2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．已知，，，，则．2．不等式的解集为．3．若，为方程的两个根，则．4．命题“”是命题“”的条件．5．已知，都是正数，且．则的最小值为．6．已知关于的一元二次不等式的解集为，，，则．7．在用反证法证明某命题时，对结论“，，至少有一个为整数”的否定为．8．方程的解集为．9．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为．10．已知，，用，表示．11．已知且，则．12．已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集．二、选择题（每题3分）13．已知、，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．已知，，则的值（）A． B． C． D．15．下列叙述正确的个数为（）①对于任何一个集合，总有；②，集合，3，，，，则“”是“”的充要条件；③设，，关于的方程的解集是；④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；A．1 B．2 C．3 D．416．对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，．已知：，则为（）A．0 B．1 C． D．三、解答题17．（1）设，用反证法证明：若，则或．（2）设，比较与的值的大小．18．设全集为，对一切恒成立，集合．（1）求集合和；（2）若，求实数的取值范围．19．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．其值单位：（分贝）定义为．其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦平方米），为基准值．（1）如果，求相应的声强级（结果精确到；（2）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？20．解关于的方程或不等式：（1）（2）（3）21．已知正实数，满足，求的最小值．基中一种解法是：，当且仅当且时，即时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数，满足，求的最小值；（2）若实数，，，满足，求证：；（3）求代数式的最大值，并求出使得最大的的值．

参考答案一、填空题（每题3分）1．已知，，，，则，．解：根据交集的定义可得，，．故答案为：，．2．不等式的解集为．解：，或，解得：，故不等式的解集是，故答案为．3．若，为方程的两个根，则4．解：已知，为方程的两个根，由根与系数的关系可得，则．故答案为：4．4．命题“”是命题“”的必要不充分条件．解：必要不充分条件当时，；当时，说明，有，得．故答案为：必要不充分5．已知，都是正数，且．则的最小值为9．解：，都是正数，则，当且仅当，又，即，取等号．故答案为：9．6．已知关于的一元二次不等式的解集为，，，则1．解：因为的解集为，，，所以的根为，2，所以，，所以，，则．故答案为：1．7．在用反证法证明某命题时，对结论“，，至少有一个为整数”的否定为，，都不是整数．解：在用反证法证明某命题时，结论“，，至少有一个为整数”的否定为，，都不是整数．即对结论“，，至少有一个为整数”的否定为，，都不是整数．故答案为：，，都不是整数．8．方程的解集为．解：方程成立的条件是，由，得，解得或，即方程的解集为．故答案为：．9．若一个直角三角形的斜边为，当其面积最大时，该三角形的周长为．解：设直角三角形的直角边为，，所以，所以，所以，当且仅当时，面积最大，当面积最大时，三角形的周长为．故答案为：．10．已知，，用，表示．解：因为，，所以，所以，所以用，表示．故答案为：．11．已知且，则．解：因为，且，所以，；故答案为：．12．已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集．解：由关于的不等式的解集为，可知：的根为，2，且，则，可得，不等式即为，且，可得，解得，故答案为：．二、选择题（每题3分）13．已知、，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要解：，，则是的充要条件．故选：．14．已知，，则的值（）A． B． C． D．解：，，则．故选：．15．下列叙述正确的个数为（）①对于任何一个集合，总有；②，集合，3，，，，则“”是“”的充要条件；③设，，关于的方程的解集是；④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；A．1 B．2 C．3 D．4解：对于①，，①正确；对于②，，，3，，则，反之，若，则，，因此“”是“”的充要条件，②正确；对于③，当，时，方程的解集是，③错误；对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，，则，矩形面积，当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确．故选：．16．对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，．已知：，则为（）A．0 B．1 C． D．解：设，若是整数，则．若不是整数，则，从而，故，所以，，因为，，，是整数，其中有2021个不是整数．故．故选：．三、解答题17．（1）设，用反证法证明：若，则或．（2）设，比较与的值的大小．解：（1）假设且，则，与已知条件矛盾，所以假设不成立，即或．（2），当时，，当时，，当时，．18．设全集为，对一切恒成立，集合．（1）求集合和；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）对于集合，，所以△，所以，所以，所以，集合；（2）由（1）可知，；因为，所以或，所以或，所以实数的取值范围为或．19．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．其值单位：（分贝）定义为．其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦平方米），为基准值．（1）如果，求相应的声强级（结果精确到；（2）声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？【解答】解（1）当时，，当时，相应的声强级约为；（2）由题意得，两式相减可得：，，声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的100倍．20．解关于的方程或不等式：（1）（2）（3）解：（1）因为，所以，当时，解得，所以方程的解集为，当时，方程无解，即方程的解集为；（2），当即时，方程的解为，所以方程的解集为，当即时，方程的解为，，所以方程的解集为，；（3），当即时，，不等式的解集为；当即时，不等式的解集为；当即时，不等式的解集为．21．已知正实数，满足，求的最小值．基中一种解法是：，当且仅当且时，即时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数，满足，求的最小