人教版九年级上册数学第26章《二次函数》教学课件（新教材）

教

学

课

件人教版九年级上册数学（新教材）26.1二次函数的概念人教版九年级数学（上）第26章二次函数新课导入1．一次函数的一般形式：______________．2．正比例函数的一般形式：______________．3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间有什么关系呢？y＝kx＋b(k≠0)y＝kx(k≠0)探究新知用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.变量变量根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y=x(20−x)，即

y=−x2

+20

x.

这是一个不同于一次函数的新函数.问题1

n支球队参加比赛,每两队之间进行1场比赛,比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？

问题2

某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？问题2中前后两年的产量间存在怎样的关系？原产量为20t，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？一年后的产量是:两年后的产量是:20(1+x)t20(1+x)(1+x)ty=20(1+x)2对式子y＝20(1＋x)2，y是x的函数吗？y=20(1+x)2

y=20x2

+40

x+20式子表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.思考：观察这些函数，它们有什么共同点？y=−x2

+20

x

y=20x2

+40

x+20①都是函数关系式；②函数解析式都是整式；③自变量的最高次数都是2.y=−x2

+20

x

y=20x2

+40

x+20它们是一次函数吗？它们应该属于几次函数？二次函数二次（一元）二次方程函数一次函数ax2+bx+c=0(a≠0)y=kx+b(k，b是常数，k≠0)二次函数的概念：二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）函数解析式是整式；（2）化简整理后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不为0，即a≠0.二次函数解析式必须同时满足的三个条件：二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的特殊形式：当b=0，c=0时，y=ax2(a≠0)当c=0时，y=ax2+bx(a≠0)当b=0时，y=ax2+c(a≠0)一次项系数、常数项可以为0.例（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.圆柱表面积=圆柱底面积+圆柱侧面积S=2πr2+

2πr·rS=4πr2（2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y（単单位；万件）关于x的函数解析式，一年后产品的年销售量为：两年后产品的年销售量为：8(1−x)万件8(1−x)2万件

y=8x2

−16

x+8知识归纳一般地，形如y＝_____________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别为函数解析式的____________、____________和____________．ax2＋bx＋c二次项系数一次项系数常数项强调以下几个问题：(1)关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数．例1例题与练习

判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，是二次函数二次项系数：－1，一次项系数：5，常数项：－6.例2

已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数？(2)函数是二次函数？解：(1)当m＝－3时，(2)当m≠±3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数．函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．例3

某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x＜11).1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。(1)y=8x2−16x+8;(2)y=x2:二次项系数：8一次项系数：−16常数项：8二次项系数：1一次项系数：0常数项：0

一次项系数：5常数项：0二次项系数：2一次项系数：−4常数项：−3y=2x2

−4x

−32.如图，矩形绿地的两边长各增加xm，扩充后的绿地面积为ym2.写出y关于x的函数解析式.

y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600y关于x的函数解析式为：y=x2+50x+600(x≥0)

D4．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝______，一次项系数b＝______，常数项c＝______．－1－21课堂小结1．请叙述二次函数的定义及一般形式．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0.3．自变量x的取值范围为全体实数．随堂检测

C

B3、某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是

.y=2(1−x)24、正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为

.0≤x≤10作业布置(1)教材P32习题26.1第1，2题；(2)对应课时练习．习题26.1人教版九年级数学（上）第26章二次函数复习巩固1.某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（単单位：万元）关于x的函数解析式.y=50(1+x)2

y=50x2

+100

x+502.设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存.如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式.y=30000(1+x)2

y=30000x2

+60000

x+30000综合运用3.如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为5cm的边框.已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式.解：5

cm=0.05

m镜面面积：S镜面

=πx2边框面积：S边框=π(x+0.05)2−πx2=0.1πx+0.0025π镜面价格：180×πx2

=180πx2边框价格：100×(0.1πx+0.0025π)=10πx+0.25π所以

y=180πx2

+10πx+0.25π（x>0）拓广探索4.如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s.（1）写出钢球滚动的距离l（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式。

