2025-2026学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）.1．已知全集为，集合，则．2．函数的定义域是．3．在的二项展开式中，项的系数是．4．设、为正数，且，则最大值为．5．如表是岁末成年人的身高的主要百分位数（单位：．小明今年16岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有6.4万人．可以估计出小明的身高至少高于他所在城市万男性同龄人．岁末成年人的身高的主要百分位数岁男141147151157164169174177182女143147150153157161165167171岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：．6．在△中，已知，，，则．7．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是．8．已知数列的前项和，若数列为等比数列，则．9．已知为实数，若关于的二次方程有一个虚根为，则的取值范围是．10．要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍．则当蓄水池的底面半径为时，才能使总造价最低．11．曲线的离心率为，则．12．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点、、，若，．则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．以下不等式正确的是（）A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么14．若是以1为首项、以为公差的等差数列，数列满足为正整数），则数列（）A．是以为首项、以为公比的等比数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以为首项、以为公比的等比数列15．在△中，点、、分别在直线、、上，设，，，其中、、为实数，则、、三点共线的充要条件是（）A． B． C． D．16．在平面直角坐标系中，已知定点、，设动满足，其中，．命题（1）：当时，点对应的曲线大致图像如图①．命题（2）：当时，点对应的曲线大致图像如图②．下列判断正确的是（）A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．若表达式为，，．（1）若函数经过点，判断函数的奇偶性；（2）在（1）的条件下，设，，求函数的最大值．18．某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（即每100元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到元，但提价后每年的销量会减少万件．设代理商收取的年代理费为万元．（1）试将表示为的函数；（2）求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元．19．如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于．（1）若，证明；（2）若，，，，求三棱锥的体积．20．（18分）已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为，，设直线与交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点，其中、在第一象限，、在第四象限，是双曲线的右焦点．（1）求点的坐标和渐近线方程；（2）以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点点，求直线的方程；（3）对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得△与△均以为顶点的等腰三角形，请说明理由．21．（18分）已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点．（1）求实数的值，并求函数上一点，（e）处的切线方程；（2）求函数和的单调区间和极值；（3）是否存在直线，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由．

参考答案一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．已知全集为，集合，则或．解：全集为，集合，或．故答案为：或．2．函数的定义域是（或．解：由，即恒成立，故函数的定义域为或．故答案为：（或．3．在的二项展开式中，项的系数是．解：展开式的通项公式为，令，解得，故项的系数是．故答案为：．4．设、为正数，且，则最大值为．解：因为，为正数，则，即，当且仅当，即时取得最大值．故答案为：．5．如表是岁末成年人的身高的主要百分位数（单位：．小明今年16岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有6.4万人．可以估计出小明的身高至少高于他所在城市4.8万男性同龄人．岁末成年人的身高的主要百分位数岁男141147151157164169174177182女143147150153157161165167171岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：．解：根据题意，小明今年16岁，他的身高为，由图表可知，小明大于该城市男性同龄人的分位数，则小明的身高至少高于他所在城市万男性同龄人，故答案为：4.8．6．在△中，已知，，，则或．解：△中，，，，由正弦定理得，可得，因为，，所以，可得或．故答案为：或．7．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是0.88．解：由题意可知，没人命中的概率为，至少一人命中的概率为．故答案为：0.88．8．已知数列的前项和，若数列为等比数列，则．解：因为，则，，，则有，解得．故答案为：．9．已知为实数，若关于的二次方程有一个虚根为，则的取值范围是，．解：由题意可得，△，解得，故，由韦达定理，由复数模的性质可知，故，，故的取值范围是，．故答案为：，．10．要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍．则当蓄水池的底面半径为时，才能使总造价最低．解：设池侧面单位造价为1，那么池底单位造价为2，因为，所以，又池底面积为，池侧面面积为，设总造价为，则，因此导函数，令，解得：，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，即当时，总造价最低．故答案为：．11．曲线的离心率为，则或．．