2026年（北师大版）高中数学必修四第8讲-平面向量数量积 含解析

③向量数量积的坐标运算1、已知两个向量，,则.2、设，则.3、平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么.4、向量垂直的判定两个非零向量，，则.5、两向量夹角的余弦cos=（）.6、向量在轴上的正射影：作图定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当=0时正射影为||；当=180时正射影为||类型一、平面向量数量积的运算：例题1已知下列命题:①;②;③;④其中正确命题序号是②、④.点评:掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2已知;(2);(3)的夹角为,分别求.解(1)当时,=或=.(2)当时,=.(3)当的夹角为时,=.练习：已知,求解:=点评:熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.类型二、夹角问题：例题3(2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为()A.B.C.D.解:依题意故选C练习：①已知,求向量与向量的夹角.②已知,夹角为,则.解:①,故夹角为.②依题意得.练习:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.法一解:将两边平方得,则,故的夹角.为.法二:数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.类型三、向量模的问题例题4已知向量满足,且的夹角为,求.解:,且的夹角为;练习:①(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围()A.B.C.D.②(2006年福建)已知的夹角为,,,则等于()A5B.4C.3D.1解:①,故选C②,,解得,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.类型四、平面向量数量积的综合应用例题5(2006年全国卷)已知向量.若;(2)求的最大值.解:(1)若,则,.(2)==,的最大值为.例题6已知向量,且满足,求证;(2)将与的数量积表示为关于的函数;(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.解:(1),故(2),故.(3),此时当最小值为.,量与向量的夹角一、选择题1．若a·c＝b·c(c≠0)，则()A．a＝bB．a≠bC．|a|＝|b|D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等[答案]D[解析]∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cos<a，c>＝|b|·|c|cos<b，c>，即|a|cos<a，c>＝|b|cos<b，c>，故选D.2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于()A．150° B．120°C．60° D．30°[答案]B[解析]cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).∴θ＝120°.3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为()A．2 B．eq\r(3)C．2eq\r(3) D．4[答案]C[解析]a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝4×cos30°＝2eq\r(3).4．|m|＝2，m·n＝8，<m，n>＝60°，则|n|＝()A．5 B．6C．7 D．8[答案]D[解析]∵eq\f(m·n,|m|·|n|)＝cos<m，n>，∴eq\f(8,2|n|)＝eq\f(1,2)，∴|n|＝8.5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为()A．－5eq\r(3) B．5C．－5 D．5eq\r(3)[答案]A[解析]a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－5eq\r(3).6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于()A．3 B．4C．5 D．6[答案]C[解析]b·b＋a·b＝|b|2＋|a|·|b|cos<a，b>＝4＋1＝5.二、填空题7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.[答案]3[解析]a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×eq\r(3)×cos30°＝2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．[答案]－3eq\r(2)[解析]∵|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，∴a在b方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－eq\f(\r(2),2))＝－3eq\r(2).三、解答题9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))；(2)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))；(3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))；(4)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→)).[解析](1)∵<eq\o(P1P2,\s\up6(→))，P1P3>＝eq\f(π,6)，|eq\o(P1P3,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).∴eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|·|eq\o(P1P3,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6.(2)∵<eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P4,\s\up6(→))>＝eq\f(π,3)，|eq\o(P1P4,\s\up6(→))|＝4，∴eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))＝2×4×coseq\f(π,4)＝4eq\r(2).(3)∵<eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P5,\s\up6(→))>＝eq\f(π,2)，∴eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))＝0.(4)∵<eq\o(P1P2,\s\up6(→))，eq\o(P1P6,\s\up6(→))>＝eq\f(2π,3)，∴eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→))＝2×2×coseq\f(2π,3)＝－2.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)[答案]D[解析]由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b.2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－1 B．0C．1 D．2[答案]B[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0.3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正确[答案]C[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(10).∴△ABC为等腰直角三角形．4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－eq\f(1,7) B．eq\f(1,7)C．－eq\f(1,6) D．eq\f(1,6)[答案]A[解析]∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ)a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，由(λa＋b)⊥(a－2b)，得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－eq\f(1,7).5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．5 D．25[答案]C[解析]∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋20＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.6．(2014·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－eq\f(9,2) B．0C．3 D．eq\f(15,2)[答案]C[解析]本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，∴4k－6－6＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．二、填空题7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．[答案]eq\f(24,5)[解析]b在a方向上的投影为|b|cos〈b，a〉＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－4×－3＋3×4,5)＝eq\f(24,5).8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案]eq\r(2)[解析]a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－eq\f(1,2)，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝eq\r(2).三、解答题9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，－2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,6)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×4－2×6＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(16＋36)＝2eq\r(13)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|，故四边形ABCD是矩形．能力提升一、选择题1．(2014·山东文，7)已知向量a＝(1，eq\r(3))、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)[答案]B[解析]本题考查向量的坐标运算及数量积．a·b＝3＋eq\r(3)m＝|a|·|b|·coseq\f(π,6)＝2×eq\r(9＋m2)×eq\f(\r(3),2).解得，m＝eq\r(3).2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．以上都不对[答案]B[解析]m＋kn＝(1,0)＋k(1,1)＝(1＋k，k)，∵m＋kn与m垂直，∴(1＋k)×1＋k×0＝0，得k＝－1.3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－eq\f(π,4) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)[答案]C[解析]本题考查了向量的坐标运算．∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝eq\f(3×0＋9,3\r(2)·3)＝eq\f(\r(2),2)，∴2a＋b，a－b＝eq\f(π,4).4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))[答案]D[解析]设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,2x＋4y＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(5),5),y＝\f(\r(5),5)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(5),5),y＝－\f(\r(5),5))).二、填空题5．(2014·湖北理，11)设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.[答案]±3[解析]因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.6．(2014·四川文，14)平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[答案]2[解析]本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，由题意有：eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(b·c,|b||c|)即：eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(b·c,|b|)，代入得：eq\f(m＋4＋4m＋4,\r(5))＝eq\f(4m＋16＋4m＋4,\r(20))，解得m＝2.三、解答题7．设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．[解析]a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5，|a＋tb|＝eq\r(4＋2t2＋t－32