第10章 二元一次方程组（12类压轴题专练）【苏科】七下数学专题复习

第10章二元一次方程组（12类压轴题专练）【题型一利用二元一次方程的定义求字母参数】例题：（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是．【变式训练】1．（2023下·山东潍坊·七年级校考阶段练习）若是二元一次方程，则，．2．（2023下·宁夏石嘴山·七年级统考期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则．【题型二已知二元一次方程的解求参数的值】例题：已知是方程的解，则a的值为．【变式训练】1.若是方程的解，则．2．（2023上·山东·八年级期末）若是方程的一组解，则．【题型三已知二元一次方程的解求代数式的值】例题：已知是方程的解，则．【变式训练】1.若是二元一次方程的一组解，则＝．2．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）若是方程的一个解，则．【题型四不解二元一次方程组求代数式的值】例题：（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知，则（）A．3 B． C．2 D．1【变式训练】1．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知，满足方程组，则的值是（

）A．4 B． C．3 D．2．（2023上·重庆大渡口·八年级校考阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，则．【题型五利用二元一次方程组的解求字母参数】例题：（2023下·江苏常州·七年级统考期末）已知是方程组的解，则．【变式训练】1．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）若是二元一次方程组的解，则．2．（2024上·四川达州·八年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是3．（2023下·四川广元·七年级统考期末）若是方程组的解，则的值是．【题型六利用二元一次方程组的解相同求字母参数】例题：（2023上·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为．【变式训练】1．（2023下·浙江绍兴·七年级校联考期中）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为．2．（2023上·全国·八年级专题练习）方程组和同解，求a、b的值．【题型七二元一次方程组结合一元一次方程含参数问题】例题：（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为．【变式训练】1．（2024上·湖北武汉·七年级统考期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则．2．（2024上·安徽六安·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为．3．（2023下·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知关于x、y的方程组(1)直接写出方程所有的正整数解___；(2)如果方程组的解满足，求k的值；(3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，请直接写出这个公共解．【题型八二元一次方程组的特殊解法】例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是．【变式训练】1．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解为．2．（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．【题型九新定义型二元一次方程组有关问题】例题：（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）对x，y定义一种新运算▲，规定：（其中a，b均为非零常数），例如：．已知，．则a，b的值分别是．【变式训练】1．（2023下·吉林·七年级统考期末）定义关于“※”的一种运算如下：※，例如．若※，※，求※的值．2．（2023下·吉林白城·七年级校联考阶段练习）对于有理数x、y，定义新运算：，其中a、b是常数．已知，．(1)求a，b的值；(2)若关于x、y的方程组的解也满足方程，求m的值．3．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，．(1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【题型十二元一次方程组解决分配问题】例题：（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）一方有难，八方支援．甘肃省临夏州积石山县地震牵动亿万国人的心，众多企业伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往灾区，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？【变式训练】1．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质．项目甲原料克乙原料克所配制营养品其中所含蛋白质（单位）__________________其中所含铁质（单位）__________________(1)依据题意，填写上表：(2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？2．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）年我国多地道受连绵不断的阴雨天袭击，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割小麦亩的型收割机和每天能收割小麦亩的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割亩．(1)政府租来的型收割机和型收割机各有多少台?(2)该县某乡镇共有亩小麦，镇长向政府申请了援助．因调配问题，政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天．请计算援助该乡镇共花费了多少元?【题型十一二元一次方程组解决方案问题】例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？【变式训练】1．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元．(1)求医用口罩和洗手液的单价．(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案．2．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．这两种物品的进价、标价如下表所示．进价标价明信片5元/套10元/套吉祥物钥匙扣18元/个30元/个为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．(1)若张老师在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片共46件，花费600元．请问店主获利多少元？(2)张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣和明信片若干件，两种都买且钱要用完．请帮助张老师策划所有可行的购买方案．【题型十二二元一次方程组解决销售、利润问题】例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）为了提高学生的身体素质，某校准备从某体育用品商店购买跳绳和毽子，已知购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元．(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？(2)八年级一班体育委员小明与二班体育委员小亮一起到该商店为本班学生购买跳绳，他俩共买了30根跳绳，小明说他比小亮少付了48元，你认为这可能吗？若可能，求出他们分别购买了几根跳绳：若不可能，请说明理由．（请用二元一次方程组求解）【变式训练】1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：类型进价（元/个）售价（元/个）款120款90若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．(1)求和的值；(2)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售、两款足球各多少个?（每款都有销售，且购买款足球的数量都是3的倍数）2．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：已知该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元．类型进价/（元/个）售价/（元/个）款120款90(1)求和的值．(2)为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售，两款足球各多少个？（每款都有销售）

