2025-2026学年上海市华东师大松江实验高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市华东师大松江实验高级中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）.1．已知集合，和集合，，则．2．指数式化成对数式为．3．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为．4．若关于的方程：恒成立，则．5．若，则的最小值是．6．若关于的不等式的解集是，则．7．若集合，至多有一个元素，则的取值范围是．8．已知，，用和表示．9．已知方程的两个根为、，则．10．已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是．11．设有两个命题：①方程没有实数根；②实数为非负数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是．12．已知由自然数组成的元集合，2，3，4，，，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为．二、单选题（第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分）13．已知、、且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．14．若，，，，下列运算正确的是（）A． B． C． D．15．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（）A． B． C．，， D．16．设，为常数，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是（）A． B． C． D．三、解答题（共5题，共78分）17．已知集合，，．（1）求、；（2）若全集，求．18．函数（1）若，求的解集；（2）若关于的方程只有一个根，求的值；（3）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．19．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本）20．（18分）已知命题：不等式对任意恒成立．命题：集合，，满足．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．21．（18分）正数、满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数、满足，求的最小值，并指出等号成立的条件；（2）设的最小值为，且正数、满足，求的最小值；（3）若实数、、、满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时的值．

参考答案一、填空题（共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共72分）.1．已知集合，和集合，，则．解：，，，由并集定义得．故答案为：．2．指数式化成对数式为．解：因为，所以．故答案为：．3．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为或．解：要证命题的结论为且，它的否定为或，所以应假设或．故答案为：或．4．若关于的方程：恒成立，则2．解：因为，所以，解得，所以．故答案为：2．5．若，则的最小值是．解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．6．若关于的不等式的解集是，则．解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与，由韦达定理可得：，解得：，，故答案为：．7．若集合，至多有一个元素，则的取值范围是或．解：集合，至多有一个元素，或，解得或，的取值范围是或．故答案为：或．8．已知，，用和表示．解：由，得，，所以．故答案为：．9．已知方程的两个根为、，则．解：由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，故，故答案为：．10．已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是．解：，，由于是的一个充分不必要条件，所以，所以．故答案为：．11．设有两个命题：①方程没有实数根；②实数为非负数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是，．解：①方程没有实数根；则△，解得；②实数为非负数，即；数轴表示出两个命题中的范围如图：如果这两个命题中有且只有一个是真命题，，．故答案为：，．12．已知由自然数组成的元集合，2，3，4，，，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为288．解：由题意可知，当时，，2，3，4，，，当中有两个元素时，集合可以为，，，，，，，，元素总和为：；当中有四个元素时，集合可以为集合，，，，，，，中任取两个的并集，所以集合共有6种情况，元素总和为：；当中有六个元素时，集合可以为集合，，，，，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：；当中有八个元素时，，2，3，4，，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素和为：．故答案为：288．二、单选题（第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分）13．已知、、且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．解：当，时，，显然错误；当时，显然错误；因为，，由不等式性质可知，，正确．故选：．14．若，，，，下列运算正确的是（）A． B． C． D．解：由，，，，知：对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误．故选：．15．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（）A． B． C．，， D．解：，化简得即，得到且①或且②，解出①得；解出②得且无解．．故选：．16．设，为常数，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是（）A． B． C． D．解：关于的不等式，等价于，转化为，不等式的解集中的整数恰有3个，，又，不等式的解集为，解集里的整数是，，0三个，，，即；又，，解得，综上，的取值范围是．故选：．三、解答题（共5题，共78分）17．已知集合，，．（1）求、；（2）若全集，求．解：（1）集合或，，，，或；（2）全集，集合或，，，．18．函数（1）若，求的解集；（2）若关于的方程只有一个根，求的值；（3）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．解：（1）当时，时，解得，解集为．（2）只有1个根，若，，解得，满足要求，若，△，解得，综上，或1．（3），即的解集为，当时，，解得，不符合要求，当时，需满足，解得，所以实数的取值范围是．19．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本）解：（1）设饮料每瓶售价为元，由题意得，即，解得，故饮料每瓶售价最多为20元；（2）每瓶售价元，设下月总利润为，则每瓶利润为元，月销售量为万瓶，由题意得，，则，，当且仅当，即时，等号成立，，故当每瓶售价为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元．20．（18分）已知命题：不等式对任意恒成立．命题：集合，，满足．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．解：（1）不等式对任意恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以．故实数的取值范围为，；（2）命题：集合，，满足．若命题为真命题，对于方程，其判别式△，①当△，即，，符合；②当△，即或，当时，，不符合；当时，，符合；③当△，即或，设方程的两根为，．当时，，，所以，，，，此时，不符合；当时，，，所以，，，，此时，符合．综上可得，命题为真命题时，．所以命题、中至少有一个为真命题，实数的取值范围为．所以实数的取值范围为．21．（18分）正数、满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数、满足，求的最小值，并指出等号成立的条件；（2）设的最小值为，且正数、满足，求的最小值；（