专题1.3 用反比例函数解决问题（举一反三）（试题版）

专题1.3用反比例函数解决问题（举一反三讲义） 【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1实际问题中的反比例函数关系式】 1【题型2实际问题中的反比例函数图象】 2【题型3物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】 4【题型4工程工作类反比例函数的应用】 6【题型5行程问题类反比例函数的应用】 7【题型6经济生活类反比例函数的应用】 8【题型7表格类反比例函数的应用】 9【题型8方案设计类反比例函数的应用】 11【题型9反比例函数与一次函数的综合实际应用】 14考点用反比例函数解决问题知识点利用反比例函数解决问题

1.反比例函数y=kx(k考点用反比例函数解决问题2.常见反比例关系举例（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为y=（2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为y=（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为p=（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为I=（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为t=L【题型1实际问题中的反比例函数关系式】【例1】（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度v（kmh）和运行时间t（h）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据：车次G7506G7382G1866G7492v（单位：kmh210.7158.0143.698.8t（单位：h）31118则最符合下v与t之间的关系式是（

）A．v=158t B．v=158t C．【变式1-1】港珠澳大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为_________．【变式1-2】一批零件200个，一个工人每小时做10个，用关系式表示人数y(个)与完成任务所需的时间x(小时)之间的函数关系式为_______．【变式1-3】小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为______．

【题型2实际问题中的反比例函数图象】【例2】（2025九年级·全国·专题练习）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：kmh）之间的函数图象大致是（

A． B．C． D．【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流IA与电阻RΩ的关系图象，该图象经过点P880,0.25．根据图象A．当R>1000Ω时，B．I与R的函数关系式是I=C．当880Ω<R<1000Ω时，D．当I=0.22A时，【变式2-2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号E表示，国际单位为坎德拉（cd）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值R与光强E之间的关系如图②所示，若U=6V,RA．光强E越大，R越小 B．该图象为反比例函数图象C．光强E越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示0.3A时，光强【变式2-3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可）①4月份的利润为50万元②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元④9月份该厂利润达到200万元

【题型3物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】【例3】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图1．在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表：托盘B与点O的距离x1015202530托盘B中的砝码质量y3020151210(1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来；(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式；(3)当砝码质量为24g时，求托盘B与点O(4)当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量．【变式3-1】（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%(1)求出C与V之间的函数关系式；(2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？【变式3-2】（2026·河南·二模）如图1，取一根长150cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点O处并将其吊起来．在点O左侧10cm处挂一个物体，在点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），弹簧测力计的示数F（单位：N）也随之变化，下表记录了几组L和L．．．124．．．F．．．804020．．．(1)求出F关于L的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象；(2)已知杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即物体所受重力×物体到点O的距离=对弹簧测力计的拉力×弹簧测力计到点O的距离，求点O左侧所挂物体所受的重力；(3)若使弹簧测力计的示数不超过5N，则L的取值范围为．【变式3-3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R=R1+R2，已知R1(1)求I关于R的函数表达式．(2)经测试，当电流在0.1~0.25之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻R2【题型4工程工作类反比例函数的应用】【例4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．

(1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）．①请直接写出y与x的函数关系式；②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？(2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路．(1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？(2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？【变式4-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数y（天）是每天完成的工程量x(m/天）的反比例函数，其图象经过点(1)求这一函数的解析式；(2)已知该志愿者团队每天能够清理河道500m【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，a与t之间的关系如表所示：a/吨600300150t/天124细心的小明发现：每天运输的吨数a（吨）与运输的天数t（天）成反比例．(1)求出每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数关系式；(2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数．【题型5行程问题类反比例函数的应用】【例5】（25-26八年级上·新疆·月考）一艘船计划装载900吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成．(1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围：(2)若要求在1.5至2小时之间（包括1.5小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围．【变式5-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为88km/h时，行驶时间为2h；设小汽车匀速行驶的速度为(1)求v关于t的函数表达式；(2)若小汽车匀速行驶的速度为55km【变式5-2】镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有8台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现48小时内完成卸货．现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间y（小时）和卸货速度x（吨/小时）之间的函数关系如图．