（2）如果斜面的长是3m，钢球从斜面顶端滚到底端要用多长时间？

因为t≥0，所以t

=2.答：钢球从斜面顶端滚到底端要用2秒.作业布置完成对应课时练习．26.2二次函数的图象和性质26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质人教版九年级数学（上）第26章二次函数新课导入1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是______________________．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是________________．一条经过(0，b)的直线过原点的直线2．描点法画出一次函数的步骤：分别为________、________、________三个步骤．3．我们把形如__________________的函数叫作二次函数．列表描点连线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)探究新知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)最简单的二次函数y=ax2y=x2回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？1.列表：在y=x2中，自变量x可以是任意实数.x···-3-2-10123···y=x2······2.描点.3.连线.y=x2用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸.画二次函数y=x2的图象.9410149可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上.实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下，我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线

y=ax2+bx+c.y=x2二次函数y=x2的性质.y轴是抛物线y=x2的对称轴.抛物线y=x2与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点.实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.y=x2y=x2y＝x2的图象是一条抛物线；图象开口向上；图象关于y轴对称；顶点（0，0）；图象有最低点．你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？y=x2当x<0时，

y随着x的增大而减小；

当x>0时，y随着x的增大而增大.从二次函数y=x2的图象可以看出：

x···-4-3-2-101234·········x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=2x2······84.520.500.524.5884.520.500.524.58y=2x2观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？y=x2y=2x2①图象开口向上；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最低点；⑤当x<0时，

y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.思考：

开口大小y=x2y=2x2①图象开口向上；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最低点；⑤当x<0时，

y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.⑥a越大，抛物线的开口越小.思考：当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？探究：回顾上面研究二次函数y=ax2（a>0）的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax2（a<0）的图象和性质吗？

(1)列表；x···-4-3-2-101234······-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8···x···-3-2-10123···y=-x2···-9-4-10-1-4-9···(2)描点；(3)连线.y=－x2y=-2x2x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=-2x2···-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8···仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？①图象开口向下；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最高点；⑤当x<0时，

y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.⑥a越小，抛物线的开口越小.y=－x2y=-2x2y=ax2a>0a<0图象位置开口方向开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方对称性关于y轴对称，对称轴是直线x=0顶点最值顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0增减性当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.知识归纳1．二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线．我们把二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫作抛物线y＝ax2＋bx＋c.2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是_______，顶点是_______．当a＞0时，抛物线的开口_______，顶点是抛物线的最_______点，当a＜0时，抛物线的开口向_______，顶点是抛物线的最_______点．y轴原点向上低下高3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而_______，当x＞0时，y随x的增大而_______；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_______，当x＞0时，y随x的增大而_______．减小增大增大减小例1例题与练习

已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数．(1)求m的值．解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值为2或－4.(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴m＋2＞0，解得m＞－2，∴m＝2.(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？∴m＋2＜0，解得m＜－2，∴m＝－4.例2

二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).(1)求a，m的值；解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，∴点P的坐标为(1，1).将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1.得m＝2×1－1＝1，(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？(2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大.（1）y=3x2；

（2）y=−3x2；1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=3x2y=−3x22.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况：（1）y=4x2；

向上y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而减小；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而增大.（2）y=−4x2；向下y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而增大；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而减小.

向上y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而减小；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而增大.

向下y

轴(0,0)当x

<0时：y随x的增大而增大；开口方向:对称轴:顶点:y的变化情况:当x>0时：y随x的增大而减小.

上y轴(0，0)下y轴(0，0)4．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1______y2.5．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是______．＜0课堂小结1．如何画出函数y＝ax2的图象？2．函数y＝ax2具有哪些性质？随堂检测1、已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（）C2、如图，二次函数y=2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．解：∵二次函数y=2x2的图象经过点C，∴当x=2时，y=2×22=8，即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA=OB.∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积.∴S阴影部分面积之和=2×8=16.作业布置(1)教材P44习题26.2第1题；(2)对应课时练习．26.2二次函数的图象和性质26.2.2二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax²＋k的图象和性质人教版九年级数学（上）第26章二次函数新课导入1．画函数图象利用描点法，其步骤为______、______、______．列表描点连线2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条_______，如果a>0，它的开口向_____，对称轴是______，顶点坐标是______；那么当x＜0时，y随x的增大而______，当x＞0时，y随x的增大而______；当x＝______时，y取最______值．当a<0时又会有什么变化呢？抛物线上y轴(0，0)减小增大0小探究新知思考：回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ax2+bx+ca(x−h)2+k配方y=ax2+bx+cy=a(x−h)2+k当分别讨论h，k的取值时，就可以建立起y=ax2+bx+c与y=ax2的联系了.当h=0，k≠0时，二次函数y=ax2+k的图象和性质是怎样的？探究：

