2025-2026学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷

-2026学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列数学符号是轴对称图形的是（）A．≠ B．≌ C．≥ D．±2．（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（）A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线3．（3分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，△ACE≌△DBF，A，B，C，D四点在同一直线上，若AD＝8，BC＝2，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．35．（3分）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC6．（3分）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为12m．那么，河的宽度是（）A．8m B．10m C．12m D．15m7．（3分）下列四个条件：①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角；②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；③在△ABC中，∠A﹣∠B＝∠C；④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5．其中能确定△ABC是直角三角形的是（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④8．（3分）如图所示的三角形纸片ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm9．（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G10．（3分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是．12．（3分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，添加一个条件，使△ABE≌△ACD（填一个即可）．13．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为海里．14．（3分）如图，△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，交AC于点D．若CD＝3，则AD＝15．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于度．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线．若∠B＝50°，∠C＝80°，求∠EAD的度数．17．（9分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF．（1）试判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC＝50°，连接BE，AC平分∠BCF，求∠A的度数．18．（9分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是A（﹣2，4），B（﹣3，2），C（﹣1，1），直线l经过点（1，0）且与y轴平行．（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，请写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1，B1，C1；（2）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2；（3）若点P（m，n）是△ABC上一点，则点P关于直线l对称的点的坐标是．19．（9分）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）20．（9分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．（1）求证：DB＝DE；（2）若F是BE的中点，连接DF，且CF＝2，求△ABC的周长．21．（9分）在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D，E．试探究BE，DE，AD之间的数量关系，并加以证明；（2）小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线MN位置的变化，BE，DE，AD之间的数量关系也会变化．当直线MN在∠BCA内部位于图2所示的位置时，请直接写出BE，DE，AD之间的数量关系：；（3）小组同学进一步思考：如图3，若AC＝BC不变，∠BCA＝α，直线MN过点C且经过∠BCA外部，D在E的左侧，且∠BEC＝∠ADC＝α，若BE＝a，DE＝b，则AD的长为．22．（11分）综合与实践【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢？【分析问题】小明：如图2，将A，B两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线l．如图3，小明作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程AC﹣CB就是最短的．小智：如图4，在直线l上另取一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可．【解决问题】任务一：（1）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，转化为两点位于直线“异侧”问题来解决．小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是．请你完成下列填空：如图4，在直线l上另取任意一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'．∵点B与B'关于直线l对称，∴直线l是BB'的垂直平分线．∴CB＝，C′B＝．∴AC+CB＝AC+＝．在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，∴AB'＜AC'+C'B∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB最小．任务二：（2）如图5，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）；任务三：（3）如图6，等边△ABC中，D为AC的中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝8，QD＝6，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为．23．（11分）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，OP平分∠MON，点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，则△AOC≌△BOC．（1）【初步感知】如图1，根据以上条件，容易发现AC与BC的数量关系为：；（2）【类比解答】如图2，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD于E，若∠B＝35°，∠EAC＝61°，通过上述构造全等的方法，可求得∠EAD的度数为；（3）【拓展应用】①如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论；②如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点F在线段BC上，∠EFB=12∠C，BE⊥EF，垂足为E，EF与AB相交于点D．若△BDF的面积为36，请直接写出BE的长

2025-2026学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678910答案DCDBBCCDAD11.三角形具有稳定性12.AE＝AD（或CE＝BD或∠AEB＝∠ADC）13.9014.615.90或60选择题、填空题解法提示10．解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（∴BD＝CE，故本选项正确，符合题意；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE+∠DBC＝45°，故本选项正确，符合题意；③∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE，故本选项正确，符合题意；④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，符合题意；故选：D．15．解：①“特征角”α为90°；②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”，由题意得，x+2x＝90°，解得：x＝30°，所以，“特征角”是60°，综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°．故答案为：90或60．解答题参考答案16．解：∵∠B＝20°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣20°﹣50°＝110°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=12∠BAC∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝55°﹣40°＝15°．17．（1）证明：CF∥AB，∵E为AC中点，∴AE＝CE，在△AED和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵AC平分∠BCF，∴∠ACB＝∠ACF，∵∠A＝∠ACF，∴∠A＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，∴2∠A＝130°，∴∠A＝65°．18．解：（1）由题意得，A1（﹣2，﹣4），B1（﹣3，﹣2），C1（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣4）；（﹣3，﹣2）；（﹣1，﹣1）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）由题意得，点P（m，n）关于直线l对称的点的坐标是（2﹣m，n）．故答案为：（2﹣m，n）．19．解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，∴∠CPO=∠COP=∠BOP=1∴∠AOP＝25°，CP∥OB，则点P即为所求．20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD是中线，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE．又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DB＝DE．（2）解：由（1）可知DB＝DE，又∵F是BE的中点，∴DF⊥BE．∵∠ACB＝60°，∴∠CDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°．又∵△CDF为直角三角形，∴CF=1∴CD＝2CF＝4．∵BD是中线，∴AC＝2CD＝8．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∴△ABC的周长＝8+8+8＝24．21．解：（1）①AD+DE＝BE．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ACD与△CBE中，∠DAC=∠BCE∠ADC=∠BEC=90°∴△ACD≌△CBE（AAS）．∴AD＝CE，CD＝BE，∵CE+DE＝CD，∴AD+DE＝BE；（2）DE＝AD﹣BE，理由：同理可证得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE；故答案为：DE＝AD﹣BE；（3）b﹣a，理由：同理可证得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE＝a，AD＝CE，∵DE＝CE+CD，∴AD＝CE＝DE﹣DC＝b﹣a；故答案为：b﹣a．22．解：（1）由题可知数学依据是两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”）；在直线l上另取任意一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'．∵点B与B'关于直线l对称，∴直线l是BB'的垂直平分线．∴CB＝CB'，C′B＝C'B'，∴AC+CB＝AC+CB'＝AB'，在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，∴AB'＜AC'+C'B，∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB最小．故答案为：两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”），CB'，C'B'，CB'，AB'；（2）如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求．∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF，根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求．（3）如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∠A＝60°∵D为AC中点，∴BD⊥AC，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵BP＝