2025-2026学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．不等式的解集为．2．已知幂函数过点，则．3．已知，，，则．4．已知，化简．5．已知，用的代数式表示．6．已知，则方程的解集为．7．已知实数，满足，则的最小值为．8．定义，，，已知，，，，，则集合中所有元素乘积为．9．若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为．10．全集，已知集合，，．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是．11．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是．12．记表示集合的元素个数，对于集合，，定义，．若集合，满足，，且，则的最小值为．二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分）13．若，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．14．幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是（）A．（a）（b） B．（b）（a） C．（a）（b） D．15．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则16．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，，，有序数组，，，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，，，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，3，，且中所有数之和为2025，则的值为（）A． B． C． D．三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）17．设全集为，，集合，．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．18．（1）已知，，求和的值；（2）正实数满足，求和的值．19．国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为．（1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？（2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？20．（18分）已知幂函数，其中．（1）若函数不经过原点，求函数的解析式；（2）若函数在上严格增函数．①求不等式的解集，其中；②若函数，当，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；21．（18分）已知二次函数，其中，，．（1）若满足，，求；（2）若，，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围；（3）当，，，若对任意实数，总存在，，，使得，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题1．不等式的解集为．解：，解得，故所求解集为．故答案为：．2．已知幂函数过点，则．解：由题可得：，可得．故答案为：．3．已知，，，则4．解：由，，，可得或，当时，集合为，4，，满足元素互异性；当时，解得，此时集合为，1，，不符合互异性，故舍去；则．故答案为：4．4．已知，化简．解：因为，所以．故答案为：．5．已知，用的代数式表示．解：因为，则．故答案为：．6．已知，则方程的解集为．解：当时，，，，原方程为，解得，不满足；当时，，，，原方程为，解得；当时，，，，原方程为，即，恒成立，所以；当时，，，，原方程为，解得，不满足；综上；所以原方程的解集为：．故答案为：．7．已知实数，满足，则的最小值为24．解：因为，所以，，，则，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：24．8．定义，，，已知，，，，，则集合中所有元素乘积为0．解：由题意，，，，则当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，故，4，，又，则，，，故集合中所有元素乘积为0．故答案为：0．9．若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为．解：，令，当时，，此区间内单调递减，最小值为；当时，，此区间内单调递增，最小值大于，当时，，此区间内单调递增，最小大于（2）；当时，，此区间内单调递增，最小值大于（3），综上，函数的最小值为，因此，则的最大值为．故答案为：．10．全集，已知集合，，．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是或．解：根据题意，若“”是“”的必要非充分条件，则，而，，则，解可得，则有或，即的取值范围为或．故答案为：或．11．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是，．解：由已知关于的不等式的解集为，可得，且方程的两根分别为和3，则，得，不等式等价于，即，解得，因为关于的不等式有且仅有8个整数解，因此，即，解得所以的取值范围为，．故答案为：，．12．记表示集合的元素个数，对于集合，，定义，．若集合，满足，，且，则的最小值为2057406．解：设，由题意可得，得到一个集合中的元素有两类方法：第一类：由中任意两个不同元素求和可得，有个：第二类：由中一个元素自身相加求和可得，有个；当且仅当任意两个和都不相等时，集合满足，故集合中任意两个元素之和均不相同．集合中的元素，，，，不妨设，由于；可知“集合中任意两个元素之和均不相同”等价于“集合中的任意两个元素之差也均不相同”，同理集合中的任意两个元素之差也均不相同．要得到集合，中的一个元素，其中．需从集合，中各取一个元素求和，若任意两个元素之和不等，则中有个元素，要使最小，则必须两元素之和重复的最多；设，，，，，，，，，，不妨设，，任取中两个元素，，其中，，，，设，则，由于，故中任意两数作差所得正数差（大减小）互不相同，共有个；同理中所得正数差（大减小）也互不相同，共有个；故最多有相等的正数差个，即两元素之和相等最多有组，故，由题意，则，可得，构造集合，，，，，由二进制数表示的唯一性可知，则．故答案为：2057406．二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分）13．若，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．解：，，，即，，因此，，正确．对于，，即，因此不正确．故选：．14．幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是（）A．（a）（b） B．（b）（a） C．（a）（b） D．解：幂函数的图象经过点，，解得，，，，（a）（b）．故选：．15．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则解：当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立，因为，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故选项错误；因为，当且仅当时，即当时等号成立，故选项错误；，当且仅当时，即当时等号成立，故选项正确．故选：．16．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，，，有序数组，，，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，，，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，3，，且中所有数之和为2025，则的值为（）A． B． C． D．解：对于有序数组，，，有序数组，，，定义“间距置换”：，，，由题可知，，．若介于，之间，则．由题可知，，所以，矛盾，舍去．，，结合，可得或．若，由题可知，，，上述三个式子相加可得，，，，则，，若，同理可得．故选：．三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）17．设全集为，，集合，．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．解：（1）由题意，或，当时，，则或；（2）因为，所以是的子集，时，，解得；时，，解得；综上，的取值范围是，，．18．（1）已知，，求和的值；（2）正实数满足，求和的值．解：（1）因为，，所以，；（2）因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以．19．国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为．（1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？（2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？解：（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元，当购进产品数量为25万件时，利润是万元，当购进产品数量为40万件时，利润是万元；（2）当时，，当时，不妨设降价元，则，得到，所以，当时，，所以，当时，，函数单调递增，当时，利润最大，此时利润是750万元；当时，，当时，利润最大，此时利润是800万元；当时，，当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元；因为，所以该连锁特大商场购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元．20．（18分）已知幂函数，其中．（1）若函数不经过原点，求函数的解析式；（2）若函数在上严格增函数．①求不等式的解集，其中；②若函数，当，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；解：（1）因为是幂函数，所以，解得：或，当时，，当时，，又函数不经过原点，所以；（2）因为在上单调递增，则由（1）可得，，①因为，即，即，当时，原不等式为，解得：；当时，解得：或；当时，解得；当时，无解；当时，解得，综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，无解；当时，解集为；②因为函数，，所以，又，，令，则，，，令，，，当，即时，在，上单调递增，则，解得：，满足条件；当，即时，则，不满足题意；当，即时，，解得：（舍，综上，存在实数，使得的最小值为0．21．（18分）已知二次函数，其中，，．（1）若满足，，求；（2）若，，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围；（3）当，，，若对任意实数，总存在，，，使得，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，所以，所以，所以，解得，所以；（2）因为，所以，当且仅当时等号成立；因为，，所以，，易知此函数为偶函数，令，则有有四个不同实数根，所以在，上有两个不同实数根，即在，上有两个不同实数根，当时，不满足题意；当时，因为，且对称轴为，当时，对称轴，要满足题意，则必有，整理得，解得且；当时，对称轴，函数在，