先列表：x…-4-3-2-101234……………106.542.522.546.51062.50-1.5-2-1.502.56

图中红色、蓝色抛物线分别是哪一个函数的图象？中间黑色虚线抛物线又是哪一个函数的图象？

开口方向对称轴顶点向上y轴(0，2)向上y轴(0，−2)

向上平移2个单位长度

向下平移2个单位长度

改变k的值，你发现了什么？

y=ax2顶点(0,0)y=ax2+k顶点(0,k)当k>0时，向上平移k个单位长度得到当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到上下平移规律：上加下减常数项.思考：

二次函数y=ax2+k的图象和性质：y=ax2+ka>0a<0图象k>0k<0开口方向向上向下y=ax2+ka>0a<0对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<0时，y随x增大而增大；当x<0时，y随x增大而减小；y轴（直线x=0）（0，k）x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k当x>0时，y随x增大而增大.当x>0时，y随x增大而减小.知识归纳1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：函数解析式顶点坐标对称轴开口方向增减性y＝ax2(a≠0)(0，0)y轴当a＞0时，抛物线开口向_____；当a＜0时，抛物线开口向_____．如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而____，当x＞0时，y随x的增大而_____；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_____，当x＞0时，y随x的增大而______．y＝ax2＋k(a≠0)(0，k)上下减小增大增大减小2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移______个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向______平移______个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向______平移______个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k.|k|上k下|k|例1例题与练习指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．

向下y

轴(0，4)当x＝0时，有最大值y＝4.开口方向:对称轴:顶点坐标:最值:(2)y＝2x2－3.向上y

轴(0，−3)当x＝0时，有最大值y＝−3.开口方向:对称轴:顶点坐标:最值:例2

直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式：

(3)y＝－x2－1.例3

解得k＝－7，

1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=x2+1，y=x2−1.指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况.11-1-13-3-3y=x2+1y=x2y=x2−1y=x2y=x2+1y=x2−1向上平移1个单位长度向下平移1个单位长度11-1-13-3-3y=x2+1y=x2y=x2−1y=x2开口向上对称轴：y

轴顶点坐标：(0，0)当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.y=x2+111-1-13-3-3y=x2+1y=x2y=x2−1开口向上对称轴：y

轴顶点坐标：(0，1)当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.y=x2−111-1-13-3-3y=x2+1y=x2y=x2−1开口向上对称轴：y

轴顶点坐标：(0，−1)当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.

B3．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是

(

)A．y1＜y2

B．y1＝y2

C．y1＞y2

D．无法确定4．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位长度得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝_____，c＝_____．C－34课堂小结1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．2．二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的关系．随堂检测1、已知点(m，n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)_______（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.在2、若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k______；若顶点位于x轴上方，则k______；若顶点位于x轴下方，则k______.=2>2<23、如图，抛物线y=x2−4与x轴交于A、B两点,点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标.解：抛物线y=x2−4，当y=0时，x=±2，即A点的坐标为(−2,0)，B点的坐标为(2,0).∴AB=4.∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b，

∴｜b｜=2.即b=±2.

作业布置(1)教材P44习题26.2第2题(1)；(2)对应课时练习．26.2二次函数的图象和性质26.2.2二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质第2课时二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质人教版九年级数学（上）第26章二次函数新课导入1．画函数图象利用描点法，其步骤为______、______、______．列表描点连线2．二次函数y＝x2＋3的图象是一条_________，它的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是________；在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______；当x＝______时，y取最______值．抛物线上y轴(0，3)减小增大0小探究新知探究：

先分别列表：x…-4-3-2-1012………-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5x…-2-101234………-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5

开口方向：对称轴：顶点坐标:向下x=−1

(−1，0)开口方向：对称轴：顶点坐标:向下x=1

(1，0)两抛物线的开口大小相等.

①开口方向和大小相同；②顶点纵坐标相同；③对称轴不同.

