数（包括分数、小数）的除法运算，并解决简单的实际问题。

2.目标B（过程与方法）：经历从具体情境和已有知识（乘法逆运算）中探索、归纳有理数除法法则的过程，体会“转化”与“化归”的数学思想；在运算中发展选择合理算法（直接除vs.转化乘）的优化意识。

3.目标C（情感、态度与价值观）：通过有理数除法法则的统一性与简洁性，感受数学的和谐与理性之美；在合作探究中养成严谨、求实的科学态度。

2.评价预设

为实现“教学评”一致性，设计如下嵌入式评价任务：

目标

评价任务设计

评价方式

达成标准

A

课堂练习1：快速说出给定有理数（含正、负整数、分数、小数）的倒数。

即时提问、观察

准确率≥95%

A

课堂练习2：独立完成一组有理数除法计算题（含两数相除、分数除法、乘除混合运算）。

书面练习、小组互评

运算步骤规范，结果正确率≥90%

A,C

情境问题解决：“气温变化速率”、“海拔升降平均速度”等应用题。

分析报告、课堂展示

能正确列式，解释算式的现实意义，计算准确。

B

探究活动：小组合作，从多个具体算例（如(-12)÷3=?

,12÷(-3)=?

）中，归纳除法法则，并尝试用乘法的逆运算关系进行解释。

小组讨论记录、代表发言

能合情归纳出符号法则和转化方法，并能进行基本的逻辑说理。

B,C

反思性写作：课后小结“除法法则为何要转化为乘法？这样做的好处是什么？”

书面反思

能清晰表述“转化”思想，认识到将未知转化为已知、统一运算律的好处。

三、学习过程设计与实施

第一阶段：预学·情境锚定与认知唤醒（课前）

【设计意图】链接学生生活经验与已有知识，制造认知冲突，激发探究除法的内在需求。将复习预热任务前移，为课中深度学习腾出空间。

【学习任务单】

1.生活回望：记录一个生活中涉及“分配”、“平均”或“包含”的情境，并尝试用算式表达。例如：一袋饼干重500克，平均分给5个人，每人分得多少克？（500÷5=100

）

2.旧知重温：

1.3.计算：(-3)×4=___

；(-12)÷4=___

？（凭感觉或逆向思考填写）

2.4.什么是倒数？请写出下列数的倒数：5

,-2

,2/3

,-0.5

,1

。

5.问题初探：你认为有理数的除法运算，其结果符号应该怎样确定？与乘法规则相同、相反，还是有其他规律？写下你的猜想。

【教师支持与反馈】通过在线平台或预习单批阅，了解学生对倒数概念的掌握情况，以及关于除法符号猜想的思维起点，据此调整课堂探究的侧重点。

第二阶段：共学·探究建构与意义生成（课中，约35分钟）

【环节一：聚焦冲突，明确问题】（约5分钟）

1.情境导入：展示物理学中的矢量问题。“一辆汽车沿东西向公路行驶，规定向东为正。若它以-60千米/小时的速度（即向西行驶），经过2小时，它的位移是多少？”（学生易列式：(-60)×2=-120

千米）。

2.抛出核心问题：反过来，“如果这辆汽车向西行驶了120千米（位移为-120千米），用了2小时，它的速度是多少？”引导学生列出除法算式：(-120)÷2=?

。

3.揭示课题：这就是我们今天要解决的核心问题——有理数的除法。它与乘法有何关系？运算规则如何？

【设计意图】使用同一物理模型的顺逆问题，自然引出乘除互逆关系，使除法学习具有强烈的现实必要性和逻辑必然性。

【环节二：回溯本源，建构法则】（约15分钟）

活动一：基于“逆运算”关系的演绎推理

1.引导学生回顾：在算术中，除法是乘法的逆运算。因为(?)×2=-120

，所以(-120)÷2=?

。学生通过填空，很容易得出-60

。

2.小组合作探究：完成以下探究表。

除法算式

转化成的乘法问题（填空）

计算结果

观察：商的符号规律

观察：商的绝对值规律

(-120)÷2=?

(?)×2=-120

-60

异号得负

绝对值相除

120÷(-2)=?

(?)×(-2)=120

(-12)÷(-3)=?

(?)×(-3)=-12

0÷(-5)=?

(?)×(-5)=0

(-a)÷(-b)=?

(a,b>0)

(?)×(-b)=-a

1.归纳与表达：小组讨论后，尝试用自己的语言总结有理数除法的符号法则和绝对值法则。

2.教师精讲：在学生初步归纳的基础上，教师进行形式化提炼：

1.3.法则一（符号）：同号得正，异号得负。

2.4.法则二（绝对值）：绝对值相除。

3.5.补充：0除以任何非零数都得0。

活动二：引入“倒数”，实现转化

1.关键提问：观察(-120)÷2=(-120)×(1/2)

是否成立？为什么？

2.建立联系：因为2×(1/2)=1

，所以除以2等于乘以2的倒数1/2

。引导学生验证其他几个例子是否也成立。

3.抽象概括：

1.4.引出核心转化公式：a÷b=a×(1/b)(b≠0)

。

2.5.强调：1/b

就是b

的倒数。因此，除以一个数等于乘以这个数的倒数。

3.6.对比两种方法：直接用法则计算vs.转化为乘法计算。引导学生发现，转化为乘法后，可以利用乘法交换律、结合律进行简便运算，统一了运算，这是数学追求简洁与统一的典范。

