级数求和题目及答案

级数求和题目及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一数学

级数求和题目及答案

一、选择题

1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^(n+1)*(n/2)，则数列前n项和S_n的表达式为（）

A.S_n=(-1)^(n+1)*(n/2)

B.S_n=n/2

C.S_n=(-1)^(n+1)*(n/2)+1

D.S_n=n/4+1

2.若等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则数列前n项和S_n的值为（）

A.3^n-1

B.3^(n+1)-1

C.(3^n-1)/2

D.(3^(n+1)-1)/2

3.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n^2-n+1，则数列前n项和S_n的值为（）

A.n(n+1)/2

B.n(n+1)(2n+1)/6

C.n(n+1)/3

D.n^3/3+n^2/2+n/6

4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+2n，则数列{d_n}的通项公式为（）

A.d_n=2n+1

B.d_n=2n

C.d_n=n^2+1

D.d_n=n^2+2

5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{e_n}的通项公式为（）

A.e_n=2^n

B.e_n=2^(n-1)

C.e_n=2^n-2^(n-1)

D.e_n=2^(n-1)-1

6.若等差数列{f_n}的首项为5，公差为2，则数列前n项和S_n的值为（）

A.n(n+6)/2

B.n(n+4)/2

C.n(n+5)/2

D.n(n+3)/2

7.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=(-1)^n*(n/3)，则数列前n项和S_n的极限为（）

A.0

B.1/3

C.-1/3

D.不存在

8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^3/3+n^2/2+n/6，则数列{h_n}的通项公式为（）

A.h_n=n^2+n/2

B.h_n=n^2+n/3

C.h_n=n^2+n/6

D.h_n=n^2+n/4

9.已知数列{i_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{i_n}的通项公式为（）

A.i_n=3^n

B.i_n=3^(n-1)

C.i_n=3^n-3^(n-1)

D.i_n=3^(n-1)-1

10.若等比数列{j_n}的首项为1，公比为2，则数列前n项和S_n的极限为（）

A.2^n

B.2^(n+1)

C.2^n-1

D.2^(n+1)-1

二、填空题

1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n/2，则数列前n项和S_n的值为________。

2.若等比数列{b_n}的首项为3，公比为4，则数列前n项和S_n的值为________。

3.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n^2-n，则数列前n项和S_n的值为________。

4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+3n，则数列{d_n}的通项公式为________。

5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=5^n-1，则数列{e_n}的通项公式为________。

6.若等差数列{f_n}的首项为1，公差为3，则数列前n项和S_n的值为________。

7.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=(-1)^n*(n/4)，则数列前n项和S_n的极限为________。

8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^3-n，则数列{h_n}的通项公式为________。

9.已知数列{i_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{i_n}的通项公式为________。

10.若等比数列{j_n}的首项为0，公比为1，则数列前n项和S_n的值为________。

三、多选题

1.下列数列中，哪些是等差数列？（）

A.a_n=2n+1

B.b_n=3^n

C.c_n=5-2n

D.d_n=n^2

2.下列数列中，哪些是等比数列？（）

A.e_n=2^n

B.f_n=4^n

C.g_n=1

D.h_n=n/2

3.下列关于数列前n项和的描述中，哪些是正确的？（）

A.S_n=n(a_1+a_n)/2

B.S_n=a_1+a_2+...+a_n

C.S_n=n^2+n

D.S_n=n(a_1+a_n)

4.下列关于数列通项公式的描述中，哪些是正确的？（）

A.a_n=a_1+(n-1)d

B.b_n=b_1*q^(n-1)

C.c_n=n^2

D.d_n=2n+1

5.下列关于数列前n项和极限的描述中，哪些是正确的？（）

A.若数列{a_n}收敛，则S_n也收敛

B.若数列{a_n}发散，则S_n也发散

C.S_n的极限一定存在

D.S_n的极限可能不存在

四、判断题

1.等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2总是成立的。

2.等比数列的前n项和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)只适用于公比q不等于1的情况。

3.若数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2，则数列{a_n}的前n项和S_n=n(n+1)(2n+1)/6。

4.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-2^(n-1)。

5.数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{c_n}的通项公式为c_n=2n+1。

6.若等差数列的首项为1，公差为2，则数列的第n项为a_n=2n-1。

7.若等比数列的首项为2，公比为3，则数列的第n项为b_n=2*3^(n-1)。

8.数列{d_n}的前n项和S_n=n^3，则数列{d_n}的通项公式为d_n=3n^2。

9.若数列{e_n}的通项公式为e_n=(-1)^n，则数列{e_n}的前n项和S_n的极限不存在。

10.若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{f_n}是等差数列。

五、问答题

1.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中首项为4，公差为-2。

2.求等比数列{b_n}的前n项和S_n，其中首项为5，公比为1/2。

3.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n^2-n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：a_n=(-1)^(n+1)*(n/2)，S_n=a_1+a_2+...+a_n，观察数列发现奇数项为正，偶数项为负，因此S_n=(-1/2+1/4)+(-1/4+1/6)+...+(-1)^(n+1)*(n/2)，相邻两项相加为1/(2n)，故S_n=(-1)^(n+1)*(n/2)+1。

2.D

解析：等比数列前n项和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，得S_n=2*(1-3^n)/(1-3)=(3^(n+1)-1)/2。

3.D

解析：c_n=n^2-n+1，S_n=1^2-1+1+2^2-2+1+...+n^2-n+1，分组求和得S_n=(1^2+2^2+...+n^2)-(1+2+...+n)+n，代入公式得S_n=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n=n^3/3+n^2/2+n/6。

4.A

解析：S_n=n^2+2n，d_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。

5.B

解析：S_n=2^n-1，e_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。

6.A

解析：f_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=2，得S_n=n(a_1+a_n)/2=n(5+(5+(n-1)2))/2=n(n+6)/2。

7.A

解析：g_n=(-1)^n*(n/3)，S_n=(-1+2/3)+(-2/3-1)+...+(-1)^n*(n/3)，当n为偶数时，和为0；当n为奇数时，和为-1/3，故极限为0。

8.A

解析：S_n=n^3/3+n^2/2+n/6，h_n=S_n-S_(n-1)=(n^3/3+n^2/2+n/6)-[(n-1)^3/3+(n-1)^2/2+(n-1)/6]=n^2+n/2。

9.C

解析：S_n=3^n-1，i_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)。

10.C

解析：j_n=1*2^(n-1)，S_n=1*(1-2^n)/(1-2)=2^n-1，极限为1。

二、填空题答案及解析

1.n(n+1)/4

解析：a_n=n/2，S_n=1/2+2/2+...+n/2=1/2*(1+2+...+n)=1/2*n(n+1)/2=n(n+1)/4。

2.12*(4^n-1)/3

解析：b_n=3*4^(n-1)，S_n=3*(1+4+...+4^(n-1))=3*(4^n-1)/(4-1)=12*(4^n-1)/3。

3.n(n^2-1)/3

解析：c_n=n^2-n，S_n=1^2-1+2^2-2+...+n^2-n=(1^2+2^2+...+n^2)-(1+2+...+n)=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2=n(n^2-1)/3。

4.n^2+2n

解析：S_n=n^2+3n，d_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+3n)-[(n-1)^2+3(n-1)]=2n+2=n^2+2n。

5.5^n-4

解析：S_n=5^n-1，e_n=S_n-S_(n-1)=5^n-1-(5^(n-1)-1)=5^n-5^(n-1)=4*5^(n-1)，故e_n=5^(n-1)*4=5^n-4。

6.n(n+1)

解析：f_n=1+3(n-1)=3n-2，S_n=n(1+3n-2)/2=n(n+1)。

7.0

解析：g_n=(-1)^n*(n/4)，S_n=(-1+1/4)+(-2/3-1/4)+...+(-1)^n*(n/4)，当n为偶数时，和为0；当n为奇数时，和为-1/4，故极限为0。

8.n^3-n

解析：S_n=n^3-n，h_n=S_n-S_(n-1)=(n^3-n)-[(n-1)^3-(n-1)]=3n^2-3n+1=n^3-n。

9.2^n-1

解析：S_n=2^n-1，i_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，故i_n=2^(n-1)*2=2^n-1。

10.0

解析：j_n=0*1^(n-1)=0，S_n=0+0+...+0=0。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2只适用于等差数列，若数列不是等差数列，则不成立。

2.正确

解析：等比数列的前n项和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)只适用于公比q不等于1的情况，若q=1，则S_n=n*a_1。

3.错误

解析：c_n=n^2，S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，与题目给出的公式不符。

4.正确

解析：S_n=2^n-1，e_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)。

5.错误

解析：S_n=n^2+n，c_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，与题目给出的公式不符。

6.正确

解析：等差数列的第n项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，d=2，得a_n=1+(n-1)2=2n-1。

7.正确

解析：等比数列的第n项公式b_n=b_1*q^(n-1)，代入b_1=2，q=3，得b_n=2*3^(n-1)。

8.错误

解析：S_n=n^3，d_n=S_n-S_