向左平移1个单位长度

向右平移1个单位长度y＝a(x−h)2改变h的值，你发现了什么？改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数y＝a(x−h)2的图象在向左或向右平移，即把抛物线y=ax2向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位长度，就得到抛物线y＝a(x−h)2.y=ax2对称轴：y轴顶点(0,0)y=a(x-h)2对称轴：x=h顶点(h,0)当h>0时，向右平移h个单位长度得到当h<0时，向左平移∣h∣个单位长度得到左右平移规律：括号内左加右减.思考：你能归纳出二次函数y＝a(x−h)2的图象特征和性质吗？与同学交流一下.y=a(x-h)2a>0，h>0a>0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.向上直线x=h（h,0）x=h时，y最小值=0二次函数y＝a(x−h)2的图象和性质：y=a(x-h)2a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=h（h,0）x=h时，y最大值=0若抛物线y＝a(x－h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y＝－2x2平移得到的，则a，h的值各是多少？a=−2h

=−3知识归纳1．二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象性质：开口方向：当a>0时，开口向_____，当a<0时，开口向_____；顶点是_______，对称轴是_______；最值：当a>0时，有____________，当a<0时，有____________；增减性：当a>0且x>h时，y随x的增大而______，x<h时，y随x的增大而______；当a<0且x>h时，y随x的增大而______，x<h时，y随x的增大而______．上下(h，0)x＝h最小值y＝0最大值y＝0增大减小减小增大2．y＝ax2和y＝a(x－h)2的图象有如下关系：y＝ax2y＝a(x－h)2h>0，向右平移

个单位长度h<0，向左平移

个单位长度h|h|3．由抛物线y＝ax2的图象通过平移得到y＝a(x－h)2的图象，左右平移的规律是(四字口诀)____________．4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状________，只是__________不同，且|a|越大，开口________．左加右减相同开口方向越小例1例题与练习

例2

已知二次函数y＝a(x－h)2，当x＝2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，－3)，求此二次函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．解：依题意，得h＝2，∴y＝a(x－2)2.∵点(1，－3)在抛物线上，∴a＝－3，∴y＝－3(x－2)2，当x＜2时，y随x的增大而增大．1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况.yOx

2

-2

向左平移2个单位长度向右平移2个单位长度

开口向上对称轴：y轴顶点坐标：(0，0)当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.yOx

2

-2

yOx

2

-2

开口向上对称轴：x=−2顶点坐标：(−2，0)当x<−2时，y随x增大而减小；当x>−2时，y随x增大而增大.

yOx

2

-2

开口向上对称轴：x=2顶点坐标：(2，0)当x<2时，y随x增大而减小；当x>2时，y随x增大而增大.2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是

(

)A．y＝(x＋2)2

B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2A

y3＜y1＜y2

又∵顶点坐标是(－5，0)，

课堂小结1．二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．2．二次函数y＝a(x－h)2的图象和二次函数y＝ax2的图象之间的关系．随堂检测

C

C3、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象可能为(

).B作业布置(1)教材P44习题26.2第2题(2)；(2)对应课时练习．26.2二次函数的图象和性质26.2.2二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质第3课时二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质人教版九年级数学（上）第26章二次函数新课导入1．填空：函数开口方向对称轴顶点坐标最值y＝2x2y＝－x2＋2y＝3x2－5y＝0.5(x－6)2y＝－8(x＋4)2向上y轴或x＝0(0，0)最小值0向下y轴或x＝0(0，2)最大值2向上y轴或x＝0(0，－5)最小值－5向上x＝6(6，0)最小值0向下x＝－4(－4，0)最大值02.把抛物线y＝－2x2向左平移1个单位长度得到的抛物线是

(

)A．y＝－2(x＋1)2

B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1A探究新知探究：

解：先列表：x…-4-3-2-1012……-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5…

描点、连线，画出这个函数的图象.开口_______，对称轴是__________，顶点坐标是_________.向下直线x=−1(-1,-1)根据图象，你能指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

y=-(x+1)2-1y=-

x2

向左平移1个单位y=-(x+1)2向下平移1个单位还有其他的平移方法吗？

y=-

x2向下平移1个单位y=-

x2-1向左平移1个单位y=-(x+1)2-1

函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？

①开口向下；②对称轴为直线x=−1；③顶点坐标为(−1，−1)；④当x=−1时,y有最大值为−1；⑤x<−1时，y随x增大而增大；x>−1时，y随x增大而减小.请依据上述问题中的发现，说说抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？你能由此归纳出y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的性质吗？y=ax2y=a(x-h)2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度y=a(x-h)2+k向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度y=ax2+k向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.y=a(x-h)2+ka>0，h>0a>0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.向上直线x=h（h，k）x=h时，y最小值=k二次函数y＝a(x−h)2+k的图象和性质：y=a(x-h)2a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=hx=h时，y最大值=k（h，k）例2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y=a(x−1.6)2+3(0≤x≤3.6)由这段抛物线经过点（3.6，0），可得0

=a(3.6−1.6)2+3.