【设计意图】本环节是课堂的核心。通过“逆运算”填空这一逻辑主线，让学生自己“发现”法则，理解其由来。再通过引入倒数，将新旧知识（乘、除）完美链接，升华到“转化”思想层面，完成从具体到抽象、从算法到算理的深度建构。

【环节三：辨析深化，巩固技能】（约10分钟）

1.典例精析：

1.2.例1（直接用法则）：(-15)÷(-3)

；0÷(-4.8)

。

2.3.例2（转化为乘法）：(-3/4)÷(-6/5)

。重点展示步骤：①确定符号；②将除数取倒数；③转化为乘法计算。强调分数除法“颠倒相乘”的本质是乘以倒数。

3.4.例3（混合运算）：(-12)÷(-3)×(-1/4)

。对比(-12)÷[(-3)×(-1/4)]

，强调运算顺序的重要性。

5.即学即练（针对目标A的评价任务）：

1.6.计算：①(-36)÷9

；②(-0.75)÷0.25

；③(5/12)÷(-5/6)

；④(-1)÷(-7)×(-1/7)

。

2.7.学生板演，同伴互评，教师点拨易错点（如符号、倒数找错、运算顺序错误）。

【设计意图】通过有梯度的例题和练习，将抽象的法则应用于具体计算，形成技能。教师的板演强调规范性，学生的练习暴露问题，即时反馈纠正。

【环节四：链接实际，素养提升】（约5分钟）

呈现问题（针对目标A、C的评价任务）：

“某气象站记录，某地区在连续4小时内，气温从8℃下降到了-4℃。请问气温平均每小时下降多少摄氏度？”

引导学生：①用算式表示变化总量：(-4)-8=-12℃

（下降为负）。②求平均变化率：(-12)÷4=?

。③解释结果-3℃/小时

的意义。

【设计意图】将运算置于真实情境，让学生理解有理数除法可以描述“变化率”，体现数学的工具价值，促进数学建模素养的萌芽。

第三阶段：延学·迁移应用与反思拓展（课后）

【设计意图】设计分层任务，满足不同学生的发展需求，促进知识的内化、迁移与结构化，并引导元认知反思。

【分层作业】

1.基础巩固（全体必做）：教材配套练习题，侧重法则的直接应用和简单混合运算。

2.能力提升（选做）：

1.3.计算：[(-1/2)+(-1/3)-(-1/4)]÷(-1/12)

。（综合运用）

2.4.探究：已知a,b

互为相反数，c,d

互为倒数，|m|=3

，求(a+b)/m+m-cd

的值。（整合绝对值、相反数、倒数概念）

3.5.实际应用：查阅资料，了解经济学中的“增长率”或物理学中的“平均加速度”计算，尝试用有理数除法建立一个简单模型。

6.反思写作（必做）：完成课中提出的反思性问题：“除法法则为何要转化为乘法？这样做的好处是什么？”（针对目标B、C的评价任务）

【拓展资源】

1.微视频：推荐观看关于“倒数历史”或“负数运算发展史”的科普短片，了解数学知识背后的故事。

2.阅读材料：提供一段关于“运算律在数系扩充中的保持”的科普短文，供学有余力的学生阅读，感悟数学的严谨性与扩展性。

四、教学评估与诊断设计

本课的评估是贯穿全程的“形成性评估”与课后的“总结性评估”相结合。

1.过程性诊断：

1.2.探究活动记录单：分析学生在小组合作中归纳法则的逻辑链条是否清晰，语言是否准确。

2.3.课堂练习与板演：实时诊断学生在运算技能上的个体问题（如符号错误、倒数错误、顺序错误），进行个别化指导。

3.4.课堂问答与观察：评估学生倾听、表达和思维参与的深度。

5.成果性评估：

1.6.课后分层作业：作为课时学习效果的总结性检验。分析错误类型，若普遍存在某类问题（如分数除法转化不熟练），则需在下节课开始时进行集体纠偏。

2.7.反思写作：作为评估学生数学思想方法领悟程度和元认知能力的重要依据。

五、教学特色与创新思考

1.凸显“学历案”特质：本设计以“学生如何学会”为主线，清晰呈现了“学什么”（目标）、“何以学会”（过程与评价）的完整学习历程。预学、共学、延学三阶段环环相扣，引导学生从经验走向数学，从理解走向应用。

2.深挖数学思想内核：超越简单的运算技能训练，将课堂立意于“转化”（化归）思想和“统一性”追求。让学生理解，有理数除法法则的建立，不仅是规定，更是数学内部逻辑发展的必然结果，是对运算体系简洁与和谐的维护。

3.构建跨学科理解网络：有机融入物理学（位移与速度）、地理学（海拔与温度变化）、经济学等情境，使抽象的数学运算具有丰富的现实意义，初步培养学生的跨学科应用意识与建模能力。

4.评价嵌入学习过程：将评价任务作为驱动学习和检测学习效果的关键节点，实现了“教学评”的深度融合。特别是反思性写作任务，促使学生进行思维的内省与升华，指向深度学习。

5.尊重个体差异：通过分层探究任务、分层作业和拓展资源，为不同认知水平的学生提供个性化的发展路径，体现了“让不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念。

六、板书设计（预设）

有理数的除法

一、本质：乘法的逆运算

例：因为(-60)×2=-120

，所以(-120)÷