2025-2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

-2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1．（3分）下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，3），B（2，3），C（1，1），D（﹣1，1）．下列说法正确的是（）A．点A与点B关于x轴对称 B．点A与点B关于y轴对称 C．点A与点B关于直线OC对称 D．点A与点B关于直线OD对称3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a﹣4＝a﹣2 B．（a﹣3）2＝a9 C．（3a）2＝3a2 D．a9÷a3＝a34．（3分）芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为0.000000000025米．某一层介质的厚度为a米．已知该层介质的厚度是金属连线的宽度的20倍，则a的值用科学记数法表示应为（）A．2.5×10﹣10 B．5.0×10﹣11 C．2.5×10﹣11 D．5.0×10﹣105．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（）A．x+1x+2=12B．−xy−x26．（3分）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，若添加一个条件可使△ABC≌△A'B'C'，则添加的这个条件不能是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A' C．∠B＝∠B'＝90° D．∠C＝∠C′7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝30°，AD是△ABC的角平分线，将△ACD沿AD所在直线折叠，得到△AED，则∠BDE的大小为（）A．10° B．20° C．30° D．40°8．（3分）过直线AB外一点C，用尺规作AB的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，DE为半径的两弧的交点．若∠CDF＝130°，则∠ECF的大小为（）A．35° B．30° C．25° D．20°9．（3分）已知等腰三角形ABC的周长为30，则下列结论中错误的是（）A．当∠A＝30°时，△ABC的形状、大小唯一确定 B．当∠A＝130°时，△ABC的形状、大小唯一确定 C．当AB＝4时，△ABC的形状、大小唯一确定 D．当AB边上的高为12时，△ABC的形状、大小唯一确定10．（3分）如图1是一个3×3的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子；②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色；③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜．如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共18分，每小题3分）11．（3分）若分式12x+1有意义，则实数x的取值范围是12．（3分）分解因式：12﹣3y2＝．13．（3分）在△ABC中，设∠B，∠C的角平分线相交于点O．若点O也是△ABC的重心（三角形三条中线的交点），则∠BOC＝°．14．（3分）化简：3a2b⋅(15．（3分）如图，△ABC中，∠CAB＝60°，∠B＝15°，AC＝4，点D，E分别是线段CB，AB上的动点，当AD+DE最小时，AE的长是．16．（3分）某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下：修复师清洁去污结构修复与加固画面修补与全色甲60天30天120天乙60天20天90天丙80天20天80天在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短天可以修复一件文物；最短天可以完成全部文物的修复工作．三、解答题（本大题共52分，第17-19题，每小题4分，第20-23题，每小题4分，第24题6分，第25-26题，每小题4分）17．（4分）计算：(−1)18．（4分）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式（x+3）（x﹣1）+（x﹣3）2的值．19．（4分）计算：(120．（5分）如图，P为∠AOB内部的一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N．写出命题“若∠AOP＝∠BOP，则PM＝PN”的逆命题，并证明该逆命题．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）用等式表示线段CE与BE的数量关系，并证明．22．（5分）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答）23．（5分）如图，AD与BC相交于点O，AB＝CD，∠OAB＝∠OCD，求证：AC∥BD．24．（6分）若P和Q是关于x的两个分式，且P﹣Q＝k（k是一个整数），则称Q是P的“k相关分式”，例如：P=9x−3，Q=3xx−3，则（1）若P=A4−x2（A是关于x的整式），Q=2xx−2，且Q是（2）若P=(x+a+1)(x+b)x，Q=(x+c)(x+1)x（a，b，c都是整数，且a＜b），且Q是25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和线段CD给出如下定义：若存在点P（不在直线AB和直线CD上），使得∠PAB，∠PBA，∠PCD，∠PDC的大小均不超过θ，则称AB和CD具有性质Pθ．（1）如图1，点A（﹣2，0），B（1，0），C1（0，1），D1（2，1），C2（0，2），D2（2，2），C3(0，−12)，D3(2，−12)．在线段C1D1，C2D2，C3（2）如图2，点A（2，0），B（4，0），点C，D在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且∠AOC＝60°，点C，D的横坐标分别记为u，v，满足0＜u＜v．①若AB和CD具有性质P60°，则当u=12时，v的取值范围是②若AB和CD具有性质P90°，且不具有性质P60°，直接写出u，v还应满足的关系．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，过点A作AE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）①依题意补全图形；②求证：∠BAE+∠CAE＝180°；（2）若AB+2AC＝AE，求∠ABC的大小．

