信号与系统（第6版）课件 第7章 离散信号与系统的Z域分析

7.3Z变换的性质7.2常用序列的Z变换7.4逆Z变换7.1Z变换定义及收敛域7.5Z域分析第7章离散信号与系统的Z域分析霍尔维兹（W.Hurewicz）于1947年迈出了第一步，他首先引进了一个变换用于对离散序列的处理。拉格兹尼与扎德：命名与创新的传承Lotfi

Zadeh(1921-2017)📜历史渊源：“Z变换”的正名1952年，哥伦比亚大学拉格兹尼（R.Ragazzini）与扎德（Lotfi

Zadeh）领导的采样数据控制组正式将该变换命名为“Z变换”，为离散时间系统的分析奠定了统一的数学语言基础。💡跨界突破：模糊数学的创始人扎德突破传统集合论框架，提出“模糊集合”与“隶属度”概念，精准刻画“年轻人”、“高温”等现实中的不确定性，让数学更好地拥抱真实世界。模糊逻辑应用：智能交通信号灯控制系统勇于创新，挑战权威科学的进步源于不满足现状。敢于突破经典数学的“非黑即白”，提出全新的理论框架。理论的价值在于解决问题模糊数学不仅是理论游戏，更在交通、家电、AI等领域落地，印证了“科学为现实服务”的宗旨。科技报国与社会责任作为工程技术人员，应致力于用所学知识，创造有温度、有价值的技术，服务社会发展。7.1Z变换定义及收敛域对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得：一、Z变换定义令z=esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)→f(k)，得称为序列f(k)的双边z变换称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z-1[F(z)]；f(k)←→F(z)二、收敛域当幂级数收敛时，z变换才存在，即绝对可和条件：它是序列f(k)的z变换存在的充要条件。收敛域的定义：对于序列f(k)，满足所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。例2

求有限长序列

f(k)=ε(k+1)-ε(k-2)的双边z变换。解：

其单边、双边z变换相等，其收敛域为整个z平面。解：例1

求δ(k)的

z变换。根据绝对可和条件，收敛域为：整个z平面收敛例3求因果序列f(k)=akε(k)的z变换(式中a为常数)。解：仅当az-1<1，即z>a

时，其z变换存在。收敛域为|z|>|a|收敛边界收敛域例4求反因果序列f(k)=bkε(-k-1)的z变换。

解:可见，当|b-1z|<1，即|z|<|b|时，其z变换存在。收敛域为|z|<|b|例5

求如下双边序列的z变换。

解:其收敛域为a<z<b

部分z平面收敛例6求如下双边序列的z变换。

解:整个z平面均不收敛序列的收敛域大致分类情况序列特性收敛域特性有限长序列常为整个平面因果序列某个圆外区域反因果序列某个圆内区域双边序列(若存在)环状区域注意：双边z变换必须标明收敛域！例如对单边z变换，其收敛域是某个圆外的区域，可省略。双边Fb(z)+收敛域f(k)单边F(z)

f(k)结论：7.2常用序列的Z变换

(k)，z>1，z<1–(–k–1)←→若无特殊说明，对单边和双边z变换适用一、线性注：其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的公共部分。6.3

Z变换的性质a1,a2为任意常数例二、移位（移序）特性双边z变换的移位：若f(k)←→F(z),

<z<

，且对整数m>0，则单边z变换的移位：若f(k)←→F(z),|z|>

，且有整数m>0,则右移左移f(k-1)←→z-1F(z)+f(-1)f(k-2)←→z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1

f(k+1)←→zF(z)–f(0)zf(k+2)←→z2F(z)–f(0)z2–f(1)z特例：若f(k)为因果序列，则即：例1求如下周期为N的有始周期性单位序列的z变换。解:例2因果周期信号fN(k)如图，求fN

(k)的单边z变换F(z)。设第一周期内信号为，则fN

(k)可表示为解：设则三、k域反转(仅适用双边Z变换）例1

，求f(k)的双边z变换F(z)。解：例2

，求双边z变换。解：四、Z域尺度变换：序列乘则设,且有常数aZ[akf(k)]=

证明：例1解:例2

解:利用齐次性，k域和z域同时乘以a得：例3

求的z变换。解：五、序列乘k（Z域微分）设则解法2:解法1：例

求f(k)=kε(k)的z变换F(z)。两边取z变换：设则说明:(1)收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的公共部分；(2)对单边z变换，要求：f1(k)、f2(k)为因果序列。六、时域卷积性质例求f(k)=kε(k)的双边z变换F(z)。

解：若f(k)←→F(z),<z<，设有整数m，且k+m>0，

则

,<z<若m=0,且k>0，则

例

求序列的z变换。

解：

七、序列除(k+m)(z域积分）若f(k)←→F(z),

<z<

,max(

,1)<z<

证明：

例求序列(a为实数)(k≥0)的z变换。解：，|z|>max(|a|,1)八、部分和性质九、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)时f(k)=0的序列。由象函数直接求序列的初值f(M),f(M+1),…而不必求得原序列。（1）初值定理：如果序列在k<M时，f(k)=0，f(k)←→F(z)，

