2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版1.2.1　空间中的点、直线与空间向量

第一章

空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量课程标准：1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中线面垂直的判定定理．教学重点：1.利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系.2.求空间两直线所成的角．教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系．核心素养：1.通过对空间点的位置向量与直线方向向量的学习培养数学抽象素养.2.通过运用向量方法研究空间中两直线的平行与垂直关系以及两异面直线所成的角培养数学抽象素养和逻辑推理素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一空间中的点的位置向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量________唯一确定，此时，________通常称为点P的位置向量．知识点二空间中的直线的方向向量(1)一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l_____________，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l______，记作_______．平行或重合平行v∥l(2)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝____就是直线l的一个方向向量．(3)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量_____也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都________．(4)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则空间中直线l的位置可由______和______唯一确定．(5)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔__________________．λv平行v点Al1∥l2，或l1与l2重合知识点三空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则①θ＝__________________或θ＝__________________．②sinθ＝__________________，cosθ＝__________________．③l1⊥l2⇔__________________⇔__________________．〈v1，v2〉π－〈v1，v2〉sin〈v1，v2〉|cos〈v1，v2〉|v1·v2＝0平行异面相交不平行不共面(2)一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称_________为l1与l2的公垂线段．空间中任意两条异面直线的公垂线段都_________并且_________．两条异面直线的___________________，称为这两条异面直线之间的距离．MN存在唯一公垂线段的长1．(直线的方向向量)若A(1，2，－1)，B(1，－1，3)是空间直线l上的两点，则下列向量可以作为直线l的方向向量的是(

)A．v＝(0，1，4) B．v＝(0，－3，－4)C．v＝(0，－3，4) D．v＝(2，1，－4)3．(两异面直线的公垂线段)如图，底面为矩形的四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，连接BD，则异面直线PD与BC的公垂线段是(

)A．BD

B．PBC．DC

D．不存在4．(利用方向向量判断两直线的位置关系)若v1＝(1，1，0)，v2＝(－3，－3，0)分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，则直线l1与l2的位置关系是________．平行核心素养形成题型一空间中点的位置的确定【感悟提升】确定空间中点的位置的策略此类问题常转化为向量共线、向量相等来解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得出关于要求点坐标的方程或方程组求解即可．【跟踪训练】1．如图，已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，P，Q分别在线段AB和线段AB的延长线上，且分别满足条件：①AP∶PB＝1∶2；②AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标．题型二直线的方向向量解析由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．故A，B，D符合题意．(2)若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A．(1，2，4) B．(1，4，2)C．(0，2，－1) D．(0，4，12)【感悟提升】对直线方向向量的两点说明【跟踪训练】2．已知直线l的一个方向向量为v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝________，z＝________．题型三向量法证明直线与直线平行【感悟提升】向量法证明两直线平行的两种思路(1)坐标法：建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明．(2)基向量法：通过向量运算证明平行问题，此种方法往往在不建系的情况下选用，但要注意根据条件合理选取基底．提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行时，要注意所证两直线无公共点．【跟踪训练】3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．题型四向量法求两直线所成的角或证明两直线垂直(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD的中心．证明：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP.【感悟提升】1．向量法求异面直线所成角的步骤(2)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1与A1C的中点．求证：MN⊥BB1，MN⊥A1C.随堂水平达标1．两条不同直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，1，－2)，n＝(1，1，1)，则这两条直线(

)A．平行 B．垂直C．异面 D．相交或异面5．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是________．平行课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点根据直线的方向向量求参数根据线线平行求参数共线向量；两点间距离公式两条直线所成的角利用方向向量判断线线垂直根据直线的方向向量求参数利用方向向量求异面直线所成角的余弦值题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点根据线线垂直求点的坐标利用方向向量证明线线平行和线线垂直利用方向向量证明线线垂直；利用方向向量求异面直线所成角的余弦值利用方向向量求异面直线所成角的取值范围利用方向向量求异面直线所成的角根据异面直线所成的角确定动点位置根据线线垂直求参数；利用方向向量求异面直线所成角的余弦值2．已知直线l1的一个方向向量为a＝(－1，2，m)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是(

)A．－6 B．6C．14 D．－143．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取长度为34的线段AB，则点B的坐标为(

)A．(－9，－7，7) B．(18，17，－17)C．(9，7，－7) D．(－14，－19，31)4．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2的夹角为θ，直线l1与l2所成的角为α，则(

)A．α＝θ B．α＝π－θC．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|二、填空题6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．－20127.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱A1B1的中点，AC＝2，CC1＝BC＝1，AC⊥BC，则异面直线CD与BC1所成角的余弦值为________．8．已知空间中点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为_____________．三、解答题9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，G，H分别是CC1，CD，A1C1的中点．证明：AB1∥GE，AB1⊥EH.10.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．解：(1)证明：由题意，知三棱锥A－BCD为正四面体，过A作底面BCD的垂线，垂足为O，由正棱锥的概念知，O为正三角形BCD的中心，连接BN，则O在BN上，过O作直线PQ∥CD，分别交BC，BD于点P，Q，则OP，ON，