小学数学五年级上册《小数除以小数：算法探究与实际问题解决》教学设计

小学数学五年级上册《小数除以小数：算法探究与实际问题解决》教学设计

  一、学习目标与核心素养指向

  基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段“数与运算”领域的要求，以及五年级学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知特点，本课时旨在达成以下结构化目标：

  1.知识与技能目标：学生能理解并掌握一个数除以小数的计算算理，通过自主探索，将除数转化为整数的核心方法，并能正确、熟练地进行小数除以小数的竖式计算，解决简单的实际问题。

  2.过程与方法目标：在“谁打电话时间长”的真实问题情境驱动下，学生经历“发现问题—提出猜想—验证猜想—归纳法则”的完整探究过程。通过独立尝试、小组合作、对比辨析等活动，发展运算能力、推理意识和模型意识。

  3.情感、态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，体会转化这一基本数学思想的价值，养成认真计算、细心检验的良好学习习惯，增强探究数学知识的信心和乐趣。

  二、学习内容与学情分析

  （一）学习内容深度解析

  本课时是小数除法单元中的关键节点与难点突破课。此前，学生已经学习了除数是整数的小数除法，理解了商的小数点要与被除数的小数点对齐的算理。本课的核心认知冲突在于“除数不再是整数”。教材通过“打电话”这一生活情境，自然引出被除数和除数都是小数的除法算式（如5.1÷0.3，54÷7.2）。其数学本质是利用商不变的规律，进行恒等变换，将“除数是小数的除法”转化为学生已有的“除数是整数的除法”认知结构。这不仅是算法程序的学习，更是深刻数学思想（转化思想）的体验与应用。教学的重心必须置于“为什么可以转化”以及“如何实现转化”的思维过程上，而非单纯记忆算法步骤。

  （二）学情诊断与预设

  五年级学生具备以下基础：掌握了小数乘除法的基本意义；熟练运用商不变规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）；能够计算除数是整数的小数除法。可能的认知障碍与迷思概念在于：1.在竖式转换过程中，学生容易混淆被除数和除数的小数点移动方向及位数，导致转化错误。2.当被除数位数不够需要补“0”时，学生容易遗漏。3.对于转化后的除法算式与被除数、除数同时扩大相同倍数之间的等价关系理解模糊。因此，教学设计需通过直观模型（如人民币单位换算、面积模型）、错例辨析、算理追问等方式，暴露并疏通这些思维节点。

  三、教学重点与难点

  教学重点：探究并理解除数是小数的除法的计算方法，能够正确运用“转化”思想，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法进行计算。

  教学难点：理解算理，清晰把握竖式计算中除数、被除数小数点移动的依据、方向和位数；正确处理被除数位数不足需补“0”的情况。

  四、教学准备与资源整合

  1.教师准备：多媒体课件，内含问题情境动画、计算过程的动态演示、分层练习题组；实物投影仪；设计并打印课堂探究学习单（含情境问题、尝试计算区、讨论记录区等）。

  2.学生准备：复习商不变规律；准备练习本和笔。

  3.环境与资源整合：将教室座位调整为适合小组合作讨论的布局。预备联系“科学”学科中关于“通信”的简单知识，以及“综合实践”中关于“合理消费”的讨论点，为跨学科融合做铺垫。

  五、教学过程实施

  （一）情境导入，问题驱动（预计用时：8分钟）

    1.创设真实情境，提出核心问题：

    教师通过课件呈现情境：“小明和小红是好朋友。周末，小明用国内长途电话卡给外地的爷爷打电话，通话时长5.1分钟，话费共计5.1元。小红用国际长途电话卡给国外的姑姑打电话，通话时长54分钟，话费共计54元。（此处可隐去单价，制造认知冲突）他们想知道，谁平均每分钟的话费更便宜？或者说，在话费总额固定的情况下，谁的通话时间实际上更长？”

    （此设计将原教材中单纯比较时间，优化为涉及“单价”、“总价”、“数量”关系的复合型实际问题，更具思维张力。）

    2.分析数量关系，列出算式：

    引导学生分析：要比较“谁打电话的时间长”，在总话费已知的情况下，需要知道什么？（每分钟话费单价）。若已知总话费和单价，如何求时间？（时间=总话费÷单价）。教师适时出示补充信息：国内长途单价0.3元/分钟，国际长途单价7.2元/分钟。

    学生自主列出算式：小明通话时间：5.1÷0.3；小红通话时间：54÷7.2。

    3.聚焦认知冲突，明确学习任务：

    教师引导学生观察这两个算式，提问：“这两个除法算式和之前学的有什么不同？”学生发现“除数都是小数”。教师揭示课题：“今天我们就来共同探究‘小数除以小数’的计算奥秘，看看谁能真正算清楚，谁打电话的时间更长。”

  （二）自主探究，初建模型（预计用时：15分钟）

    1.首次尝试，暴露原生态思维：

    教师将学生分成若干四人小组，分发探究学习单。任务一：请用你喜欢的方法，尝试计算5.1÷0.3，并记录下你的计算过程和想法。教师巡视，收集典型算法（包括正确与错误）和思维盲点。

