实际问题与二次函数课时2最大利润问题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4课时2最大利润问题学习目标1.能利用二次函数解决与最大利润有关的实际问题.(重点、难点)2.在利用二次函数解决实际问题的过程中，体会利用二次函数刻画现实生活的意义，加深对二次函数的图象和性质的理解，提高建立数学模型的能力与数学的应用意识.在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？推进新课某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？探究进价/元售价/元数量/件利润现价涨价降价406030060+n300-10n60-m300+20m4040分析：进价/元售价/元销量/件利润现价涨价降价406030060+n300-10n60-m300+20m4040解:(1)设每件涨价n元，利润为y1.则y1=(60+n–40)(300–10n)即y1=-10n2+100n+6000其中，0≤n≤30.利润=售价×销量-进价×销量=(售价-进价)×销量怎样确定n的取值范围？可得：0≤n≤30.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售20300(20+x)(300-10x)(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时，y=-10×52+100×5+6000=6250.

即涨价5元时，最大利润是6250元.例某文创店售卖的泥人摆件，平均每天可销售30件，每件盈利60元.为迎接吸引更多顾客，该店决定降价促销.经调研发现，每件泥人摆件每降价2元，平均每天可多售出3件.设每件泥人摆件降价x元(0≤x≤60，且x为偶数).(1)降价促销后，该店每件泥人摆件盈利

元，平均每天的日销售量增加

件(用含x的代数式表示)；

(2)该店想要实现泥人摆件日盈利额达到2

250元，且让顾客获得实惠，则每件泥人摆件应降价多少元？

进价/元售价/元销量/件利润降价4060-m300+20m解:(2)设每件降价m元，利润为y2.则y2=(60-m–40)(300+20m)即y2=-20m2+100m+6000其中，0≤m≤20.怎样确定m的取值范围？可得：0≤m≤20.降价情况下的最大利润又是多少呢?y2=-20m2+100m+6000(0≤m≤20)

抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为

，所以商品的单价下降

元时，利润最大，为

元.(2.5,6125)2.56125m取何值时，y有最大值？最大值是多少？即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.降价：=-20(m2-5m)+6000=-20(m-2.5)2+6125降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售20300(20-x)(300+20x)(20-x)(300+20x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.6000综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？当

时,

即降价2.5元时，最大利润是6125元.即：y=-20x2+100x+6000，由以上探索过程，说说如何定价能使利润最大?在解决这类需要分类讨论的利润问题时，我们需要分别求出每种情况下的最大利润，然后进行比较，最终得出最优方案。求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30）

抛物线y1=-10n2+100n+6000顶点坐标为

，所以商品的单价上涨

元时，利润最大，为

元.(5,6250)56250n取何值时，y有最大值？最大值是多少？=-10(n2-10n)+6000=-10(n-5)2+6250即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.涨价：某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(2)每件小电器销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，∴75≤x≤90.根据题意，确定自变量的取值范围需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值跟踪训练

某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x(月)之间存在如图1(一条线段)所示的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x(月)之间存在如图2(一段抛物线)所示的变化趋势.(1)分别求函数y1和y2的解析式；

最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.随堂演练基础巩固1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)：(1)y=-4x2+3x;(2)y=3x2+x+6.2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？解：设所得利润为y元,由题意得y=x(200-x)-30(200-x)=-x2+230x-6000=-(x-115)2+7225(0<x<200)当x=115时，y有最大值.即当这件商品定价为115元时，利润最大.4.某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80