2026年（北师大版）高中数学必修四第9讲-两角和与差的正余弦及正切公式 含解析

/两角和与差的正余弦、正切公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、两角和的余弦公式：的推导：复习：两点间的距离公式：设，推导过程：设角、角为任意角如左图在平面直角坐标系中作,则作单位圆，设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C再作由三角函数定义知：，,，，由已知：;展开并整理得:上述公式称为两角和的余弦公式记为二、两角和与差的正弦公式：sin(α+β)=cos［-(α+β)］=_______________________________________________sin(α-β)=sin［α+(-β)］=____________________________________________________两角和与差的正切公式：当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=_________________________________________________如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=tan(α-β)=公式汇编：1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；；。（2）辅助角公式，=公式的推导：令，则，于是有：其中由，和共同确定类型一：正用公式例1.已知:，求的值.举一反三：【变式1】已知，，则.【变式2】已知，则.【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.【高清课堂：三角恒等变换397881例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.例2．已知，,，求的值.举一反三：【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【变式2】函数的最大值为（）A．B．C．D．【变式3】已知【变式4】已知，，，，求的值。类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）；（4）.举一反三：【变式1】化简.【变式2】已知，那么的值为（）A．B．C．D．例4.求值：（1）；（2）举一反三：【变式】求值：（1）；（2）.类型三：变用公式例5．求值：；（2）举一反三：【变式1】求值：=．【变式2】在中，,，试判断的形状.类型四：三角函数式的化简与求值例6.化简：（1）；(2）【点评】①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）；（3）【变式2】若，且，则___________.【答案】由，，得，.例7．已知，，且，求的值.举一反三：【变式1】已知，为锐角，则的值是（）A.B.C.或D.【变式2】已知，，求。一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是()A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．15．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．26．△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，且cosB＝eq\f(5,13)，则cosC等于()A．－eq\f(33,65) B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)二、填空题7．若cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，则cos(α＋eq\f(π,3))＝________.8．已知cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，则cos(x－y)＝________.三、解答题9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.求证：cos(α－γ)＝eq\f(1,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．若eq\r(3)sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是()．A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6C．2<m<6 D.2≤m≤42.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)3．(2012·齐齐哈尔高一检测)若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)4．cos15°＋sin15°＝________.5．(2012·成都高一检测)若cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.6．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.7．已知：sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，0<α<eq\f(π,2)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，求cosβ的值．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)8．(2012·蚌埠高一检测)若eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值为()．A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,8)，则cosα＋eq\r(3)sinα的值为________．10．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)，求cos(α－β)．能力提升一、选择题1.已知，，则（）Α.B.C.D.2.函数的最小正周期是（）Α.B.C.D.3.在△ΑBC中，，则△ABC为（）Α.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定4.设，，,则大小关系（）Α.B.C.D.5.函数是（）Α.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数6.已知，则的值为（）Α.B.C.D.二、填空题求值：_____________.2.若则.3.已知那么的值为,的值为.4.的三个内角为、、，当为时，取得最大值，且这个最大值为.三、解答题①已知求的值.②若求的取值范围.2.求值：3.已知函数①求取最大值时相应的的集合；②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.两角和与差的正余弦、正切公式及二倍角公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.一、两角和的余弦公式：的推导：复习：两点间的距离公式：设，推导过程：设角、角为任意角如左图在平面直角坐标系中作,则作单位圆，设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C再作由三角函数定义知：，,，，由已知：;展开并整理得:上述公式称为两角和的余弦公式记为解：那么，所以cos（α－β）=cos==二、两角和与差的正弦公式：sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.两角和与差的正切公式：当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=tan(α-β)=公式汇编：1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；；。（2）辅助角公式，=公式的推导：令，则，于是有：其中由，和共同确定类型一：正用公式例1.已知:，求的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.练习：【变式1】已知，，则.【答案】.【变式2】已知，则.【答案】【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.【答案】【解析】由韦达定理，得，，∴.【高清课堂：三角恒等变换397881例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下Ⅱ.证明:例2．已知，,，求的值.【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式.【解析】,，，，【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,,等.2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.练习：【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角，得，∵，∴.【变式2】函数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C；【解析】∵，.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知【答案】【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）∵，∴∴∴＝【变式4】已知，，，，求的值。【答案】【解析】∵，∴，∵，∴。∴类型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【点评】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.练习：【变式1】化简.【答案】【变式2】已知，那么的值为（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】∵，∴.例4.求值：（1）；（2）【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式=【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。练习：【变式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式===（2）类型三：变用公式例5．求值：；（2）【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系.【解析】（1），原式.（2），，.【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.练习：【变式1】求值：=．【答案】1【变式2】在中，,，试判断的形状.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,,即，，，，又,故,故是顶角为的等腰三角形.