当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08m.知识归纳1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状______，位置______．把抛物线y＝ax2向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据______的值来决定．相同不同h，k2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向______；当a＜0时，开口向______；②对称轴是x＝______；③顶点是________；上下h(h，k)3．从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜h时，y随x的增大而____，当x＞h时，y随x的增大而_______，当x＝h时，取最小值，最小值为k；如果a＜0，那么当x＜h时，y随x的增大而______，当x＞h时，y随x的增大而______，当x＝h时，y取得最大值，最大值为k.减小增大增大减小例1例题与练习

C例2

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口向上对称轴为x＝1顶点坐标为(1，－5)

（1）y=2(x+3)2+5；

开口向上，1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况：对称轴为x=−3，顶点坐标为(−3，5).当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.（2）y=−3(x−1)2−2；开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为(1，−2).当x<h时,y随x增大而增大;当x>h时,y随x增大而减小.（3）y=4(x−3)2+7；

开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3，7).当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.（4）y=−5(x+2)2−6.开口向下，对称轴为x=−2，顶点坐标为(−2，−6).当x<h时,y随x增大而增大;当x>h时,y随x增大而减小.2.说出下列二次函数的最大值或最小值：

3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是

(

)A．m＞1

B．m＞0

C．m＞－1

D．－1＜m＜0B

y3＞y1＞y2课堂小结1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和二次函数y＝ax2的图象之间的关系.随堂检测1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(

).A.y=3(x-2)2-1

B.y=3(x-2)2+1C.y=3(x+2)2-1

D.y=3(x+2)2+1C

B解：由函数顶点坐标是(1,−2)，3、已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1,−2)，求这个二次函数的关系式．设二次函数的关系式为y=a(x−1)2-2.图象过点(0,0)，则0=a(0−1)2−2，解得a=2.∴这个二次函数的关系式为y=2(x−1)2−2.作业布置(1)教材P44习题26.2第2题(3)；(2)对应课时练习．26.2二次函数的图象和性质26.2.3二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质人教版九年级数学（上）第26章二次函数新课导入1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，1)，当x>2时，y随x的增大而减小，当x<2时，y随x的增大而增大，当x＝2时，有最大值1.2．函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？解：函数y＝－4(x－2)2＋1的图象是由函数y＝－4x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．探究新知

化成y=a(x-h)2+k的形式.思考：

提出问题：

提出问题：(4)观察图象，回答：

想一想：配方的方法及步骤是什么？①“提”：提出二次项系数；②“配”：括号内配成完全平方；③“化”：化成顶点式.

配方后的表达式通常称为顶点式.

向右平移6个单位

向上平移3个单位

向上平移3个单位

向右平移6个单位

方法1：方法2：

平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变.

相同上移3，右移6下移3，左移6先利用对称性列表：x…3456789……7.553.533.557.5…

描点法描点、连线，画出函数图象.

开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是_________.向上直线x=6(6,3)当x<6时，y随x__________；当x>6时，y随x__________.当x=6时，y取________，最小值是____.增大而减小增大而增大最小值3解：配方得y=−2x2−4x+1=−2(x2+2x)+1=−2(x2+2x+1)+2+1=−2(x+1)2+3由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=−1,顶点坐标是(−1,3)，顶点是图象的最高点.探究：你能用上面的方法研究二次函数y=−2x2−4x+1的图象和性质吗?画图：先利用对称性列表：x…-4-3-2-1012…y=-2x2-4x+1…-15-5131-5-15…描点、连线，画出这个函数的图象.开口向下，当x<−1时，y随x增大而增大；y=-2x2-4x+1对称轴是x=−1，顶点坐标是(−1,3).当x>−1时，y随x增大而减小.y=ax2+bx+c

你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？

从一般式到顶点式要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得：

yOx（a<0）yOx（a>0）二次函数y=ax2+bx+c的图象：最小值最大值不画出图象,你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？开口向下，对称轴直线x=1，顶点(1，−2).你能用上面的方法讨论二次函数y＝－x2＋2x－3的图象和性质吗？思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？二次函数的最大值或最小值，就是顶点的纵坐标.函数图象开口向上有最小值，开口向下有最大值.你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？知识归纳

2．思考并完成下表：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)开口方向a＞0，开口_______a＜0，开口___