第10章二元一次方程组（12类压轴题专练）【题型一利用二元一次方程的定义求字母参数】例题：（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是．【答案】，【分析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可．【详解】解：∵是二元一次方程，∴，解得．故答案为：，．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·山东潍坊·七年级校考阶段练习）若是二元一次方程，则，．【答案】2【分析】根据二元一次方程的概念即可求出m和n的值．【详解】解：∵是二元一次方程，∴且，解得且，故答案为：，2．【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，属于基础题，计算过程中细心即可．2．（2023下·宁夏石嘴山·七年级统考期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则．【答案】【分析】根据二元一次方程的定义得出且，，求出m、n即可．【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，∴且，，解得：，．∴故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．【题型二已知二元一次方程的解求参数的值】例题：已知是方程的解，则a的值为．【答案】1【分析】将方程的解代入方程中求解即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，则，故答案为：1．【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．【变式训练】1.若是方程的解，则．【答案】【分析】把代入方程可得，再解一元一次方程即可．【详解】∵是方程的解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．2．（2023上·山东·八年级期末）若是方程的一组解，则．【答案】【分析】将代入方程后进行求解．【详解】解：由题意得，，解得，，故答案为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．【题型三已知二元一次方程的解求代数式的值】例题：已知是方程的解，则．【答案】【分析】把代入方程计算即可．【详解】解：把代入方程得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，关键是能准确理解题意并能求解．【变式训练】1.若是二元一次方程的一组解，则＝．【答案】【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解．【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．2．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）若是方程的一个解，则．【答案】【分析】把代入得，将代入进行计算即可．【详解】解：把代入得：，即，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把把代入得出．【题型四不解二元一次方程组求代数式的值】例题：（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知，则（）A．3 B． C．2 D．1【答案】A【分析】此题考查了解二元一次方程组，用加减消元法得到，即可确定的值．【详解】解：，由得，即，，故选：A．【变式训练】1．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知，满足方程组，则的值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】C【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加，再整理即可求出的值．【详解】解：，得：，∴，即，故选：C．2．（2023上·重庆大渡口·八年级校考阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，则．【答案】/【分析】本题考查了解二元一次方程组；利用加减消元法，将，即可得到答案．【详解】解：得，∴故答案为：．【题型五利用二元一次方程组的解求字母参数】例题：（2023下·江苏常州·七年级统考期末）已知是方程组的解，则．【答案】【分析】把x与y代入方程组求出m与n的值，即可求出的值．【详解】解：把代入方程组得：，解得：，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是求出m与n的值．【变式训练】1．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）若是二元一次方程组的解，则．【答案】7【分析】先把方程组的解代入方程组，将原方程组化简，然后用第二个式子加第一个式子即可求解．【详解】解：将代入方程组中可得故答案是：7．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是求解的关键．2．（2024上·四川达州·八年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值把代入原方程组即可得到，据此可得答案．【详解】解：∵是二元一次方程组的解，∴，∴，故答案为；．3．（2023下·四川广元·七年级统考期末）若是方程组的解，则的值是．【答案】0【分析】将代入原方程组，解可得出，的值，再将其代入中，即可求解．【详解】解：将代入原方程组得：，解得：，．故答案为：0．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是求出，的值．【题型六利用二元一次方程组的解相同求字母参数】例题：（2023上·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为．【答案】【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；【详解】解方程组，解之得，代入得，代入得，故；【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握消元思想是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·浙江绍兴·七年级校联考期中）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为．【答案】-1【分析】联立系数已知的方程得方程组，求解得，代入含参数方程，得关于参数的方程组，求解得参数值，代入代数式求解．【详解】解：由题意，得，解得代入另外两个方程，得，解得∴；故答案为：．【点睛】本题考查方程组解的概念，解二元一次方程组，理解方程组解的概念是解题的关键．2．（2023上·全国·八年级专题练习）方程组和同解，求a、b的值．