类型四：三角函数式的化简与求值例6.化简：（1）；(2）【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，，所以要用二倍角公式降次.【解析】（1）原式=（2）原式=【点评】①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.练习：【变式1】化简：（1）；（2）；（3）【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式==.【变式2】若，且，则___________.【答案】由，，得，.例7．已知，，且，求的值.【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.【解析】，而，故，又，，故，从而，而，，而，，又，【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意.练习：【变式1】已知，为锐角，则的值是（）A.B.C.或D.【答案】A【变式2】已知，，求。【解析】∵，，解得,，∴.一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)[答案]A[解析]cos75°cos15°－sin435°sin15°＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°＝cos75cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形[答案]D[解析]∵sinAsinB<cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0，∵A、B、C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是()A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y[答案]B[解析]原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．1[答案]D[解析]sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)＝sin15°sin15°＋cos15°cos15°＝cos(15°－15°)＝cos0°＝1.5．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．2[答案]B[解析]原式＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)－\f(1,2)sin\f(π,12)))＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cos\f(π,12)－sin\f(π,6)·sin\f(π,12)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2×eq\f(\r(2),2)＝－eq\r(2).6．△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，且cosB＝eq\f(5,13)，则cosC等于()A．－eq\f(33,65) B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)[答案]B[解析]由cosA>0，cosB>0知A、B都是锐角，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×\f(5,13)－\f(4,5)×\f(12,13)))＝eq\f(33,65).二、填空题7．若cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，则cos(α＋eq\f(π,3))＝________.[答案]eq\f(1－6\r(2),10)[解析]∵cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＝eq\f(2\r(6),5).∴cos(α＋eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)－sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)－eq\f(2\r(6),5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1－6\r(2),10).8．已知cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，则cos(x－y)＝________.[答案]eq\f(263,288)[解析]∵cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，∴cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝eq\f(1,16)，sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝eq\f(1,9)，两式相加得2－2cos(x－y)＝eq\f(25,144)，∴cos(x－y)＝eq\f(263,288).三、解答题9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.求证：cos(α－γ)＝eq\f(1,2).[解析]sinα＋sinβ＝sinγ⇒sinα－sinγ＝－sinβ①cosα＋cosβ＝cosγ⇒cosα－cosγ＝－cosβ②①2＋②2得2－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝1，即得cos(α－γ)＝eq\f(1,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．若eq\r(3)sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是()．A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6C．2<m<6 D.2≤m≤4解析∵eq\r(3)sinx＋cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosxcos\f(π,3)＋sinxsin\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝4－m，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(4－m,2)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4－m,2)))≤1，解得2≤m≤6.答案A2.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,cos20°)＝eq\f(2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°＋sin20°－sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).答案C3．(2012·齐齐哈尔高一检测)若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)解析∵0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，得sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)，由cos2α＝eq\f(\r(10),10)，得sin2α＝eq\f(3\r(10),10).∴cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2α－α－β))＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋3eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2).又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).答案C4．cos15°＋sin15°＝________.解析cos15°＋sin15°＝eq\r(2)(cos15°cos45°＋sin15°sin45°)＝eq\r(2)cos(45°－15°)＝eq\r(2)cos30°＝eq\f(\r(6),2).答案eq\f(\r(6),2)5．(2012·成都高一检测)若cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.解析∵cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinθ＝－eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝cosθcoseq\f(π,4)＋sinθsineq\f(π,4)＝－eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(17\r(2),26).答案－eq\f(17\r(2),26)6．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，又sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，∴cos(α＋β)＝eq\r(1－sin2α＋β)＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝－eq\f(5,13).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65).答案－eq\f(56,65)7．已知：sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，0<α<eq\f(π,2)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，求cosβ的值．解因为sinα＝eq\f(3,5)，0<α<eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).因为cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，所以sin(α＋β)＝－eq\r(1－cos2α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(4,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(3,5)＝－1.eq\a\vs4\al\co1(能力提升)8．(2012·蚌埠高一检测)若eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值为()．A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cos