2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．2．不重合的两个平面最多有条公共直线．3．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为．4．正方体中，异面直线与所成角的大小为．5．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为．6．在三棱锥中，若，则点在底面的投影是△的．7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为．8．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图△如图所示，若，则的长为．9．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为．10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为（交通锥筒的厚度忽略不计）．11．如图，的二面角的棱上有两点，，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则．12．如图，在直三棱柱中，，，，，．记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为．二、选择题：（本大题共有4题，每小题4分，共计16分）13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线14．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A．若，，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要16．已知正方体和点，有两个命题：命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；则下列判断正确的是（）A． B． C． D．、的大小关系与点的位置有关三、解答题：（本大题共有5题，共计42分）17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？，结果精确到1元）18．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．19．（1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理；（2）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）．20．四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，求到平面的距离．21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，△是等边三角形．（1）求二面角的大小（结果用反三角表示）；（2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大．

参考答案一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．【解答】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为．显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为，．故答案为：，．2．不重合的两个平面最多有1条公共直线．解：不重合的两个平面最多有1条公共直线．故答案为：1．3．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为平行或相交．解：空间中两条直线、有三种位置关系，分别为平行、相交和异面，由公理2的推论可知，只有当两直线平行或相交时，两直线才能确定一个平面．故答案为：平行或相交．4．正方体中，异面直线与所成角的大小为．解：法如图，取中点为，中点为，连接，取中点为，连接，，设正方体棱长为2，则，，，，取中点为，连接，，，则，，，从而，即异面直线与所成角的大小为．法在正方体中，连接，，易得平面，且，又因为平面，可得，又因为，可得平面，而平面，可得，即异面直线与所成角的大小为．5．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为．解：在正方体中，平面，则是直线与平面所成的角，而，在△中，，所以直线与平面所成角的余弦值为．故答案为：．6．在三棱锥中，若，则点在底面的投影是△的外心．解：在三棱锥中，，设点在底面的投影为，则底面，连接，，，则，，，由于，则由勾股定理可得，所以点是△的外心．故答案为：外心．7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为．解：棱锥的棱长都为2，四棱锥为正四棱锥，则，在中，可得，棱锥体积．故答案为：．8．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图△如图所示，若，则的长为1．解：根据题意，的面积为，则其水平放置的直观图△的面积，则有，则有，则由余弦定理可得：，即的长为1；故答案为：1．9．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为．解：因为矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周所以所形成的几何体可由一个圆柱，去掉两个全等圆锥所构成，圆柱，圆锥底面半径为1，圆柱高为2，圆锥高为1，则圆柱体积为：，圆锥体积为：，则几何体体积为：．故答案为：．10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为（交通锥筒的厚度忽略不计）．解：设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为．因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的底面周长为，故，解得，所以该圆锥的侧面积为．故答案为：．11．如图，的二面角的棱上有两点，，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则．解：由已知，，即，，由已知可得，，，．故答案为：．12．如图，在直三棱柱中，，，，，．记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为．解：将△绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线距离，所以，因为，所以．所以当取最小时，为的中点，因为△为等边三角形，为的中点，所以为△的重心，故，在平面中，延长交于点，因为，，，所以△△，故．取的中点，为的中点，则，因为，，所以四边形为平行四边形，则，，又，，所以，所以，故过点，，的三棱柱的截面为梯形，，如下图，过作，设，，因为，，则，所以，则梯形的面积为．故答案为：．二、选择题：（本大题共有4题，每小题4分，共计16分）13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线解：根据异面直线的概念可看出直线，，都和直线为异面直线；和在同一平面内，且这两直线不平行；直线和直线相交，即选项正确．故选：．14．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A．若，，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则解：根据题意，依次分析选项：对于，与可能平行，也可能异面，错误；对于，与可能平行、也能相交，错误；对于，与可以平行、也可以相交或异面，错误；对于，若，，必有，正确；故选：．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要解：根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，反之，当成立时，不一定有成立，比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分条件．故选：．16．已知正方体和点，有两个命题：命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；则下列判断正确的是（）A． B． C． D．、的大小关系与点的位置有关解：正方体有四条体对角线，四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，夹角的正切值为，过点可以作4条直线，4条直线分别与4条体对角线平行，正方体只有4条体对角线，；过正方体的一个顶点可以作出正三棱锥，比如，可以证明平面与正方体的三个平面，平面，平面的锐二面角相等，设平面与平面的夹角为，，相交于点，连接，则即为平面与平面的夹角，，可以求出平面与平面，平面与平面的锐二面角的正切值均为，根据面面平行，故平面与正方体的每个面所成锐二面角都相等，从8个顶点可以作出8个类似的正三棱锥，得到八个平面，分别为平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，但平面，平面，平面，平面分别与平面，平面，平面，平面，平面平行，综上，过点共可以作4个平面满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等，．故选：．三、解答题：（本大题共有5题，共计42分）17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？，结果精确到1元）解：已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为，设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为，因圆柱的底面周长为，则，则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：，圆锥侧面积为：，则“笼具”表面积为：，该材料的造价为每平方米8元，则总造价为：元．18．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在正方体中，连接，，，因为平面，平面，所以，又，且，，平面，所以平面；（2）解：建立如图所示空间直角坐标系：、分别是棱、的中点．则，0，，，0，，，4，，，4，，所以，可得，，，可得，，设异面直线与所成的角为，可得，．19．（1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理；（2）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）．解：（1）文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号语言叙述该定理：，．（2）平面平面，平面平面，平面平面20．四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，求到平面的距离．【解答】（1）证明：连接交于点，连接，在三角形中，点是的中点，点是的中点，即线段是△的中位线，，又平面，平面，平面；（2）解：平面，平面，平面平面，又平面平面，在平面内，过作，则平面，即为到平面的距离，在△中，由，，得，由等面积法可得，到平面的距离为．21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，△是等边三角形．（1）求二面角的大小（结果用反三角表示）；（2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大．