    预计学生可能出现的方法：A.利用单位换算，将5.1元看作51角，0.3元看作3角，计算51÷3=17；B.根据商不变规律，将5.1和0.3同时乘10，看作51÷3=17；C.尝试直接列竖式，但小数点处理混乱；D.极少数可能想到画线段图或利用乘法逆运算。

    2.展示交流，聚焦“转化”思想：

    教师利用实物投影，有序展示学生的不同方法。首先展示单位换算方法（A），请学生阐述思路。引导学生发现：这把“元”化成“角”，实质是把以“元”为单位的小数，变成了以“角”为单位的整数。这个过程，除数0.3变成了整数3。

    接着重点展示利用商不变规律的方法（B）。追问关键问题：“为什么可以把被除数和除数都乘10？”“这样做的依据是什么？”“乘10后，原来的算式5.1÷0.3和新的算式51÷3，所得的商还一样吗？为什么？”通过追问，将学生的操作直觉上升到对“商不变规律”应用的理性认识。

    3.方法联结，抽象算法雏形：

    教师引导学生对比方法A和方法B：“单位换算和商不变规律，这两种看似不同的方法，有什么共同之处？”学生经过讨论会发现，它们的核心都是将“除数是小数的除法”转化成了“除数是整数的除法”。教师板书核心思想：“转化”。并小结：当除数是小数时，我们可以利用商不变规律，把除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

  （三）算法形成，突破难点（预计用时：12分钟）

    1.竖式规范，明晰操作步骤：

    教师承上启下：“刚才我们明白了‘为什么可以转化’，那么如何在竖式中规范地完成这个转化过程呢？”教师板演5.1÷0.3的竖式计算过程，并同步进行程序性思考的“有声思维”解说：

    “首先，我们写竖式：5.1除以0.3。我们的目标是让除数0.3变成整数。0.3是一位小数，要变成整数3，需要乘10，即小数点向右移动一位。”

    “根据商不变规律，除数乘10，被除数也要乘10。被除数5.1乘10，就是小数点向右移动一位，变成51。”

    “现在，原来的算式5.1÷0.3，就转化成了我们熟悉的51÷3。请大家注意，转化后，我们实际上是在计算51÷3，所以原先的小数点可以暂时‘隐藏’或重新定位。我们在竖式上可以这样处理：将除数0.3的小数点划去，表示它已变成整数3；同时，将被除数5.1的小数点也向右移动一位，并划去原来的小数点，在移动后的位置（1的后面）点上新的小数点。当然，更清晰的做法是直接在移动后的位置开始计算。”

    “现在，按照整数除法计算51÷3得17。商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。因为被除数移动后是51.0（可视为51.0），所以商是17。”

    教师强调关键步骤：一看（看除数有几位小数）；二移（移动除数的小数点，使它变成整数；同时移动被除数的小数点，位数不够时用“0”补足）；三算（按照除数是整数的小数除法进行计算）。

    2.对比辨析，深化算理理解：

    教师出示错例，如将除数和被除数的小数点移动方向弄反，或只移动了除数的小数点而未移动被除数的。组织学生讨论：“这样移动对吗？为什么？会导致什么结果？”通过错例分析，巩固“被除数和除数必须同时扩大相同倍数”这一算理根基。

    3.独立尝试，迁移解决新问题：

    学习单任务二：请用竖式计算54÷7.2，并思考与上一题有何不同。学生独立计算，教师巡视，重点关注学生如何处理“除数7.2是两位小数”、“被除数54是整数，移动小数点时需补0”的情况。完成后同桌交流。

  （四）巩固应用，分层拓展（预计用时：10分钟）

    1.基础性练习（算法巩固）：

    计算：0.672÷4.2；6÷0.12；4.83÷0.7。

    要求学生先说一说“一看、二移、三算”的具体过程，再动笔计算，强调书写规范和验算习惯（用商乘除数验算，或估算判断商的合理性）。

    2.综合性练习（实际应用）：

    （1）解决导入问题：分别计算出小明和小红的通话时间，并比较长短。

    （2）拓展情境：如果小红使用的国际电话卡有优惠，每7.2元可以通话10分钟（即单价变为0.72元/分钟），那么54元可以通话多久？引出54÷0.72的计算，考察学生对除数是两位小数的除法的掌握情况。

    （3）跨学科联系（科学与经济）：简要讨论现代通信技术（如网络电话）如何改变通话成本，渗透科技影响生活的观念。提出简单经济问题：A、B两种电话卡，A卡月租5元，单价0.25元/分钟；B卡无月租，单价0.3元/分钟。每月通话大约100分钟，选哪种更划算？引导学生建立数学模型并计算比较。

    3.发展性练习（思维挑战）：

    （1）不计算，判断下面各题商与1的大小关系：0.67÷0.89；3.08÷3.1；1.2÷0.95。引导学生发现规律：当被除数小于除数时，商小于1；当被除数大于除数时，商大于1。

