2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷

-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中。1．（3分）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（）A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点4．（3分）2025年9月3日，我国隆重举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，多种自主研发新型装备首次亮相．如图，以重型歼﹣20战斗机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于DE的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．若中型歼﹣35A战斗机所在位置为点B（m，n），歼﹣16D电子战飞机所在位置C与点B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则歼﹣16D电子战斗机所在位置C的坐标为（）A．（m，n） B．（﹣m，﹣n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）5．（3分）下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：36．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是（）A．32 B．36 C．28 D．307．（3分）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝19米，PB＝10米，那么A，B间的距离不可能是（）A．11米 B．15.8米 C．26米 D．30.5米8．（3分）如图是某海域内三处观测站A，C，E的分布图，经测量可得C处在A处的南偏西40°方向，在A处向南偏东25°方向可观测到E处，而E处在C处的北偏东80°方向，则在E处观测A处和C处的视线夹角∠AEC为（）A．60° B．70° C．75° D．80°9．（3分）如图，△ABC中，外角∠MAC，∠ACN的角平分线AD，CD交于点D，点P在BN上，∠BAD+∠DPB＝180°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD，则下列结论中不一定正确的是（）A．BD平分∠ABC B．DC平分∠ADP C．BP﹣2AE＝AB D．S△DAB：S△DBC＝AB：BC10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DM⊥DN，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（）①AD＝DE；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④EM：MC：NE＝1：2：3．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC≌△ADE，则需添加的条件是．12．（3分）如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部P点的坐标是（3，1.5），则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是．13．（3分）在△ABC中，AB＝3，BC边上的中线AD＝4，则边AC的取值范围是．14．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线OP为∠AOB的平分线的有．15．（3分）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是4，△OMN的面积是6，则OM+ON的长是．三、解答题（共8小题，共75分）16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣5，﹣2），C（﹣2，﹣4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出点B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．17．（8分）风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架AC＝AD，底部骨架BC＝BD，点E在AB的延长线上．求证：∠CBE＝∠DBE．18．（8分）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．（1）求∠E的度数．（2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹）（3）求证：BM＝EM．19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．（1）求∠FAN的度数；（2）求证：点P在线段BC的垂直平分线上．20．（10分）如图，在△ABC中，D为△ABC外一点，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°．（1）求证：BC＝CD；（2）若∠ACB＝90°，连接CD，AB＝8，BE＝2，∠ABD＝30°，求AD的长．21．（10分）【材料阅读】已知直线l同侧有两个点A，B，要在l上确定一个点C，使得AC+CB最短．小明的做法如下：作A关于直线l的对称点A'，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有AC＝A'C，因此连接A′B与直线l的交点即为所求点C，A′B＝AC+BC，此时AC+BC最短．（1）上述材料中小明判断AC+BC最短的依据是；【知识应用】（2）如图2，有两条河AO和BO在村庄O处交汇，它们的夹角∠AOB＝30°，距离村庄500米处有一个种植园P，现计划建立兼具灌溉排水功能的环形水渠，P﹣M﹣N﹣P，则水渠总长度最短为米；【拓展应用】（3）如图4，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，M，N分别是AD，AC边上的动点，求CM+MN的最小值．22．（11分）【问题背景】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．（1）探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：；（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=123．（12分）【数学建模】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l、CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．（1）请直接写出DE，BD和CE之间的关系．【变式探究】（2）小丽认为当△ABC不是直角三角形时，上述结论仍然成立．如图2，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，可得DE＝BD+CE．你同意小丽的说法吗？请说明理由．【拓展应用】（3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，△ABF和△ACF均为等边三角形，点D，A，E是同一直线l上不重合的三点，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请说明△DEF为等腰三角形．

