2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版1.2.2　第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明

第一章

空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量第1课时空间中直线与平面平行、垂直的证明课程标准：1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面的垂直与平行关系．教学重点：1.平面法向量的概念.2.用向量方法解决直线与平面平行、垂直的证明问题．教学难点：用向量方法解决直线与平面平行、垂直的问题．核心素养：1.通过对平面法向量概念的学习提升数学抽象素养和数学运算素养.2.通过运用平面的法向量证明线面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一平面的法向量(1)定义如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α_______，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作_________．垂直n⊥α方向向量λn平行垂直0[想一想]若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行吗？提示：不一定，这两条直线有可能重合．知识点二直线与平面平行、垂直的判定已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔________；n⊥v⇔________________．l⊥αl∥α，或l⊂α1．(直线与平面位置关系的判断)若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为u＝(－2，0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．3．(平面的法向量)在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若n为平面ABC的一个法向量，且n＝(－1，y，z)，则y＝________，z＝________．垂直－810核心素养形成题型一求平面的法向量

例1已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，在如图所示的空间直角坐标系Axyz中，分别求平面SAB和平面SCD的一个法向量．【感悟提升】求平面法向量的一般步骤注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.【跟踪训练】1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．题型二利用空间向量证明线面平行

例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AB＝4，AA1＝2，E，F，G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证：D1G∥平面EFC.【感悟提升】利用空间向量证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行．题型三利用空间向量证明线面垂直

例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.【感悟提升】1．坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．基向量法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)选取基向量；(2)用基向量表示直线的方向向量；(3)找出平面内两条相交直线，写出它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)选取基向量；(2)用基向量表示直线的方向向量；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．随堂水平达标1．“直线l的方向向量垂直于平面α的法向量”是“直线l平行于平面α”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“直线l的方向向量垂直于平面α的法向量”可得“直线l平行于平面α”或“直线l在平面α内”，所以充分性不成立；若“直线l平行于平面α”，则可得“直线l的方向向量垂直于平面α的法向量”，即必要性成立．所以“直线l的方向向量垂直于平面α的法向量”是“直线l平行于平面α”的必要不充分条件．故选B.2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，1)为平面α内三点，直线m的方向向量为(1，1，－1)，则直线m与平面α的位置关系是(

)A．m∥α

B．m∥α或m⊂αC．m⊥α

D．m与α相交，但m与α不垂直3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，－3，0)在平面α内，若点B(m，0，2－m)在平面α内，则m＝________．－2平行课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点平面法向量的应用利用空间向量判断线面位置关系根据线面平行求参数利用空间向量判断线线垂直；法向量的判断及应用根据线面垂直求点的坐标平面法向量的应用根据线线垂直、线面垂直求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点平面法向量的应用利用空间向量证明线面平行利用空间向量证明线面垂直利用空间向量判断线面垂直根据线面垂直求参数利用空间向量证明线面平行；利用空间向量证明线面垂直利用空间向量证明线面平行；关于线面垂直的探索性问题2．已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若a＝(－1，0，1)，n＝(1，0，1)，则直线l与平面α(

)A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或在平面内解析：因为a·n＝－1×1＋0×0＋1×1＝0，所以a⊥n，所以直线l与平面α平行或在平面内．故选D.二、填空题6．17世纪，笛卡儿在《几何学》中，通过建立坐标系，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，创立了新分支——解析几何，我们知道，方程x＝1在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面，过点P(1，－1，2)，法向量为v＝(1，2，3)的平面的方程是___________________．解析：过点P(1，－1，2)，法向量为v＝(1，2，3)的平面的方程为1×(x－1)＋2(y＋1)＋3(z－2)＝0，即x＋2y＋3z－5＝0.x＋2y＋3z－5＝07．直线m的一个方向向量为m＝(1，－2，λ)，直线n的一个方向向量为n＝(－2，4，5)，平面α的一个法向量为k＝(μ，－8，γ)，若m⊥n，n⊥α，则λ，μ，γ的值依次为_________________．2，4，－10∉∈11．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为(

)解析：对于A，如图1所示，正方体ABCD－A′B′C′D′，连接AC，BD，∵M，P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵BD∩BB′＝B，BD，BB′⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，又DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l⊥平面MNP，故A符合题意；对