    （2）思考题：已知A÷B=2.5，若A和B同时乘4，商是多少？若A不变，B乘5，商是多少？若A乘10，B除以2，商是多少？此题旨在灵活运用商变规律，为后续学习埋下伏笔。

  （五）总结反思，评价提升（预计用时：5分钟）

    1.知识梳理：教师引导学生以思维导图或知识树的形式共同回顾本课所学。中心问题：“今天我们学到了什么？”分支包括：遇到了什么问题（除数是小数的除法）→核心思想是什么（转化）→依据是什么（商不变规律）→具体怎么做（一看、二移、三算）→需要注意什么（小数点同步移动、位数不够补0）。

    2.方法提炼：强调“转化”是将新知识联系旧知识、化难为易的数学重要思想，不仅在今天的学习中，在未来的数学学习（如异分母分数加减法、多边形面积推导等）中也会经常用到。

    3.多元评价：

    （1）过程性评价：教师点评在探究、发言、合作中表现突出的学生和小组。

    （2）学习效果自评：学习单上设置自评区，学生从“我能理解算理”、“我能正确计算”、“我能解决实际问题”等方面，用涂星的方式对自己本节课的学习效果进行评价。

    （3）课后延伸：布置弹性作业。必做题：课本相关练习。选做题：调研家庭一个月固定电话和移动网络通信费用的构成，尝试用本课所学知识进行分析；或寻找生活中其他涉及小数除以小数的例子。

  六、板书设计

  板书设计力求体现知识生成的过程性、结构性和逻辑性。

  主板书区：

  小数除以小数

  核心：转化（利用商不变规律）

  问题：5.1÷0.3=？54÷7.2=？

  方法：

    1.单位换算：5.1元=51角，0.3元=3角→51÷3=17

    2.商不变规律：(5.1×10)÷(0.3×10)=51÷3=17

  竖式计算法则：

    一看：除数有几位小数。

    二移：除数小数点右移成整数，被除数小数点同向、同位移。

      （位数不够“0”补足）

    三算：按除数是整数的除法计算。

    商的小数点与被除数移动后的小数点对齐。

  示例竖式：（左侧规范板演5.1÷0.3和54÷7.2的完整竖式过程）

  副板书区：

  用于记录学生探究过程中的关键猜想、典型错例分析、以及课堂生成的精彩观点。

  七、教学特色与创新思考

  本教学设计力求体现以下特色：

  1.深度探究，凸显主体：将教学重心从“传授算法”转向“引导探究”，通过真实问题情境、开放性的尝试任务和循序渐进的追问，让学生亲身经历算法的再创造过程，真正成为学习的主体。

  2.算理先行，法理融合：始终坚持将“为什么可以这样算”的算理理解放在首位，通过单位换算的直观模型与商不变规律的抽象概括相结合，通过正例示范与错例辨析相结合，让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，实现算理与算法的和谐统一。

  3.结构关联，渗透思想：将本课置于整个小数除法单元乃至数的运算知识体系中审视，明确其“承上（整数除法、除数是整数的小数除法）启下（分数除法、比的性质）”的地位。将“转化”思想作为贯穿课堂的明线，帮助学生构建网状知识结构，提升数学思维品质。

  4.跨域联结，素养导向：尝试将数学问题置于生活、经济、科技的背景中，设计综合性、开放性的问题链。这不仅增强了数学的应用价值，也初步培养了学生的模型意识、数据分析观念和跨学科视野，指向核心素养的融合发展。

  5.差异关照，评价多元：通过分层练习设计、弹性作业布置以及过程性与终结性相结合的评价方式，尊重学生的个体差异，让不同层次的学生都能在课堂中获得成功体验，得到相应发展。

  八、预设问题与应对策略

  1.预设问题：学生在移动小数点时，出现被除数和除数移动位数不一致的错误。

    应对策略：强化“一看”的步骤，明确先确定除数是几位小数，需要扩大多少倍变成整数，这个倍数就是被除数和除数需要同时扩大的倍数。采用“先标记，再移动”的方法，先在除数和被除数的小数点上做标记，明确移动方向和位数。

  2.预设问题：对于被除数是整数或位数不够需要补“0”的情况，学生容易遗漏。

    应对策略：设计专项对比练习，如“12÷0.03”与“1.2÷0.03”，让学生直观感受整数和小数作为被除数在移动小数点时的区别。强调“位数不够时，用‘0’补足”是保证“同时扩大相同倍数”的关键操作，并理解补“0”不影响数值大小。

  3.预设问题：部分学生在探究环节可能思维停滞，过度依赖模仿。

    应对策略：教师巡视时进行个别或小组启发，提示“能不能想办法让除数变成我们熟悉的整数？”“以前学过的什么规律能帮我们做到这一点？”提供“脚手架”——如单位换算的提示卡，帮助学困生启动思维。在小组合作中，安排明确的角色分工，促进生生互动与帮扶。

  4.预设问题：课堂时间把控不当，探究环节耗时过长影响后续巩固。

    应对策略：教师需精准把握各环节时间节点。在自主探究环节，根据