2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期中数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678910答案AAADCADCBD11.AC＝AE或∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED12.（﹣3，1.5）13.5＜AC＜1114.①②③④15.16.②③选择题、填空题解法提示10．解：①∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝∠BDE＝90°，∴△CDA和△BDE都是直角三角形，在△BCD中，∠BDE＝90°，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∵BM⊥AC于点M，∴∠AMB＝90°，∴△ABM是直角三角形，∴∠A+∠DBE＝90°，在Rt△CDA中，∠A+∠DCA＝90°，∴∠DCA＝∠DBE，在△DCA和△DBE中，∠CDA=∠BDECD=BD∴△DCA≌△DBE（ASA），∴AD＝DE，故结论①正确；②∵DM⊥DN，∴∠NDM＝∠BDC＝90°，∵∠NDM﹣∠NDE＝∠BDC﹣∠NDE，∴∠MDC＝∠NDB，∵∠DCA＝∠DBE，∴∠MCD＝∠NBD，在△MDC和△NDB中，∠MDC=∠NDBCD=BD∴△MDC≌△NDB（ASA），∴DM＝DN，故结论②正确；③在△DMN中，∠NDM＝90°，DM＝DN，∴△DMN是等腰直角三角形，∴∠DMN＝∠DNM＝45°，∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，故结论③正确；④过点D作DH⊥MN于点H，如图所示：∵BM⊥AC于点M，∴∠DHE＝∠CME＝90°，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△DHE和△CME中，∠DHE=∠CME=90°∠DEH=∠CEM∴△DHE≌△CME（AAS），∴设EH＝EM，DH＝CM，设EH＝EM＝a，∴HM＝EH+EM＝2a，∵△DMN是等腰直角三角形，∴DH＝HN＝HM＝2a，∴NE＝HN+EH＝2a+a＝3a，DH＝CM＝2a，∴EM：MC：NE＝a：2a：3a＝1：2：3，故结论④正确，综上所述：结论正确是：①②③④，故选：D．15．解：过P作PH⊥MN于H，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接PO，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PC＝PH，PD＝PH，∴PC＝PD，∵△PMN的面积＝MN•PH＝4，MN＝2，∴PH＝4，∴PC＝PD＝4，∵△PMN的面积是4，△OMN的面积是6，∴△POM+△PON＝4+6＝10，∴12OM•PC+12ON∴（OM+ON）×4＝10×2，∴OM+ON＝5．故答案为：5．解答题参考答案16．解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标（5，﹣2）；（2）△ABC的面积＝3×5−12×2×3−12（3）如图，点P即为所求．P（0，﹣2）．17．证明：在△ABC和△ABD中，AC=ADBC=BD∴△ABC≌△ABD（SSS），∴∠ABC＝∠ABD，∵点E在AB的延长线上，∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABD+∠DBE＝180°，∴∠CBE＝∠DBE．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又CD＝CE，∠ACB为△DCE的外角，∴∠E＝∠CDE＝30°；如图所示：（3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，又∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，又DM⊥BE，∴BM＝EM．19．（1）解：∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，∴FA＝FB，NA＝NC，∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°，∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°；（2）证明：如图，连接PA、PB、PC，∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线，∴PB＝PA，PC＝PA，∴PB＝PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上．20．（1）证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠CDF，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，在△CFD和△CEB中，∠CDF=∠B∠CFD=∠CEB∴△CFD≌△CEB（AAS），∴BC＝CD；（2）解：由（1）可知，△CFD≌△CEB，∴DF＝BE，在Rt△ACF和Rt△ACE中，AC=ACCF=CE∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∵AB＝AE+BE，∴AB＝AF+BE＝AD+DF+BE，∴AB＝AD+2BE，即8＝AD+2×2，∴AD＝4，答：AD的长为4．21．解：（1）小明判断AC+BC最短的依据是两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短；（2）如图2中，作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，∴MP＝MF，NP＝NG，∴△PMN的周长的最小值为FG，由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，OP＝OF，OP＝OG，∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝500米，∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝500米，∴△FOG为边长为500米的等边三角形，∴FG＝500米，∴△PMN的周长的最小值为500米，故答案为：500；（3）如图，在AB上截取AP＝AN，连接MP，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠MAN＝∠MAP．在△AMN与△AMP中，AN=AP∠MAN=∠MAP∴△AMN≌△AMP（SAS），∴MN＝MP，∴CM+MN＝CM+PM，当C，M，P三点共线且CP⊥AB时，CM+PM最短，∴这时CM+MN有最小值，即CE的长度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∴S△ABC∴CE=24∴CM+MN的最小值为24522．解：（1）EF＝BE+FD．延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图1，∵∠ABE＝∠ADG＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．∴∠GAF＝∠EAF＝60°．又∵AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG＝EF．∵FG＝DF+DG．∴EF＝BE+FD．故答案为：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图2中，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．∵∠ABC+