解：因为可化为，因为离心率为，所以曲线为双曲线，当时，双曲线的焦点在轴上，，所以，则；当时，双曲线的焦点在轴上，，所以，则，所以；综上，或．故答案为：或．12．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点、、，若，．则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是，．解：点、、，设，则，又，所以，即，点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，又，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；设，则在方向上的数量投影为，因为点在圆上，所以，又，，所以，当取最大，取最小值时，此时与反向，则取最小值，为；当、同时取最大值时，此时与同向，取最大值，为3；所以．故答案为：，．二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．以下不等式正确的是（）A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么解：对于选项，取，，，，错误；对于选项，取，，，，满足，但，错误；对于选项，因为，所以，正确；对于选项，取，，满足，但，错误．故选：．14．若是以1为首项、以为公差的等差数列，数列满足为正整数），则数列（）A．是以为首项、以为公比的等比数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以为首项、以为公比的等比数列解：已知是以1为首项、以为公差的等差数列，数列满足为正整数），所以，因为数列满足为正整数），所以，则，则，当时，，则是以为首项，以为公比的等比数列，故选项正确．故选：．15．在△中，点、、分别在直线、、上，设，，，其中、、为实数，则、、三点共线的充要条件是（）A． B． C． D．解：由，可得，即，由，可得，即，则，由，可得，即，则，、、三点共线，根据向量共线定理可得，存在实数，使得，即，，得：，则，即，化简得，．故选：．16．在平面直角坐标系中，已知定点、，设动满足，其中，．命题（1）：当时，点对应的曲线大致图像如图①．命题（2）：当时，点对应的曲线大致图像如图②．下列判断正确的是（）A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题解：由题意，又，由模长公式得：，平方整理得曲线方程：，命题（1）：当时，，（双纽线，图象横卧的8字），当时，可得，即图象过原点，当时，可得，将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称，将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称，将换成，换成，上式成立，即点对应的曲线关于原点对称，图①符合，故命题（1）是真命题，命题（2）：当时，令，得：，关于的方程无解，即点对应的曲线与轴没有交点，图②不符合，命题（2）是假命题．故选：．三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．若表达式为，，．（1）若函数经过点，判断函数的奇偶性；（2）在（1）的条件下，设，，求函数的最大值．解：（1）将点代入，得，，所以，又，，所以，，因为，所以函数为偶函数；（2）由（1）知，当，时，，，所以，，所以当或时，函数取到最大值，最大值为．18．某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（即每100元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到元，但提价后每年的销量会减少万件．设代理商收取的年代理费为万元．（1）试将表示为的函数；（2）求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元．解：（1）提价后衬衫单价为元，年销量为万件，因此因此年总销售额为：，，销量需为正数且代理费比例小于1，所以，解得，因此函数为．（2）根据题意知，，根据定义域可知，那么，化简整理得，解得，位于定义域内，因此．19．如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于．（1）若，证明；（2）若，，，，求三棱锥的体积．解：（1）证明：因为，面，面，所以面，又因为面，面面，所以．（2）因为面面，面面，且面面，所以面．因为，，，所以，所以三棱锥的体积为：．20．（18分）已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为，，设直线与交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点，其中、在第一象限，、在第四象限，是双曲线的右焦点．（1）求点的坐标和渐近线方程；（2）以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点点，求直线的方程；（3）对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得△与△均以为顶点的等腰三角形，请说明理由．解：（1）将双曲线化成标准形式为：，所以，，所以，所以，渐近线方程为；（2）设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为，点到直线的距离为，则，所以此圆的方程为，又因为此圆与直线切于点，所以，又因为，解得，所以，因为直线倾斜角为，且，当时，直线的斜率存在，且，设直线的方程为，即，所以，即，无解；当时，直线的方程为；综上，直线的方程为；（3）存在两个不同的点，使得△与△均以为顶点的等腰三角形，理由如下：假设存在满足题意的点，则有，，所以，的中点重合，且，的中垂线重合，当时，设直线的方程为，，由，可得，设，，，，则，，所以中点为；由，得，即；由，得，即；所以中点为；由此可得，的中点重合，所以直线两直线的中垂线方程为：，即，由，得，则，所以原方程始终有两个不同实数根，即直线与双曲线始终有两个不同交点，所以此时存在两个不同的点，满足题意；当时，直线的方程为，此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意；综上，存在两个满足题意的点．21．（18分）已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点．（1）求实数的值，并求函数上一点，（e）处的切线方程；（2）求函数和的单调区间和极值；（3）是否存在直线，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由．解：（1）已知函数经过点，将点代入，可得，即，解得，由可得，其定义域为，求导可得，将代入，，可得（e），，所以函数上一点，（e）处的切线方程