2025-2026学年上海市徐汇区紫竹园中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市徐汇区紫竹园中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设是实数，集合，，若，则．2．设全集，已知集合，则．3．陈述句：“且”的否定形式是．4．幂函数的图象经过点，则的值为．5．设，，是的充分条件，则实数的取值范围是．6．已知正实数、满足，则的最大值为．7．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是．8．设，则．9．已知，则实数的取值范围为．10．设集合，则．11．设，若对任意，都有成立，则的取值范围为．12．设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则．二、选择13．如果，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．14．下列函数中图像关于原点对称，并且在上严格递减的是（）A． B． C． D．15．已知，．则等于（）A． B． C． D．16．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A． B．10.1 C． D．三、解答题17．设，若，求实数的取值范围．18．已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．19．已知幂函数的定义域为．（1）求实数的值；（2）若不等式的解集是，，求的值．20．高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度的平方成正比（其中比例系数为，固定部分每小时运输成本为10125元．（1）写出全程运输成本（元关于速度的函数表达式，并指出函数的定义域；（2）当高铁列车时速大约为多少时，全程运输成本（元最小．21．（1）解不等式：；（2）设集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；（3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在，使得不等式．与的解都属于，若不存在，说明理由．若存在，请求出满足条件的的所有值．

参考答案一、填空题1．设是实数，集合，，若，则．解：因为集合，，若，则，解得．故答案为：．2．设全集，已知集合，则．解：全集，集合，．故答案为：．3．陈述句：“且”的否定形式是或．解：陈述句：“且”的否定形式是：或．故答案为：或．4．幂函数的图象经过点，则的值为．解：设幂函数，其函数图象经过点，，解得，；．故答案为：．5．设，，是的充分条件，则实数的取值范围是，．解：，，若是的充分条件，则．实数的取值范围是，．故答案为：，．6．已知正实数、满足，则的最大值为．解：因为正实数、满足，所以，当且仅当，即时，取到最大值．故答案为：．7．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是．解：由一元二次不等式的解集为，知方程的两根为2和3．由根与系数的关系，得，，故．将，代入不等式，得，因式分解得，其对应方程的根为和，解得或，所以不等式的解集为．故答案为：．8．设，则1．解：，，，．故答案为1．9．已知，则实数的取值范围为．解：当，时，即时，，原等式成立；当，时，即时，，解得，此时时原等式成立；当，时，即时，，解得，此时时原等式成立；当，时，此时无解；综上，．故答案为：．10．设集合，则．解：集合，，，．故答案为：．11．设，若对任意，都有成立，则的取值范围为，．解：由恒成立，可得恒成立，当时，恒成立；当，的图象为开口向下的抛物线，不可能恒成立；当时，只需△，即，解得，综上可得，的取值范围是，．故答案为：，．12．设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则5．解：设集合，，，，由一个集合中有个元素，则它有个子集，非空子集有个可得：含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则集合的所有元素和为，则；故答案为：5．二、选择13．如果，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．解：当，时，满足，但，，，，，错误，对于：由于，所以，正确．故选：．14．下列函数中图像关于原点对称，并且在上严格递减的是（）A． B． C． D．解：对于，，是偶函数，不符合题意；对于，，其定义域为，，其图象不关于原点对称，不符合题意；对于，，是奇函数，图像关于原点对称，在上递增，不符合题意；对于，，是奇函数，图像关于原点对称，在上递减，符合题意．故选：．15．已知，．则等于（）A． B． C． D．解：，，又，联立解得．．故选：．16．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A． B．10.1 C． D．解：由题意得两颗星的星等与亮度满足，令，，则，故选：．三、解答题17．设，若，求实数的取值范围．解：，，，即．求得或，可得实数的范围为，，．18．已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：由，解得，即集合，（1）当时，集合，；（2）当时，，则满足题意，当时，，，，解得，综上所述，实数的取值范围为，．19．已知幂函数的定义域为．（1）求实数的值；（2）若不等式的解集是，，求的值．解：（1）函数为幂函数，，，或，定义域为，．（2）由（1）得，不等式的解集是，的解集是，，，，．20．高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度的平方成正比（其中比例系数为，固定部分每小时运输成本为10125元．（1）写出全程运输成本（元关于速度的函数表达式，并指出函数的定义域；（2）当高铁列车时速大约为多少时，全程运输成本（元最小．【解答】（1）解：由题意得：高铁行驶的时间为小时，每小时的运输成本为元，所以全程运输成本（元关于速度的函数表达式为：，函数的定义域，；（2），当且仅当，即时，等号成立，所以当高铁列车时速大约时，全程运输成本（元最小．21．（1）解不等式：；（2）设集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；（3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在，使得不等式．与的解都属于，若不存在，说明理由．若存