2025-2026学年上海市华东师大二附中高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.1．已知全集，4，6，8，，集合，6，，则．2．已知，则是第象限角．3．已知、是方程的两个根，则．4．函数的定义域为．5．已知，则．6．已知集合，14，，，．若，则实数．7．若，，则表达式的最大值为．8．已知，，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是．9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是．10．设，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合为．11．已知，且．若，则的最小值为．12．在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：，，．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸原始尺寸），则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A． B． C． D．14．若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为．A． B． C． D．15．若，，则“”是“”的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分16．对于定义域为的函数，记，，．若任取，，都有，，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（）A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（1）若角的终边经过点，，求的值；（2）已知，且为第二象限角，分别求和的值．18．若，，，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．19．可知．（1）求的值；（2）求的值．20．（17分）已知．（1）若，求函数的定义域；（2）当时，解关于的不等式；（3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．21．（17分）在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用“量化“技术．量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电．考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出．输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数．我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数．对于定义域为的函数，若对任意，，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，，当时，都有，则称在上单调递减．（1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，，且，互质．分别判断和在上是否单调递增，（无需说明理由）；（2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：，，．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由．（3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入，，满足，使得输出满足：，，其中，表示，中最大的数．

参考答案一、填空题（满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．已知全集，4，6，8，，集合，6，，则，．解：由题意可知，全集，4，6，8，，集合，6，，所以，．故答案为：，．2．已知，则是第三象限角．解：，所以角与角的终边相同，是第三象限角．故答案为：三．3．已知、是方程的两个根，则1．解：、是方程的两个根，，，则．故答案为：1．4．函数的定义域为，，．解：由题意可得，，解得，，．答案为：，，．5．已知，则．解：，．故答案为：6．已知集合，14，，，．若，则实数7．解：，所以，所以或，时，，此时，14，，，满足题意；时，，无解，所以．故答案为：7．7．若，，则表达式的最大值为．解：易知，其中，因为，，当时，取得最大值为．故答案为：．8．已知，，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是．解：根据题意，函数的定义域为，必有，所以．故答案为：9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是，．．解：在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，，要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，．故实数的取值范围是．故答案为：，．10．设，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合为．解：由题意可知，集合，，因为，当时，，符合题意，当时，，则或，解得或，综上，实数组成的集合为．故答案为：，，．11．已知，且．若，则的最小值为8．解：由得，故．由，通分变形得，即．将其代入的表达式，得．由可知，因此，即．令，则目标式可化为：，令，则，代入得：，当且仅当即，对应时取等号，满足．故答案为：8．12．在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：，，．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸原始尺寸），则的最小值为．解：因为函数与均为单调函数，所以三个尺寸对，，中，，来自同一个变换函数，来自另一个变换函数．若，来自正向变换函数，来自逆向变换函数，则，由和两式相减得，即，所以，化简得，解得，则，，所以．若，来自逆向变换函数，来自正向变换函数，则，由和两式相减得，即，因为，故，即，所以，即，由，得，所以，化简得，即，所以，又，解得，所以，，所以．综上，的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A． B． C． D．解：函数不是奇函数，不满足题意；函数不是增函数，不满足题意；函数不是增函数，不满足题意；函数是奇函数且是增函数，满足题意；故选：．14．若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为．A． B． C． D．解：因为，半径为2，所以，解得，则．故选：．15．若，，则“”是“”的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分解：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立；必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立．故选：．16．对于定义域为的函数，记，，．若任取，，都有，，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（）A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误解：根据题意，依次分析2个命题：对于①：根据题意，若为“晨晖函数”，任取，，有，，结合“晨晖函数”的定义，则有，，必有，，必有，，则一定有，，即，变形可得，所以“晨晖函数”一定是奇函数，故①正确；对于②，由可知，点在函数图象上，根据“晨晖函数”定义，点、、也必在函数图象上，由于这四个点的横坐标2025，，，2026各不相同，不违背函数的定义，故可以构造出满足条件的“晨晖函数”，因此存在这样的函数，②正确．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（1）若角的终边经过点，，求的值；（2）已知，且为第二象限角，分别求和的值．解：（1）由题意，可得，所以，所以；（2）由于，两边平方，可得，可得，可得，由，解得或，由于是第二象限角，可得，，可得，可得．18．若，，，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）解不等式得或，所以，，．当时，，，解不等式得，所以，所以，，．（2）解方程得或，当时，，此时，不满足题意；当时，，因为，则，解得；当时，，显然不成立．综上，的取值范围为，即，．19．可知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，可得；（2）因为，所以．20．（17分）已知．（1）若，求函数的定义域；（2）当时，解关于的不等式；（3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．解：（1）当时，，当时该函数才有意义，即，所以，解得，故函数的定义域是；（2）当时，，此时，即，，解得，故定义域为．由，得，即，解得．综上，所求解集为．（3）由，得，即，则，即．当时，经检验确为原方程的解，成立；当时，经检验确为原方程的解，成立；当且时，考虑和．由，得总为原方程的解，故此时一定不满足原方程，从而，即．综上所述：的取值范围是，，．21．（17分）在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用“量化“技术．量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电．考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出．输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数．我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数．对于定义域为的函数，若对任意，，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，，当时，都有，则称在上单调递减．（1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，，且，互质．分别判断和在上是否单调递增，（无需说明理由）；（2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：，，．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由．（3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入，，满足，使得输出满足：，，其中，表示，中最大的数．【解答】（1）解：由函数的定义可知．任取，，，假设，因为，，所以，因为，，所以，所以，与假设矛盾，所以，在上单调递增；取，所以，因为，所以在上不是单调递增的；（2）解：由题意，量化神经网络的定义域为，关于原点对称．任取，不妨设，，所以，，所以，，其中，下面分情况讨论：当时，，又，所以；当时，设整数和中的偶数为，因此，又，所以此时整数和中的偶数为，故；当时，，又，所以，综上所述，对于任意，恒有，因此是奇函数；任取，，且，不妨设，，其中．下面对分类讨论：当，时，因此，由的定义可知；当时，由于，，而，因此．综上所述，在上单调递增；（3）证明：给定量化神经网络，不妨设（1），因此可考虑新的量化神经网络，