2026年（北师大版）高中数学必修三第11讲-概率的一般加法公式 含解析

/概率的一般加法公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解事件的交（或积）的含义，会用概率的加法公式。2.能在实际问题中应用概率的一般加法公式。1．事件的交(或积)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．(1)用集合形式表示，如图．(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．2．概率的一般加法公式设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，∴P(A∪B)＝eq\f(A∪B中包含基本事件数,Ω中基本事件总数)＝eq\f(m1＋m2－m,n)＝eq\f(m1,n)＋eq\f(m2,n)－eq\f(m,n)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(1)当A、B为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)应用公式时，一定要把握好A与B的公共基本事件数．即A∩B的基本事件数．类型一概率的加法公式例1：甲、乙等四人参加4×100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．练习：(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A的概率．类型二概率的一般加法公式在实际中的应用例2：一栋楼上住有50户人家，其中有电脑的有43户，有钢琴的有36户，这两样都没有的只有1户人家，试求下列事件的概率．(1)有电脑的；(2)有钢琴的；(3)既有电脑又有钢琴的；(4)有电脑或钢琴的．练习1：两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，两人同时解决的概率是P3，则这个问题解决的概率是()A．P1＋P2－P3B．P1＋P2－P1P2－P3C．P1＋P2＋P3－P1P2D．P1P2＋P1＋P2－P3练习2：一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一个5或6的概率．1．随机投掷两枚硬币，事件A＝“至少一次正面朝上”，事件B＝“至少一次反面朝上”，则P(A∪B)＝()A．eq\f(3,2) B．eq\f(1,2) C．1 D．02．已知事件A、B，则下列式子正确的是()A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A∩B)＝P(A)－P(B)C．P(A∩B)<P(A∪B) D．P(A)＋P(B)≥P(A∪B)3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司职工中随机抽选一人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率．4.同时抛掷红、黄两颗骰子，事件A＝“红骰子点数大于3”，事件B＝“蓝骰子点数大于3”，求事件A∪B＝“至少有一颗骰子点数大于3”的概率．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是()A．eq\f(9,10) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,10) D．eq\f(1,5)2．下列命题中是错误命题的个数为()①对立事件一定是互斥事件；②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.A．0 B．1C．2 D．33．某单位电话总机室内有两部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是()A．0.9 B．0.7C．0.6 D．0.54．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则该射手射击一次不命中环靶的概率为()A．0.1 B．0.65C．0.70 D．0.755．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)6．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)二、填空题7．从甲口袋中摸出一白球的概率为eq\f(1,3)，从乙口袋中摸出一白球的概率为eq\f(1,2)，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为eq\f(1,6)，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为________．8．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为________．三、解答题9．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率．能力提升一、选择题1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为()A．A∪B B．A∩BC．A⊆B D．A＝B2．对于任意事件M和N，有()A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N) B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)C．P(M∪N)<P(M)＋P(N) D．P(M∪N)≤P(M)＋P(N)二、填空题3．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，计算下列事件的概率．(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为________；(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为________；(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为________；(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为________．4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为________．三、解答题5．从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：(1)它是偶数；(2)它能被3整除；(3)它是偶数且能被3整除的数；(4)它是偶数或能被3整除．概率的一般加法公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.理解事件的交（或积）的含义，会用概率的加法公式。2.能在实际问题中应用概率的一般加法公式。1．事件的交(或积)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．(1)用集合形式表示，如图．(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．2．概率的一般加法公式设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，∴P(A∪B)＝eq\f(A∪B中包含基本事件数,Ω中基本事件总数)＝eq\f(m1＋m2－m,n)＝eq\f(m1,n)＋eq\f(m2,n)－eq\f(m,n)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(1)当A、B为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)应用公式时，一定要把握好A与B的公共基本事件数．即A∩B的基本事件数．类型一概率的加法公式例1：甲、乙等四人参加4×100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[解析]设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).计算P(A∩B)，记x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，记为(x，y)，则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故P(A∩B)＝eq\f(1,12).所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12).[答案]eq\f(5,12)练习：(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A的概率．[答案](1)至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.(2)若加工出来的零件为次品，则至少有一道工序产生次品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.(3)设事件A为“甲住A”，事件B为“乙住A”，则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).事件A∩B为“甲、乙均住A”，其概率P(A∩B)＝eq\f(1,16).所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(7,16).类型二概率的一般加法公式在实际中的应用例2：一栋楼上住有50户人家，其中有电脑的有43户，有钢琴的有36户，这两样都没有的只有1户人家，试求下列事件的概率．(1)有电脑的；(2)有钢琴的；(3)既有电脑又有钢琴的；(4)有电脑或钢琴的．