2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分）.1．直线的倾斜角为．2．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为．3．函数的图像在处的切线方程为．4．已知随机变量的分布为，且，则．5．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则x＝．6．已知，则的最小值是．7．设集合，，，（其中，为虚数单位）．若，则实数的取值范围是．8．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为．9．已知．则．10．已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是．11．已知椭圆，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为．12．将集合，2，，划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有种．二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分12分）13．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（）A． B． C． D．14．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等15．我国“天宫勘探计划”中，自主从编号的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要分析选择探测目标时，以下任务事件的概率关系错误的是（）A．（A）（B） B． C． D．（A）（B）（C）16．若不恒为零的函数满足，在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”．已知以下两个命题：命题：若是“1级导同函数”，则．命题：存在一个“级导同函数”，使得它的函数图象经过三个象限．则（）A．命题真命题，命题真命题 B．命题真命题，命题假命题 C．命题假命题，命题真命题 D．命题假命题，命题假命题三、解答题：（本题共有4大题，满分46分，解题时要有必要的解题步骤）17．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．18．为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下：年份（年201420152016201720182019202020212022颗粒物浓度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.864.614.464.053.082.462.181.611.531.35记年份为，颗粒物浓度，，，9．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中，，，是常数，是自然常数，假设．（1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由．（2）在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到19．已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点．（1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标；（2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标；（3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值．20．对于函数图像上不同的三点，、，、，（其中，，记点处的切线为，若，则称为函数在区间，上的“点”．特别地，当，则称为函数在区间，上的“和谐点”．（1）设，，是函数在区间上的“点”，若求实数的值；（2）设，若函数在区间上恰有3个“点”，求所有满足条件的实数的值组成的集合；（3）设试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐点”的区间，，若存在，求出该区间，；若不存在，请说明理由．

参考答案一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分）1．直线的倾斜角为．解：直线的斜率为，所以倾斜角为．故答案为：．2．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为．解：由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长，半径为圆锥的母线长为3，由弧长公式有圆心角，故所求扇形的圆心角为．故答案为：．3．函数的图像在处的切线方程为．解：因为，所以，所以（1），（1），所以切线方程为，整理得．故答案为：．4．已知随机变量的分布为，且，则0.6．解：由题意可得：，且，解得．故答案为：0.6．5．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则x＝5．解：若该组数据的第25百分位数为87，16×25%＝4，因此该组数据的第25百分位数为该组数据从小到大排列后，第四位数和第五位数的平均数，则，故x＝5．故答案为：5．6．已知，则的最小值是．解：，，即．，．则，当且仅当时取等号．因此：的最小值是．故答案为：．7．设集合，，，（其中，为虚数单位）．若，则实数的取值范围是，．解：设，得，即，由，得，即，集合是以为圆心，以1为半径的圆上的点集，和集合是为圆心，以1为半径的圆上的点集，由，知两圆有交点，可得，解得．故答案为：，．8．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为．解：由，，得两焦点间距，动点满足，满足，轨迹为焦点在轴的双曲线一支．记，，得，，代入得．焦点在轴的双曲线标准式为，结合，动点仅取的上支，代入参数得．故答案为：．9．已知．则24．解：函数的导数则，故答案为：2410．已知，点，点是的图象上异于点的任意一点，直线的斜率记为，则的取值范围是．解：由题意，，函数的定义域是，，，令，则，设，，因为点，所以，当时，，因为，所以，故，故；当时，则；当时，，因为，故，则．综上，的取值范围是．故答案为：．11．已知椭圆，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为．解：根据题意，椭圆，其中，，则，故的坐标为，的坐标为．则有，即，因此．在△中，由三角不等式得，当且仅当，，三点共线且位于，之间时取等号，又由，故．经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取．故答案为：．12．将集合，2，，划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有36种．解：将集合，2，，划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，显然7，8，9，10，11，12不可能是集合中的较小元素，故1，2，3，4，5，6为较小元素，7，8，9，10，11，12为较大元素，且一定有一个集合为，，第一步先选5，5有10，11两种选择，第二步再选4，4有8，9，10，11四种选择，但去除第一步所选的数字，共三种选择，剩下1，2，3，如何选取均可，故不同的划分方式有种．故答案为：36．二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分12分）13．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（）A． B． C． D．解：记吹风为事件，下雨为事件，由题意可知，（A），（B），，因为（A）（B），所以既吹南风又下雨的概率为．故选：．14．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等解：曲线表示焦点在轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8．对照选项，则正确．故选：．15．我国“天宫勘探计划”中，自主从编号的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要分析选择探测目标时，以下任务事件的概率关系错误的是（）A．（A）（B） B． C． D．（A）（B）（C）解：由题意知总样本数为12，各样本被选中的概率相等：事件，3，5，7，9，，故；事件，2，3，4，5，，故；事件，2，4，，故，，对于，，3，，故，而，因此（A）（B），正确；对于，，共1个样本，故，由条件概率公式得，正确；对于，，共5个样本，故，由条件概率公式得，因此，错误；对于，，共1个样本，故，而，因此（A）（B）（C），正确．故选：．16．若不恒为零的函数满足，在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”．已知以下两个命题：命题：若是“1级导同函数”，则．命题：存在一个“级导同函数”，使得它的函数图象经过三个象限．则（）A．命题真命题，命题真命题 B．命题真命题，命题假命题 C．命题假命题，命题真命题 D．命题假命题，命题假命题解：为“级导同函数”，即，则，则，其中是非零常数，则，命题：若是“1级导同函数”，则，故命题是假命题；命题：因为，所以当时，过一、二象限；当时，过三、四象限；故它的函数图象不可能经过三个象限，故命题是假命题．故选：．三、解答题：（本题共有4大题，满分46分，解题时要有必要的解题步骤）17．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【解答】（1）四边形是正方形，，又平面，平面，平面，四边形是梯形，，又平面，平面，平面，又，，平面，故平面平面，又平面，平面．（2）解：，平面，，平面，，，即，，两两垂直，故以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，2，，，0，，，2，，，0，，，，，设平面的一个法向量，则有令，则，，，点到平面的距离，点到平面的距离为．18．为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下：年份（年201420152016201720182019202020212022颗粒物浓度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.864.614.464.053.082.462.181.611.531.35记年份为，颗粒物浓度，，，9．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中，，，是常数，是自然常数，假设．（1）设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由．（2）在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到解：（1）年份递增时，颗粒物浓度递减，因此与负相关，；，递减时同步递减，因此与负相关，．令，那么，1，2，，8，，计算得，，，，，，因为，说明与的线性相关性更强，因此模型②的拟合效果更好．（2）对于，得：，所以，回归直线过样本中心点，将，代入得：，解得，因此，那么，2026年对应，代入方程得：．19．已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点．（1）若点到焦点的距离等于9，求点的坐标；（2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标；（3）若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值．解：（1）设，，由题，，故，将代入抛物线，得，因此，点的坐标为或；（2）证明：由题，设直线方程：，，，，，由，得，即，即，得，联立方程，得，△，，故，直线方程：．由此证明，直线过定点，定点坐标为．（3）由题意，设直线，，，，，，，由，得，，得直线，联立方程，得，得，同理可得，，即，因此，，，故（等号当且仅当成立）．综上，的最小值为．20．对于函数图像上不同的三点，、，、，（其中，，记点处的切线为，若，则称为函数在区间，上的“点”．特别地，当，则称为函数在区间，上的“和谐点”．（1）设，，是函数在区间上的“点”，若求实数的值；（2）设，若函数在区间上恰有3个“点”，求所有满足条件的实数的值组成的集合；（3）设试探究函