2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）.1．已知集合，2，3，4，，，3，6，，则．2．1和3的等差中项是．3．不等式的解是．4．双曲线的渐近线方程是．5．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．6．已知，则的最小值是．7．设随机变量服从正态分布，若，则．8．若的二项展开式中，第5项为常数项，则．9．已知函数，则曲线在点，处的切线方程为．10．已知、为互斥事件，且（A），（B），则．11．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为．12．已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且．设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为．二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题4分，共18分）13．已知，，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．14．设，，下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且15．已知点，，点在曲线上，则△的面积（）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值16．若有穷整数列，，，，满足：，，，2，，，且，则称具有性质，则正确的是（）A．存在具有性质的 B．不存在具有性质的 C．若具有性质，则，，，中至少有两项相同 D．对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，，中任意两项均不相同二、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分）17．记等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．19．有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球．（1）若从罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率；（2）若从罐不放回地摸2个球，求第二次摸到白球的概率；（3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布列和期望．20．（18分）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点；（1）求双曲线的实轴长与离心率；（2）求△面积的最小值；（3）设直线与双曲线交于，两点，且．证明：直线过定点；21．（18分）若对于函数和，存在常数，对任意实数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”（已知和定义域均为．（1）证明：函数是函数的“控制函数”；（2）若函数是函数的“控制函数”，求的取值范围；（3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证“”的充要条件是“为常值函数”．

参考答案一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题4分，共54分）1．已知集合，2，3，4，，，3，6，，则，．解：，2，3，4，，，3，6，，两个集合的公共元素为2和3，，．故答案为：，．2．1和3的等差中项是2．解：根据题意，设是1和3的等差中项，则，即．故答案为：2．3．不等式的解是（或．解：，或，解得，不等式的解是（或．故答案为：（或．4．双曲线的渐近线方程是．解：双曲线的方程，，，即，，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：．5．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．解：圆锥的高位4，底面半径为3，所以圆锥的母线为：5圆锥的侧面积：故答案为：6．已知，则的最小值是．解：，，即．，．则，当且仅当时取等号．因此：的最小值是．故答案为：．7．设随机变量服从正态分布，若，则0.8．解：随机变量服从正态分布，则，故．故答案为：0.8．8．若的二项展开式中，第5项为常数项，则8．解：在的展开式中，第项为，且，因为第5项为常数项，所以的解为，可得．故答案为：8．9．已知函数，则曲线在点，处的切线方程为．解：因为数，所以，所以，，所以曲线在点，处的切线方程为，即．故答案为：．10．已知、为互斥事件，且（A），（B），则0.2．解：根据题意，、为互斥事件，且（A），（B），则，则．故答案为：0.2．11．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为．解：由，，，得．对应复平面内的动点落在以定点为圆心、半径的圆上．因此，原点到圆心的距离，可得．代入得．故答案为：．12．已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且．设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则点运动所形成的曲线周长为．解：以为圆心，所在直线为轴，以△所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，所以，，设点，，，则，，所以，，，因为，所以，整理得，即点的轨迹为平面截球所得到的圆的圆周，而球心到平面的距离，所以截面圆半径为，其中为球的半径，所以点运动所形成的曲线周长为．故答案为：．二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题4分，共18分）13．已知，，，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．解：设向量与向量的夹角为，由，，，得，解得，因为，所以．故选：．14．设，，下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且解：对于，若，且，由对数函数的性质，得，选项错误；对于，若，且，由对数函数的性质，得，选项错误；对于，若，且，由对数函数的性质，得，所以，选项正确；对于，若，且，由对数函数的性质，得，选项错误．故选：．15．已知点，，点在曲线上，则△的面积（）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值解：对于曲线，当，时，方程为，无解；当，时，方程为，曲线为双曲线在第四象限内部分，渐近线为；当，时，方程为，曲线为双曲线在第二象限内部分，渐近线为；当，时，方程为，曲线为椭圆在第三象限内部分，点，，则直线的方程为，，设点到直线的距离为，则；直线和直线平行，两直线间距离为，而，当点落在曲线位于第二或第四象限内的部分上时，恒有；当点落在曲线位于第三象限内的部分上时，设，，则，则，当且仅当时取等号，此时△的面积取到最大值，综上可知△的面积有最大值，但没有最小值．故选：．16．若有穷整数列，，，，满足：，，，2，，，且，则称具有性质，则正确的是（）A．存在具有性质的 B．不存在具有性质的 C．若具有性质，则，，，中至少有两项相同 D．对于任意正整数，对任意具有性质的，有，，，中任意两项均不相同解：记相邻项增量里取值2的次数为、取值的次数为，由，结合得，又总变换步数，联立得，即需为3的正整数倍．对选项时，无整数解，因此，不存在具备性质的，错误．对选项时，，，构造数列0，2，1，3，2，1，0，增量依次为2，，2，，，，满足与增量取值约束，因此，存在具备性质的，错误．对选项时，，，由递推关系，可得，，2，，9对应的模3余数仅能取0，1，2三类，依据抽屉原理，9个数值归入3个余数类别，至少有一个类别包含不少于3个项，因此，，，，中必然存在两项相等，正确．对选项：沿用中构造数列0，2，1，3，2，1，0，其中，即时前6项出现重复项，因此，错误．故选：．二、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分）17．记等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由题可得，解得，，则；（2）由题可得，则，且，所以数列是以4为首项，公比为16的等比数列，所以．18．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，分别为棱，的中点，所以，又，所以，而，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以，即，又，，平面，所以平面．（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，由（1）知平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，又，所以，故平面与平面的所成锐二面角的大小为．19．有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球．（1）若从罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率；（2）若从罐不放回地摸2个球，求第二次摸到白球的概率；（3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布列和期望．解：（1）根据古典概率公式可得，；（2）由全概率公式可得，；（3）的取值为0，1，2，则，，，则的分布列为：012期望．20．（18分）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点；（1）求双曲线的实轴长与离心率；（2）求△面积的最小值；（3）设直线与双曲线交于，两点，且．证明：直线过定点；解：（1）由题意，得，，，所以双曲线的实轴长，离心率；（2）由（1）知，直线的方程为，设，，，，由，消去得，，设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为，．联立，消去，得，令△，得，解得，当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此，，，．因此点到直线的距离，所以△的面积的最小值为．（3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，，，．当直线的斜率为0时，，，则，当时，，解得，则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0；设直线的方程为，联立方程，消去后整理，得，则，，，由，得，所以，即，化简，得解得或2．当时，直线过点，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线过定点．21．（18分）若对于函数和，存在常数，对任意实数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”（已知和定义域均为．（1）证明：函数是函数的“控制函数”；（2）若函数是函数的“控制函数”，求的取值范围；（3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证“”的充要条件是“为常值函数”．解：（1）证明：由于函数，，因此，，那么导函数，，故，即恒成立，因此是函数的“控制函数”．（2）由于函数，，那么导函数，，由于是函数的“控制函数”，所以对任意的，，那么，令，那么导函数，且，故当时，，当时