安徽省县中联盟2025-2026学年下学期高二年级7月期末联考数学+答案

高二数学

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作

答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知集合A={5},B={x|5x—x²=0},则AUB=

A.{5}B.{0,5}C.{—5,5}D.{—5,0,5}

2.已知随机变量X～N(6.5,ø²),若P(5<X<8)=0.8,则P(X≤5)=

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

3的展开式中的第3项为

A.20B.60C.60x²D

4.若平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a⊥(a-3b),则a与b的夹角的余弦值为

ABCD

5.已知抛物线C:y²=8x的焦点为F,过点A(—2,0)的直线与C相切于点B,则

A.1B.√2CD

6.若0<m<n<1,且,b=log,m,c=login,则

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

7.已知等差数列{an}的前n项和为S,若a3+a?=9,则S₁₅的最大值为

A.15√5B.15C.30√5D.30

【高二数学第1页(共4页)】

8.已知函数f(x)=eˣ+²—a(x²+4x)有2个极值点x1,x₂,且f'(x)在x=x。处取得最值，若x₁<0

≤x₀≤2<x₂,则a的取值范围是

A.BC.D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知a∈R,复数z=(a+i)(2—i),则

A.当a=1时，|z|=10

B.当z∈R时，a=2

C.当a=0时，(z—1)³=—8i

D.当z在复平面内对应的点在第一象限时

10.如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，AB₁·A₁B=-5,

,点E满足D₁E=λD₁C(≤A≤1),则

A.四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积为8+12√3

B.当时，AE在AB上的投影向量

C.当时，

D.存在λ,使得DE=xDA+yDC+zDC₁,且x+y+z=1

11.若数列{an}满足an+1=an+(一1)"n(t∈N*),称数列{an}为“t阶摆动数列”,下列结论正确的是

A.若{an}是“1阶摆动数列”,则a101—a₉9=1

B.若{an}是“1阶摆动数列”,且a₁=0,则a10=-50

C.若{an}是“2阶摆动数列”,且a₁=a₂=0,则as9+a100=98

D.若{an}是“4阶摆动数列”,且a1=a₂=a3=a4=1,则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.样本数据1,2,3,4,2,4,6,8的40%分位数是

13.将编号为1,2,3,4的4个乒乓球分别放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子中放入1个

球，记这4个盒子中盒子编号与所放球的编号之和为5的共有X个，则P(X=2)=

14.已知点A(一4,0),B(-1,0),动点P(m,n)满足,的最大值

为

【高二数学第2页(共4页)】

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知函数

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=0,a=7,c=8,求△ABC的面积

16.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=aln(x+2)+x,a∈R.

(1)若a=2,求f(x)的图象在x=-1处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性.

17.(本小题满分15分)

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点.

(1)证明：BC₁//平面A₁CD;

(2)若AB=AC=BC=AA₁=AC₁=2,BC₁=√6,求平面A₁CD与平面ABC₁夹角的余弦值.

【高二数学第3页(共4页)】

18.(本小题满分17分)

某人工智能实验室研发了一款AI智能学习助手.为了评估该模型在连续对话任务中的稳定性

与优化效果，研究团队构建了如下概率模型：假设AI在处理每一轮用户指令时，其内部状态分

为2种：“待优化”、“运行中”.AI初始状态为“待优化”状态，现对AI进行多轮处理，首轮处理，有

0.6的概率成功进入“运行中”状态，有0.4的概率继续保持“待优化”状态，以后每轮处理，若前

一轮处于“待优化”状态，则后一轮有0.6的概率成功进入“运行中”状态，有0.4的概率继续保持

“待优化”状态，若前一轮处于“运行中”状态，则后一轮有0.8的概率继续保持“运行中”状态，有

0.2的概率退回到“待优化”状态.

(1)求第1轮与第2轮处理后AI都处于“待优化”状态的概率；

(2)记第1轮与第2轮处理后AI处于“运行中”状态的次数为X,求X的分布列与数学期望；

(3)设P,表示经过第n轮处理后，AI处于“运行中”的概率，求P.

