4.5 垂线 同步练习【湘教】七下数学一课一练

第4章相交线与平行线4.5垂线基础过关全练知识点1垂线的有关概念1.如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA=46°，则∠DOB的大小为()A.36° B.44° C.64° D.72°2.(2021北京中考)如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为()A.30° B.40° C.50° D.60°3.(2022湖南邵阳绥宁期末)如图，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC=32°，那么∠AOD等于()A.148° B.132° C.128° D.90°4.如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2=°.

5.如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明：FG⊥AB，请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由.解：∵DE∥BC(已知)，∴(两直线平行，内错角相等)，∵∠1=∠3(已知)，

∴(等量代换)，

∴CD∥FG().

∴∠GFA=∠CDA(两直线平行，同位角相等)，∵CD⊥AB(已知)，∴∠CDA=90°()，∴∠GFA=∠CDA=90°，∴FG⊥AB.

6.如图，AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O.(1)若∠BOF=2∠AOF，求∠EOF的度数；(2)若∠AOC=∠EOF，试判断OF与CD的位置关系，并说明理由.知识点2垂线的性质7.在公路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和公路垂直的道路，这种方案是唯一的，其原因是()A.经过两点有且只有一条直线B.两点之间的所有连线中线段最短C.垂线段最短D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是()ABCD9.(2022湖南岳阳期末)如图，从点P向直线l所画的4条线段中，线段最短.

10.如图，在铁路旁边有一个村庄李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便，请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由.能力提升全练11.(2022河南中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为()A.26° B.36° C.44° D.54°12.(2022湖南永州祁阳期末)如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED=50°，则∠A的度数是()A.40° B.50° C.80° D.90°13.(2021湖北荆州中考)阅读下列材料，其①~④步中数学依据错误的是()如图,已知直线b∥c,a⊥b,求证:a⊥c.证明:①∵a⊥b(已知),∴∠1=90°(垂直的定义),②又∵b∥c(已知),∴∠1=∠2(同位角相等,两直线平行),③∴∠2=∠1=90°(等量代换),④∴a⊥c(垂直的定义).A.① B.② C.③ D.④14.(2022湖南常德五中期末)如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°.(1)试说明：AB∥CD；(2)求∠C的度数.15.(2022湖南长沙雅礼教育集团期中)如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，OE平分∠AOC.(1)若∠AOE=25°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOE=α，且∠DOF-∠AOE=90°，求证：OF⊥OE.素养探究全练16.已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)如图①，若OA⊥OB，∠BOC=60°，求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOB=80°，∠MON∶∠AOC=2∶7，求∠AON的度数.

第4章相交线与平行线4.5垂线答案全解全析基础过关全练1.B∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∵∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，∴∠DOB=180°-46°-90°=44°.故选B.2.A∵∠AOC=120°，∴∠BOC=60°，∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠BOD=90°-60°=30°.3.A∵OB⊥OD，OC⊥OA，∴∠AOC=∠BOD=90°，∵∠BOC=32°，∴∠AOB=58°，∴∠AOD=90°+58°=148°，故选A.4.40解析∵PM⊥l，∴∠2+∠3=90°，∵a∥b，∴∠1=∠3=50°，∴∠2=40°.5.∠1=∠2；∠2=∠3；同位角相等，两直线平行；垂直的定义6.解析(1)∵∠BOF=2∠AOF，∠BOF+∠AOF=180°，∴3∠AOF=180°，∴∠AOF=60°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=90°-60°=30°.(2)OF⊥CD.理由：∵OE⊥AB，∴∠BOD+∠DOE=90°，∵∠AOC=∠BOD，∠AOC=∠EOF，∴∠EOF=∠BOD，∴∠EOF+∠DOE=90°，∴OF⊥CD.7.D根据垂线的性质解答.8.C跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值.由于C点到踏板最近，所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩.9.PB解析由垂线的性质可知线段PB最短，故答案是PB.10.解析如图，过李庄所在的点向铁路作垂线，垂足即为火车站的位置，理由是垂线段最短.能力提升全练11.B∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∵∠1+∠COE+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1-∠COE=180°-54°-90°=36°.12.A∵BE⊥AF，∴∠BEF=90°，∵∠BED=50°，∴∠DEF=40°.∵AB∥CD，∴∠A=∠DEF=40°.13.B①∵a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定义)，②又∵b∥c(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)，③∴∠2=∠1=90°(等量代换)，④∴a⊥c(垂直的定义).∴①~④步中数学依据错误的是②.14.解析(1)∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD.(2)由(1)知AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180°，∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∴∠3=25°，∵AB∥CD，∴∠C=∠3=25°.15.解析(1)∵OE平分∠AOC，∠AOE=25°，∴∠AOC=2∠AOE=2×25°=50°，∴∠BOD=∠AOC=50°.(2)∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=∠AOE=α，∵∠DOF-∠AOE=90°，∴∠DOF=∠AOE+90°=α+90°，∴∠COF=180°-∠DOF=180°-(α+90°)=90°-α，∴∠EOF=∠COF+∠COE=90°-α+α=90°，∴OF⊥OE.素养探究全练16.解析(1)∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC=75°，∵ON平分∠BOC∴∠CON=12∠∴∠MON=∠COM