课时1 二次函数与一元二次方程的联系课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

1.若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_____.2.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__________．x＝1x＝－23．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时,它就变成了一个一元二次方程,由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系.那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.26.3课时1二次函数与一元二次方程的联系1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能应用其解决相关问题.如图，下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？（1）y=x2-x+1；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2+x-2.

二次函数与一元二次方程的关系1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2，x2=1二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系1.抛物线y=3x2+6x+3与x轴的交点个数为（）A．0B．1C．2D．32.二次函数y=x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（

）A．b=-3B．b=-2C．b=-1D．b=2BA如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？二次函数与一元二次方程的实际应用分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t−5t2的根的问题.球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？Oht202解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.h=20t-5t2（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（3）球从飞出到落地要用多少时间？Ot1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.

结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m？为什么球不能达到20.5m的高度?h=20t-5t2变式：Oht20.5

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.

从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）所以二次函数与一元二次方程关系密切．已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化成了一元二次方程问题．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0m＝ax2＋bx＋c(a≠0)0令y＝m二次函数一元二次方程转化思想y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0ax2＋bx＋c＝0(a≠0)0令y＝0已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为0，求自变量x的值确定抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点的横坐标形数方程观点函数观点求一元二次方程的解例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．3.已知二次函数y=x2-6x+8的图象，利用图象回答问题：(1)方程x2-6x+8=0的解是什么？(2)x取什么值时，y＞0？(3)x取什么值时，y＜0？xyO248解：(1)x1=2，x2=4.(2)x＜2或x＞4.(3)2＜x＜4.二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c(a≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a≠0),右边换成y时就成了二次函数.二次函数与一元二次方程根的情况二次函数与x轴的交点个数判别式的符号一元二次方程根的情况Δ1．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(

)A．y＝3x2－9x＋3 B．y＝2x2－4x＋12C．y＝x2－6x＋9 D．y＝5x2－3x＋9A2．已知二次函数y=x2−3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是(

)A.x1=1,x2=−1 B.x1=1,x2=2 C.x1