19.(本小题满分17分)

已知椭圆C:1(a>b>0)经过点,且离心率为

(1)求C的方程；

(2)若点D,E分别为C的左、右顶点，直线x=x。与C交于两点M,N(其中M在x轴上方),证

明：直线DM,EN的交点G恒在双曲线C′上；

(3)若动直线l:y=kx+t与C交于与点P不重合的点A,B,且PAIPB,证明：当直线l与曲线

2y-3x=14xy交于两点M₁,M2时，M₁,M2关于某定点对称.

【高二数学第4页(共4页)】

高二数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号12345678

答案BACCDDAB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案BCACDABD

1.B因为A={5},B={x|5x—x²=0}={0,5},所以AUB={0,5},故选B.

2.A1,故选A.

3.C的展开式中的第3项为C,故选C.

4.C由a⊥(a—3b)得a·(a—3b)=a²—3a·b=0,即4-3×2×1×cos<a,b>=0,所以,故选C.

5.D设切线AB方程为y=k(x+2),与y²=8x联立得k²x²+(4k²—8)x+4k²=0,所以(4k²—8)²—16k⁴=0,

k=±1,∠BAF=45°,设点B到C的准线距离为d,则,故选D.

6.D因为0<m<n<1,则1,—m<0,,由指数函数的单调性可得由对数函数

的单调性可得b=log,m>log,n=1,c=login<log-1=0,所以c<a<b,故选D.

7.A设{an}的公差为d,由a²+a3=9,得(as-2d)²+(as+d)²=9,整理得5d²—2asd+2a³-9=0,所以

(-2ag)²-4×5×(2a³-9)≥0,解得a³≤5,ag≤√5,所以S₁₅=15ag≤15√5,故选A.

8.B因为f(x)=e+²—a(x²+4x),所以f(x)=e+²—a(2x+4),设g(x)=f'(x),则g'(x)=e+²—2a,若a

≤0,则g′(x)>0,f'(x)单调递增，f(x)最多有1个极值点，不满足题意，所以a>0,此时f(x)在

(In2a-2,+∞)上单调递增，在(一∞,In2a-2)上单调递减，所以xo=In2a-2,又x₁<0,x₂>2,所以

,解,故选B.

9.BC对于A,当a=1时，|z|=|1+i||2—i|=√2×√5=√10,A错误；对于B,z=2a+1+(2—a)i为实数，则

2—a=0,a=2,B正确；对于C,当a=0时，z=1+2i,(z-1)=(2i)³=—8i,C正确；对于D,当z在复平面对应

的点在第一象限时，错误.故选BC.

10.ACD对于A,由AB·A₁B=(AB+AA₁)·(AB-AA)=AB²-AA=4-|AAI²=-5,得AA₁=3,所以

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积为,A正确；对于B,当时，AE·

,所以AE在AB上的投影向量

错误；由,解

得(负值舍去),C正确；对于D,由x+y+z=1,得点E在平面ACC₁内，此时E,C₁重合，λ=1,D正确，

故选ACD.

11.ABD对于A,由an+=a+(一1)"n得a2k+1=az+2k,a2k=a2k-1-2k+1,k∈N°,两式相加得az+1-azk-1=

1,所以a101—a99=1,A正确；

对于B,a₁=0,a2=a₁-1=—1,azk+2=azk+1-2k—1,azk+1=azk+2k,k∈N*,两式相加得azk+2—azk=—1,所

【高二数学参考答案第1页(共4页)】

以a100=ag8—1=…=a₂—49=-50,B正确；

对于C,由an+2=an+(-1)"n得azk+1=azk-1-2k+1,azk+2=az+2k,k∈N*,两式相加得azk+1+a2k+2=azk-1

+azk+1,所以a₉9+a10=a₁+a₂+49=49,C错误；

对于D,由已知可得aμ+4+a+3+aμ+2+aμ+1=aμ+ak-1+ak-2+ak-3+4k—(4k—1)+4k—2—(4k—3)=

ask+aμ-1+ak-2+ak-3+2,所以ak+a-1+ak-2+ak-3=4+2(k—1)=2k+2,所以

700.D正确，故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.3把这组数据按照从小到大排列为1,2,2,3,4,4,6,8,40%×8=3.2,所以40%分位数是第4个数3.