(1)写出y与x之间函数表达式为______．(2)如果用120小时卸完所有货物，求卸货速度；(3)若只用2台吊机同时作业，则卸货速度是360吨/小时，为了实现48小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？【变式5-3】（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长20km．最低限速是60km/h，最高限速是120km(1)直接写出t与v的函数关系式及t的范围（不违反交通法规）；(2)甲车通过该路段时，以xkm/h的速度行驶8km，余下的路程以原速的1.5倍的速度行驶．通过该路段的时间为【题型6经济生活类反比例函数的应用】【例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当x=20时，y=200．(1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围）(2)当该小磨香油的日销售量为160瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？【变式6-1】为支援灾区，某校准备捐款1万元．(1)求捐款人数y与人均捐款数x（元）的函数解析式；(2)已知该校师生共有2000人，则人均需要捐多少元？【变式6-2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副．(1)求y关于x的函数表达式；(2)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕?【变式6-3】近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：(1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；(2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？(3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？【题型7表格类反比例函数的应用】【例7】（24-25七年级上·河南安阳·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：时）与出水速度v（单位：吨/时）之间的关系如下表：出水速度v（吨/时）10854…时间t（时）11.2522.5…请结合表格解答下列问题：(1)池子中原有水吨；(2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？(3)用式子表示t与v之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时．【变式7-1】（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表：等待时间x1251020满意度y1005020105已知学生等待时间不超过30分钟．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度；(3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·月考）“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻R，经过测量发现，电阻R的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度kBAkBAC/（mg0.20.40.60.8…R20010020050…(1)根据表中数据，求电阻R的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度kBAC(2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于20mg/100ml且小于80mg/100ml时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100【变式7-3】（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境：区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度vkm/h与行驶时间t（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度vkm/h是行驶时间th的函数．求vkm/h小型车辆行驶时间t平均速度vA0.560B0.3100C0.650D0.475问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为56（3）已知该测速区间限速要求不超过80km【题型8方案设计类反比例函数的应用】【例8】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率p=km（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中(1)k乙=___________；用含m的代数式表示k甲(2)当购买总金额m（元）在200≤m<400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？甲：___________；乙：___________(3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m≤400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．【变式8-1】如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边AD靠墙、面积为15m2的矩形花园ABCD、其中墙长为8m(1)若设AB=ym，BC=xm，请写出(2)若要使12m的篱笆全部用完，能否围成面积为18m2(3)假设围成矩形花园ABCD三边的材料总长不超过12m，材料BC和DC【变式8-2】（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率=220-年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表：跳绳持续时间x（单位：秒）0306090140…平均相对心率y（%）4060707682…(1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示y随x变化的规律，请你说明理由．(2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中y-100的值，画出散点图如下图所示，发现y-100是x+a（a是常数）的反比例函数，求y与x之间的函数表达式．(3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的50%～减脂运动合适的心率范围是最大心率的60%～有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的70%～无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的80%～90%，从健康角度考虑，相对心率不应超过根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案．【变式8-3】（2025·广东佛山·二模）综合与实践【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．F=k⋅ω⋅v，，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为k=0.5A），ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：rad/s），v为电风扇模拟的风速（单位：m/实验组风速v（m/旋转角速度ω（rad/推力F（N）15424【问题解决】(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10rad/①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；②已知初始时圆柱体半径r=0.5m，，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取【题型9反比例函数与一次函数的综合实际应用】【例9】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0~24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y℃随时间x（时）变化的图象，如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为15℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到15℃(1)求线段AB及双曲线CD段的函数解析式（写出自变量取值范围）；(2)求该大棚在0~24时内，温度不低于24℃的时长，(3)此地日出时间为7:00，日落时间为17:00，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于24℃，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求．【变式9-1】某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价