[解析]“有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和“有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．(1)由于楼上共50户，有电脑的43户，故所求事件的概率为eq\f(43,50)＝0.86.(2)有钢琴的36户，故所求事件的概率为eq\f(36,50)＝0.72.(3)既有钢琴又有电脑的共43＋36＋1－50＝30户，故所求事件的概率为eq\f(30,50)＝0.6.(4)有电脑或钢琴的概率为：P＝0.86＋0.72－0.6＝0.98.或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所求事件的概率P＝1－eq\f(1,50)＝1－0.02＝0.98.练习1：两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，两人同时解决的概率是P3，则这个问题解决的概率是()A．P1＋P2－P3B．P1＋P2－P1P2－P3C．P1＋P2＋P3－P1P2D．P1P2＋P1＋P2－P3[答案]A练习2：一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一个5或6的概率．[答案]解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表表示如下：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个结果，至少含一个数字5或6的结果有20个，∴所求概率P＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9).解法二：利用对立事件求解，至少含有一个数字5或6的对立事件是没有数字5和6，没有数字5和6的结果从表中可数出共16个，∴所求概率P＝1－eq\f(16,36)＝eq\f(5,9).解法三：记事件A＝“向上一面含数字5的”，B＝“向上一面含数字6的”，∴P(A)＝eq\f(11,36)，P(B)＝eq\f(11,36)，P(A·B)＝eq\f(2,36)，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝eq\f(11,36)＋eq\f(11,36)－eq\f(2,36)＝eq\f(5,9).1．随机投掷两枚硬币，事件A＝“至少一次正面朝上”，事件B＝“至少一次反面朝上”，则P(A∪B)＝()A．eq\f(3,2) B．eq\f(1,2) C．1 D．0[答案]C2．已知事件A、B，则下列式子正确的是()A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A∩B)＝P(A)－P(B)C．P(A∩B)<P(A∪B) D．P(A)＋P(B)≥P(A∪B)[答案]D3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司职工中随机抽选一人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率．[答案]设A表示抽中女职工的事件，则P(A)＝eq\f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(35,113)；B表示抽中第三分厂职工的事件，则P(B)＝eq\f(800＋500,11300)＝eq\f(13,113)；C表示抽中第三分厂女职工的事件，则有C＝A∩B，其概率为P(C)＝P(A∩B)＝eq\f(500,11300)＝eq\f(5,113).抽中女职工或第三分厂职工的概率，即为P(A∪B)，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(35＋13－5,113)≈0.381.4.同时抛掷红、黄两颗骰子，事件A＝“红骰子点数大于3”，事件B＝“蓝骰子点数大于3”，求事件A∪B＝“至少有一颗骰子点数大于3”的概率．[答案]基本事件空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤6,1≤y≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为36个(可用平面直角坐标系中的点表示)A中元素有3×6＝18个，B中元素个数有3×6＝18个，A∩B＝{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}中共9个基本事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(18,36)＋eq\f(18,36)－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是()A．eq\f(9,10) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,10) D．eq\f(1,5)[答案]B[解析]记3名男生分别为A1，A2，A3,2名女生分别为B1，B2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P＝eq\f(7,10).2．下列命题中是错误命题的个数为()①对立事件一定是互斥事件；②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]互斥不一定对立，对立必互斥①正确；只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴②错误；事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，③不对．3．某单位电话总机室内有两部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是()A．0.9 B．0.7C．0.6 D．0.5[答案]B[解析]至少有一部电话打入的概率是0.4＋0.5－0.2＝0.7.4．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则该射手射击一次不命中环靶的概率为()A．0.1 B．0.65C．0.70 D．0.75[答案]A[解析]该射手射击一次不命中环靶的概率是1－0.35－0.30－0.25＝0.1.5．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)[答案]B[解析]将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)，(6,4,2)，(5,4,3)，(5,3,1)，(4,3,2)，(3,2,1)，(1,3,5)，(1,2,3)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4,4)，(5,5,5)，(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为eq\f(18,216)＝eq\f(1,12).6．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12,13,21,23,31,32共6个．其中大于21的有23,31,32共3个，∴所求概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).二、填空题7．从甲口袋中摸出一白球的概率为eq\f(1,3)，从乙口袋中摸出一白球的概率为eq\f(1,2)，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为eq\f(1,6)，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为________．[答案]eq\f(2,3)[解析]“至少有一个白球”是事件A＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).8．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为________．[答案]0.64[解析]目标被击中即甲击中或乙击中，P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.8，∴P(甲或乙)＝P(甲)＋P(乙)－P(甲且乙)＝1－0.04＝0.96，∴P(甲且乙)＝0.64.三、解答题9．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率．[解析]P(A)＝eq\f(93,100)，P(B)＝eq\f(90,100)，P(A∩B)＝eq\f(85,100).而A∪B为：“产品的长度、重量至少有一项合格”∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(93,100)＋eq\f(90,100)－eq\f(85,100)＝0.98.能力提升一、选择题1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为()A．A∪B B．A∩BC．A⊆B D．A＝B[答案]B[解析]A∪B＝{出现的点数是1,2,3,4}，A∩B＝{出现的点数是2}，故选B.2．对于任意事件M和N，有()A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N) B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)C．P(M∪N)<P(M)＋P(N) D．P(M∪N)≤P(M)＋P(N)[答案]D[解析]本题主要考查对概率加法公式的理解．当M和N是互斥事件时，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(M∪N)<P(M)＋P(N)．综上可得P(M∪N)≤P(M)＋P(N)，故选D.二、填空题3．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，计算下列事件的概率．(1)任取其中1张，这张卡片上