13.总的放法种数为A=24,盒子编号与所放球的编号之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以

14.9√2由已知得|PA|²=4|PB|²,所以(m+4)²+n²=4(m+1)²+4n²,整理得m²+n²=4,所以

表示圆x²+y²=4上的点与点

Q(2√2,2)连线的斜率，设过点Q的直线方程为y-2=k(x-2√2),即kx-y-2√2k+2=0,圆心(0,0)到该

直线的距离不大于圆的半径，即,解得0≤k≤2√2,所以的最大值为2√2,√2+

的最大值为9√2,即的最大值为9√2.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

……………………2分

令,k∈Z,得,k∈Z,……………………4分

所以f(x)图象的对称轴方程为

(2)由(1)可得,所以………6分

因为A∈(0,π),所以,所以,故……·8分

因为a²=b²+c²-2bccosA,且a=7,c=8,

所以b²—8b+15=0,解得b=3或b=5,经检验，均符合要求，…………·11分

当b=3时，……………………12分

当b=5时，…………………13分

16.解：(1)当a=2时，f(x)=21n(x+2)+x,………………2分

所以f(一1)=-1,f'(一1)=3,…………4分

所以f(x)的图象在x=-1处的切线方程为y+1=3(x+1),

即3x-y+2=0.……………6分

(2)f(x)的定义域为(-2,+∞),且,…………8分

当a≥0时，f'(x)>0,f(x)单调递增；………………·10分

当a<0时，令f(x)<0,得—2<x<-a-2,此时f(x)单调递减，

令f(x)>0,得x>-a-2,此时f(x)单调递增.……………13分

综上得，a≥0时f(x)在(-2,十∞)上单调递增，a<0时f(x)在(-2,-a-2)上单调递减，在

(-a-2,十∞)上单调递增.·15分

17.(1)证明：设AC₁∩A₁C=E,则E为AC₁的中点，……………·1分

连接DE,因为D为AB的中点，

所以DE//BC₁,……………………3分

因为DEC平面A₁CD,BC₁C平面A₁CD,

【高二数学参考答案第2页(共4页)】

所以BC₁//平面A₁CD.……·4分

(2)解：由已知得，△ABC与△ACC₁都是边长为2的正三角形，

取AC中点O,连接OB,OC₁,则OC₁⊥AC,OB⊥AC,且OB=OC₁=√3,

因为BC₁=√6,所以OB²+OC=BC,所以OB⊥OC₁,

则OB,OC,OC₁两两垂直.…………………6分

以O为原点，OB,OC,OC₁所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,—1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),),A₁(0,—2,√3),

C₁(0,0,√3),

…………9分

设平面A₁CD的法向量m=(x,y,z),由

取y=1,得m=(√3,1,√3).……11分

设平面ABC的法向量n=(a,b,c),由得

取c=1,得n=(1,一√3,1),………………………·13分

设平面A₁CD与平面ABC₁的夹角为θ,则

即平面A₁CD与平面ABC₁夹角的余弦值.………15分

18.解：(1)AI开始处于“待优化”状态，第1轮处理后AI处于“待优化”状态的概率为0.4,

当第1轮处理后AI处于“待优化”状态时，第2轮处理后AI处于“待优化”状态的概率为0.4,

所以第1轮与第2轮处理后AI都处于“待优化”状态的概率为0.4×0.4=0.16.…………3分

(2)X的所有可能取值分别为0,1,2,…………4分

P(X=0)=0.4×0.4=0.16,

P(X=1)=0.6×0.2+0.4×0.6=0.36,

P(X=2)=0.6×0.8=0.48,……………7分

所以X的分布列为

X012

P0.160.360.48

………………………8分

E(X)=0×0.16+1×0.36+2×0.48=1.32.·10分

(3)由已知得P₁=0.6,

Pn+1=P„×0.8+(1-P,)×0.6=0.2P„+0.6,…………·12分

设Pn+1+λ=0.2(P„+λ),则0.2λ一λ=0.6,λ=—0.75,

所以数列{P„—0.75}是公比为0.2的等比数列，首项为P₁-0.75=-0.15,………·15分

所以Pn—0.75=-0.15×0.2”⁻¹,P,=0.75—0.15×0.2”-1.…………·17分

19.(1)解：因为C经过点,所!…………1分

因为C的离心率,所以,即4b²=3a²,…