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．先求出方程组的解，将值代入得到关于a、b的二元一次方程组，计算即可．【详解】解：解方程组，得，代入方程组，得，解得．【题型七二元一次方程组结合一元一次方程含参数问题】例题：（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，方程的解，先算出的解，再将解代入中，即可得，掌握解一元二次方程，方程的解是解题的关键．【详解】解：，①×2，得，③+②，得，，把代入②，得，，，∴方程组的解为，∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，∴，，，，故答案为：3．【变式训练】1．（2024上·湖北武汉·七年级统考期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则．【答案】【分析】本题考查二元一次方程组计算，一元一次方程计算．根据题意利用二元一次方程组将用分别表示出来，再代入中计算关于的一元一次方程即可得到本题答案．【详解】解：∵，∴得：，∴得：，∵，∴，整理得：，即：．2．（2024上·安徽六安·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为．【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．得，，然后根据题意得到，进而求解即可．【详解】∵得，∵关于x、y的方程组的解满足，∴解得．故答案为：1．3．（2023下·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知关于x、y的方程组(1)直接写出方程所有的正整数解___；(2)如果方程组的解满足，求k的值；(3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，请直接写出这个公共解．【答案】(1)或(2)7(3)【分析】（1）根据采用“给一个，求一个”的方法，求解方程的所有正整数解即可；（2）先解，再将解代入，求解即可；（3）可化为，当时，即可求出公共解．【详解】（1）解：时，，；时，，，方程的所有正整数解为或，故答案为：或；（2）根据题意，解，解得，将代入，得，解得；（3）可化为，当时，即时，，，这个公共解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，公共解，熟练掌握这些含义是解题的关键．【题型八二元一次方程组的特殊解法】例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是．【答案】/【分析】由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于，的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，∴出关于，的二元一次方程组的解是，解得：，∴关于m、n的二元一次方程组的解是，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解为．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组的解为，求解即可得出答案，理解题意是解此题的关键．【详解】解：关于的方程组的解为，方程组的解为，解得：，故答案为：．2．（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．【答案】【分析】利用令，得到关于h，t的方程组，根据题意求得h，t，再求解即可．【详解】解：令，，代入方程组可得关于的方程组，因为关于x，y的方程组的解是则关于的方程组的解是则，化简可得：解得【点睛】此题考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用换元法对式子进行变形，得到．【题型九新定义型二元一次方程组有关问题】例题：（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）对x，y定义一种新运算▲，规定：（其中a，b均为非零常数），例如：．已知，．则a，b的值分别是．【答案】2，【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键．【详解】解：∵，，∴，解得，故答案为：2，．【变式训练】1．（2023下·吉林·七年级统考期末）定义关于“※”的一种运算如下：※，例如．若※，※，求※的值．【答案】【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出x与y的值，即可求出所求．【详解】解：根据题意列方程组，得解得∴※．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义及熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．2．（2023下·吉林白城·七年级校联考阶段练习）对于有理数x、y，定义新运算：，其中a、b是常数．已知，．(1)求a，b的值；(2)若关于x、y的方程组的解也满足方程，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据“，”结合新运算法则列二元一次方程组即可解答；（2）先根据新运算法则列出关于x、y的二元一次方程组，用m表示出x、y，再根据列式计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，解得．（2）解：∵，∴，解得：，∵，∴，解得．【点睛】本题主要考查了新定义运算、解二元一次方程组等知识点，理解新定义运算法则是解答本题的关键．3．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，．(1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；（2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可．【详解】（1）解：依题意得，解得：，∵，∴，解得：．（2）解：由题意得：的解为，由方程组得：，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解等知识点，根据新定义列出二元一次方程组、利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．【题型十二元一次方程组解决分配问题】例题：（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）一方有难，八方支援．甘肃省临夏州积石山县地震牵动亿万国人的心，众多企业伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往灾区，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车【分析】本题考查的是二元一次方程组与二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，利用“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，再建立方程组解题即可；（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，利用“3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物”建立二元一次方程求解即可．【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，依题意得：，解得：，答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：，∴，又∵a，b均为非负整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．【变式训练】1．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质．项目甲原料克乙原料克所配制营养品其中所含蛋白质（单位）__________________其中所含铁质（单位）__________________(1)依据题意，填写上表：(2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？