2025-2026学年上海长宁区复旦中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海长宁区复旦中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（1～6每题3分，7～12每题4分）1．已知集合，，，0，，且，则等于．2．方程的两根之积为，则．3．函数的定义域是．4．“”是“”的条件．5．扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为．6．已知，则的值域是．7．已知为第四象限角，且，则．8．定义域为，值域为的一个减函数是．9．已知函数，零点在区间为中，则自然数．10．设，，，则的最小值为．11．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．12．对于一个数集，定义函数．假设数集是全集，，是的子集，对任意，有以下命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么；其中命题正确的是．二、单项选择题（13、14每题3分，15、16每题4分）13．若，，则一定有（）A． B． C． D．以上答案都不对14．设，．下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且15．若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒16．已知点，，在函数上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（）A． B． C． D．三、解答题（12+12+12+14+14）17．计算：（1）求的值．（2）若，求的值．18．已知函数．（1）若（a），求的值；（2）判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求关于的不等式的解集．19．某种农作物单株的产量（单位：与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为5元，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？20．已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若对任意，，存在，，使得，求的取值范围．21．对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”．（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若是位差值为1的位差奇函数，求的值；（3）若对于任意，，都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（1～6每题3分，7～12每题4分）.1．已知集合，，，0，，且，则等于．解：集合，，，0，，且，，解得：．故答案为：2．方程的两根之积为，则．解：方程的两根之积为，即方程是二次方程，则，则，解得．故答案为：．3．函数的定义域是．解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，故答案为：．4．“”是“”的必要不充分条件．解：若，可得，所以“”推不出“”；若，则一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．5．扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为6．解：扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为．故答案为：6．6．已知，则的值域是，．解：当时，根据指数函数的图象与性质知，当时，．综上：的值域为，．故答案为：，．7．已知为第四象限角，且，则．解：因为为第四象限角，所以，由，所以．故答案为：．8．定义域为，值域为的一个减函数是（答案不唯一）．解：根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，如；故答案为：（答案不唯一）．9．已知函数，零点在区间为中，则自然数2．解：因为在上单调递减，所以在上单调递减，又，即（2）（3），所以存在唯一零点，所以．故答案为：2．10．设，，，则的最小值为4．解：由已知，，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4．故答案为：4．11．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是，，．解：由绝对值三角不等式知，对任意的，，当且仅当时取等号，因为对任意的，不等式恒成立，所以，即或，解得或，所以实数的取值范围是，，．故答案为：，，．12．对于一个数集，定义函数．假设数集是全集，，是的子集，对任意，有以下命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么；其中命题正确的是①②④．解：由，对任意，至多属于，中的一个集合，若属于集合，中的一个，因此，若都不属于集合，，因此，因此选项①正确；由，得，若，因此，得，若，此时，由，当，得，因此，当时，，因此，故当时，，综上所述，，因此选项②正确；当时，，，此时，因此选项③错误；由，若，因此且，此时，，，若，因此或，因此，或，因此，因此选项④正确，故答案为：①②④．二、单项选择题（13、14每题3分，15、16每题4分）13．若，，则一定有（）A． B． C． D．以上答案都不对解：取，，，，满足，，但，故错误；取，，，，满足，，但，故错误；选项，取，，，，满足，，，故选项不正确．故选：．14．设，．下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且解：对于，取，，则，故错误；对于，取，，则，故错误；对于，取，，则，故错误；对于，当时，是减函数，时，，故正确．故选：．15．若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒解：这台机器破译密码所需时间大约为秒，令，得，所以，故选：．16．已知点，，在函数上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（）A． B． C． D．解：因为点，，又在函数上，，所以当时，，即，当时，，即，又，代入的表达式，得到当时，，当时，，则构造方程，若是函数，则方程最多只有一解，如图，作出符合题意的图象，则当时，方程有两个解，故，错误，由对称性可知，对任意的，点在函数上，所以一个存在两个值与之对应，分别是，，此时一个有两个值与之对应，因此不是的函数，故错误，正确．故选：．三、解答题（12+12+12+14+14）17．计算：（1）求的值．（2）若，求的值．解：（1）原式；（2）由题意，可得．18．已知函数．（1）若（a），求的值；（2）判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求关于的不等式的解集．解：（1）函数，有，解得或，即的定义域为，，．若（a），则，必有，解得．（2）函数在上单调递增，证明如下：设，则，因为，则，，所以，且，所以，必有，所以函数在上单调递增．（3）根据题意，因为，且的定义域为，，，所以函数为奇函数，故在上单调递增，因为，所以当时，不等式；当时，，所以，所以恒成立，此时无实数解．综上，的解集为．19．某种农作物单株的产量（单位：与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为5元，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意可得，又，所以；（2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴，所以当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立，综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元．20．已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若对任意，，存在，，使得，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，由得，即，解得或．所以不等式的解集为或．（Ⅱ）由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范围是．（Ⅲ）当，时，，．又．①当，即时，对任意，，，，．所以此时不等式组无解．②当，即时，对任意，，．所以解得．③当，即时，对任意，，．所以此时不等式组无解．④当，即时，对任意，，，，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．21．对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”．（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若是位差值为1的位差奇函数，求的值；（3）若对于任意，，都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围．解：（1）因为，因此，令，定义域为关于原点对称，且，因此为奇函数，因此对于任意，都有为位差奇函数；又，则，令，由的定义域为关于原点对称，若为奇函数，则，即，整理得：