2025-2026学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678910答案CBADBDBDAD11.x≠﹣0.512.3（2+y）（2﹣y）13.12014.b6a15.216.选择题、填空题解法提示10．解：如图：∵甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，∴甲第2次只能涂3号方格，当乙第2次涂4号方格时，甲第3次只能涂5号方格，游戏结束；当乙第2次涂5号方格时，甲第3次只能涂4号方格，游戏结束；∴最多次数是甲涂了3次获胜；故选：B．15．解：将△ABC沿BC翻折得到△A′BC，则∠A′BC＝∠ABC＝15°，∠CA′B＝∠CAB＝60°，连接A′C并延长交AB于F，连接A′D，由轴对称的性质可知A′D＝AD，∴AD+DE＝A′D+DE≥A′E，∴当A、D、E共线时，且AE⊥AB时，AD+DE的值最小，∵∠A′BF＝∠A′BC+∠ABC＝30°，∠CA′B＝60°，∴∠A′FB＝90°，∴AF⊥AB，∴E与F重合时，AD+DE的值最小，此时AE＝AF，在Rt△ACF中，∠CAB＝60°，∴∠ACF＝30°，∴AF=1∴当AD+DE最小时，AE的长为2，故答案为：2．解答题参考答案17．解：原式＝1+1+3＝2+3＝5．18．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，原式＝x2﹣x+3x﹣3+x2﹣6x+9＝2x2﹣4x+6＝2（x2﹣2x）+6＝2×1+6＝2+6＝8．19．解：原式=[=2x=2x=220．解：命题“若∠AOP＝∠BOP，则PM＝PN”的逆命题是：P为∠AOB内部的一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，“若PM＝PN，则∠AOP＝∠BOP”，证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠ONP＝∠OMP＝90°，在Rt△ONP和Rt△OMP中，PN=PMOP=OP∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL），∴∠AOP＝∠BOP．21．解：（1）如图所示；（2）CE＝2BE，理由如下：连接AE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=1∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°，∴CE＝2AE，∴CE＝2BE．22．解：设该村成立合作社前柿子的种植面积为x亩，则该村成立合作社后柿子的种植面积为（x+300）亩，根据题意得：90x解得：x＝600，经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．答：该村成立合作社前柿子的种植面积为600亩．23．证明：在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD∠OAB=∠OCD∴△OAB≌△OCD（AAS），∴OA＝OC，OB＝OD，∴∠OAC＝∠OCA，∠OBD＝∠ODB，∵∠AOB＝∠OAC+∠OCA＝∠OBD+∠ODB，∴∠OAC＝∠ODB，∴AC∥BD．24．解：（1）∵Q是P的“2相关分式”，∴P﹣Q＝2，即A4−整理得A＝﹣4x2﹣4x+8，故答案为：﹣4x2﹣4x+8；（2）∵Q是P的“5相关分式”，∴P﹣Q＝5，即(x+a+1)(x+b)x整理得（a+b﹣c）x+（ab+b﹣c）＝5x，∴a+b﹣c＝5，ab+b﹣c＝0，∴c＝a+b﹣5，代入ab+b﹣c＝0中，得ab+b﹣（a+b﹣5）＝0，整理得a（b﹣1）＝﹣5，∵a，b都是整数，且a＜b，∴a，b﹣1都是整数，∴当a＝1时，b﹣1＝﹣5，此时b＝﹣4，不满足a＜b，舍去，当a＝5时，b﹣1＝﹣1，此时b＝0，不满足a＜b，舍去，当a＝﹣1时，b﹣1＝5，此时b＝6，满足a＜b，当a＝﹣5时，b﹣1＝1，此时b＝2，满足a＜b，综上，b的可能取值为6或2．25．解：（1）∵存在点P，使得∠PAB，∠PBA的大小均不超过45°，∴点P在以AB为对角线的正方形的边上或内部．∵∠PCD，∠PDC的大小均不超过45°，∴点P在以CD为对角线的正方形的边上及内部，∴两个正方形有公共点，即满足AB和CD具有性质P45°．如图，∴线段C1D1、C3D3和AB具有性质P45°；故答案为：C1D1、C3D3；（2）①∵θ＝60°，∴点P在以AB和CD分别为边的上下两个等边三角形的边上及内部，如图，∵AB和CD具有性质P60°，∴点P为以AB为边的等边三角形和以CD为边的等边三角形的交点．∵0＜u＜v，∴点D在点C的右上方，点C是定点，当点D运动时，以CD为边的两个等边三角形随着CD的增大而变大．当等边三角形CDF的顶点F落在AE上时，是v的最小值．作D1H⊥x轴于点H，交CF于点G，过点C作CK⊥x轴于点K．∵CF＝OA＝2，∴CG＝1，KH＝1，∴OH=3∴v≥3故答案为：v≥3②过点A、B分别作x轴的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足∠PAB≥90°，∠PBA≥90°，过点C、D分别作直线OC的垂线，则两条垂线及垂线之间的部分满足∠PCD≥90°，∠PDC≥90°，∴两个区域的公共部分即为性质P90对应的点P的轨迹．∵AB和CD不具有性质P60，∴△CDF与△ABE无公共点；当点F与点E重合时，OC＝2，u＝1．∵AB和CD具有性质P90，且不具有性质P60，∴当0＜u≤1时，u＜v＜u+1；当u＞1时，v＞u，整理为u＞1或v﹣u＜1．26．（1）①解：如图，即为补全的图形；②证明：∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC．∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+90°，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣∠BAD．∴∠BAE+∠CAE＝180°．（2）解：如图，延长AC至点F，使得CF＝AC，延长C至点G，使得AG＝AB，连接EF，EG．∵∠ACB＝90°：∴CE垂直平分AF，∴EF＝AE．∴∠CAE＝∠F．∵∠BAE+∠CAE＝180°，∠GAE+∠CA