【答案】(1)见解析(2)克，克【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，（1）根据题意正确列出代数式即可；（2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解.【详解】（1）解：项目甲原料x克乙原料y克所配制营养品其中所含蛋白质（单位）其中所含铁质（单位）（2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意，得，化简，得解这个方程组得．所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要．2．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）年我国多地道受连绵不断的阴雨天袭击，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割小麦亩的型收割机和每天能收割小麦亩的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割亩．(1)政府租来的型收割机和型收割机各有多少台?(2)该县某乡镇共有亩小麦，镇长向政府申请了援助．因调配问题，政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天．请计算援助该乡镇共花费了多少元?【答案】(1)型有台，型有台(2)元【分析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．（1）设型收割机有台，型收割机有台，再根据题意列方程即可求解；（2）由题意知，天收割了全部小麦，设型收割机收了天，型收割机收了天，根据天数和小麦总数列二元一次方程组解出、的值即可计算总费用．【详解】（1）解：设政府租来的型收割机有台，型收割机有台，由题意可知：，解得：，，政府租来的型收割机有台，型收割机有台；（2）由题意知，天收割了全部小麦亩，设型收割机收了天，型收割机收了天，，解得：，总费用：(元)，援助该乡镇共花费了元．【题型十一二元一次方程组解决方案问题】例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？【答案】(1)种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元(2)小雅共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，（1）设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，根据“该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A种口罩m个，B种口罩n个，利用总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，依题意得：，解得：，答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元；（2）解：设购买种口罩个，种口罩个，依题意得：，即，解得：，又，均为正整数，或小雅共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．【变式训练】1．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元．(1)求医用口罩和洗手液的单价．(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案．【答案】(1)医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元(2)学校一共有4种购买方案，详见解析【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程组的应用：（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1550元；若医用口罩买800个，洗手液买30瓶，则需1150元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）利用总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出答案．【详解】（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据题意得：，解得：，答：医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元；（2）由题意可得：，整理得：，∴，∵∴a、b均为正整数，∴或或或，∴学校一共有4种购买方案：①购买口罩100个，医用口罩150个，洗手液2瓶；②购买口罩75个，医用口罩175个，洗手液4瓶；③购买口罩50个，医用口罩200个，洗手液6瓶；④购买口罩25个，医用口罩225个，洗手液8瓶．2．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．这两种物品的进价、标价如下表所示．进价标价明信片5元/套10元/套吉祥物钥匙扣18元/个30元/个为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．(1)若张老师在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片共46件，花费600元．请问店主获利多少元？(2)张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣和明信片若干件，两种都买且钱要用完．请帮助张老师策划所有可行的购买方案．【答案】(1)店主获利240元(2)当时，，即购买吉祥物钥匙扣件，明信片48件；当时，，即购买吉祥物钥匙扣10件，明信片36件；当时，，即购买吉祥物钥匙扣15件，明信片24件；当时，，即购买吉祥物钥匙扣20件，明信片12件【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用：（1）设购买吉祥物钥匙扣件，明信卡件，根据等量关系列出方程组并解方程组，再利用总价减去成本等于利润即可求解；（2）设张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣件，明信片件，根据等量关系列出二元一次方程，整理得，再根据、均为正整数分类讨论即可求解；理清题意，根据等量关系列出二元一次方程（组）是解题的关键．【详解】（1）解：设购买吉祥物钥匙扣件，明信卡件，依题意得：，解得：，（元），答：店主获利240元．（2）设张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣件，明信片件，依题意得：，即：，、均为正整数，张老师策划所有可行的购买方案如下：当时，，即购买吉祥物钥匙扣件，明信片48件；当时，，即购买吉祥物钥匙扣10件，明信片36件；当时，，即购买吉祥物钥匙扣15件，明信片24件；当时，，即购买吉祥物钥匙扣20件，明信片12件．【题型十二二元一次方程组解决销售、利润问题】例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）为了提高学生的身体素质，某校准备从某体育用品商店购买跳绳和毽子，已知购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元．(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？(2)八年级一班体育委员小明与二班体育委员小亮一起到该商店为本班学生购买跳绳，他俩共买了30根跳绳，小明说他比小亮少付了48元，你认为这可能吗？若可能，求出他们分别购买了几根跳绳：若不可能，请说明理由．（请用二元一次方程组求解）【答案】(1)跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元；(2)这是不可能的，理由见解析．【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，依据题