<|z|<∞则序列的初值对因果序列f(k)，证明：两边乘zM，得上式取z→∞，得（2）终值定理：如果序列存在终值，即：条件：极点都在单位圆内，或者允许z=1处有一阶极点则序列的终值证明：

6.4逆z变换

z逆变换的计算方法：（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；有局限性（3）部分分式展开法；（4）用z

变换性质求逆z

变换。组合使用一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即其中相应地，其z变换也分为两部分

已知象函数F(z)时，根据给定收敛域，不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，分别求对应的原序列f1(k)和f2(k)，根据线性性质，将两者相加原序列f(k)。一、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数；其系数就是相应的序列值。例1

已知象函数其收敛域如下，分别求其对应的原序列f(k)。解:

(1)收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。将F(z)(分子分母按z

的降幂排列)展开为z-1的幂级数：则：(2)收敛域在半径为1的圆内，故f(k)为反因果序列。将F(z)(分子分母按z

的升幂排列)展开为z

的幂级数。于是，得原序列：(3)收敛域为1<|z|<2的环形，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有上式第一项属于因果序列的象函数F1(z)，第二项属于反因果序列的象函数F2(z)，即将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有说明：上述方法求逆z变换，原序列难以写出解析形式。于是，得原序列：二、部分分式展开法先将展开成部分分式，然后再乘以z。将展开为部分分式的方法与F(s)展开方法相同。例1求f(k)。解：由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足|z|>1

，后两项满足|z|<2

。F(z)有重极点F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为：若

z

>a

，对应原序列为因果序列：以z>a

为例：例2

已知象函数，z>1。求原函数。解:例1，求原函数f(k)。解：三、用性质求逆z变换方法1：方法2：由移位性质：一、Z平面与S平面的映射关系式中T是序列的时间间隔，取样角频率。6.5

Z域分析例已知拉普拉斯变换，求对应离散序列的z变换。解：只有一个极点：直接写出z变换：事实上，该连续信号为：对应的离散取样序列为：例1：若某系统的差分方程为

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=

(k)。求系统的yzi

(k)、yzs(k)、y(k)。解：方程两边取单边z变换，得：整理得：Yzi(z)Yzs(z)二、差分方程的变换解Yzi(z)Yzs(z)系统函数h(k)←→H(z)例2某LTI系统输入

，零状态响应为求该系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。解：(1)先求系统函数：

(3)求差分方程：(2)求h(k)：由z变换的移序特性可得差分方程：前向差分方程的解法：方法1：用左移性质：初始条件：y(0)，y(1)，∙∙∙

方法2：转变为后向差分方程，用右移性质求解初始条件：y(-1)，y(-2)，∙∙∙

若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。三、离散系统H(z)的极点与h(k)的关系（1）单位圆内的极点h(k)按指数规律衰减（2）单位圆上的极点一阶极点对应h(k)为稳态分量；二阶及二阶以上极点对应h(k)增长（3）单位圆外的极点h(k)按指数规律增长

jωOS平面Z平面Re[z]Im[z]O四、离散系统稳定性判据(1)离散系统稳定的时域条件：(2)离散系统稳定性的Z域充要条件：若LTI离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，则系统为稳定系统。若LTI因果离散系统稳定，要求其系统函数H(z)的极点全部在单位圆内。例

某离散系统的差分方程为（1）求系统函数H(z)；（2）讨论因果系统H(z)的稳定性；（3）求单位样值响应h(k)；（4）求单位阶跃响应g(k)。解：(1)将差分方程两边取

z变换，得(3)将H(z)/z进行部分分式展开，得到(4)求阶跃响应(2)H(z)极点是0.4和-0.6，在单位圆内，故系统稳定。由s域和z域的映射关系，若离散系统H(z)收敛域含单位圆，则若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应离散系统频率响应定义为存在。T=，称为数字角频率。式中

H(ej

)

称为幅频响应,偶函数；

(

)称为相频响应,奇函数。只有H(z)收敛域含单位圆才存在频率响应五、离散系统的频率响应设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为H(z)，其收敛域含单位圆，则系统的零状态响应当f(k)=ejk时

若输入f(k)=Acos(

k+

)则其零状态响应为ys(k)=0.5Aej

ej

k

H(ej

)

+0.5Ae-j

e-j

k

H(e-j

)=0.5Aej

ej

k

|H(ej

)|ej

(

)

+0.5Ae-j

e-j

k|H(e-j

)|e-j

(

)

=A|H(ej

)|cos[

k+

+

(

)]=0.5Aej

ej

k

+0.5Ae-j

e-j

k正弦稳态响应