2026年（北师大版）高中数学必修五第1讲-数列的概念 含解析

/数列的概念____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列的概念与表示方法，通项公式的求解，数列的单调性、最值求解教学难点：数列的单调性及最值的求解，通项公式的判定数列：按照一定的次序排列起来的数；项：数列中的每一个数，首项：排在_____的数；一般形式写成简称为这里是正整数。2.数列的分类（1）按项的个数分类 有穷数列：___________的数列无穷数列：___________的数列（2）递增数列：从第2项起，每一项大于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项小于它的前一项的数列 常数列：各项都相等的数列 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3.数列的表示方法（1）__________（2）列表法（3）图像法4.数列中项的求解与判断数列的通项公式实质是数列的项与其项数之间的一种函数关系，只不过定义域是正整数集，因此可用函数的方法来研究数列的有关问题。5.数列的单调性数列的单调性与函数的单调性是类似的，若数列是递增数列，则任意的都有________________，此时数列的图像呈上升趋势；若数列是递减数列，则对任意都有_____________，此时数列的图像呈下降趋势。6.数列中的最大（小）项问题求数列的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值，另一种方法是利用数列的单调性。类型一：数列的通项公式例1.（1）1,3,7,15,31，…（2）5,55,555,5555，…练习1.练习2.例2.下列叙述正确的是（）数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列同一个数在数列中可能重复出现数列的通项公式是定义域为正整数集的函数数列的通项公式是唯一的练习3.下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③ D．①②③④练习4.下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中错误的是()A．①②B．①②③C．③=4\*GB3④ D．①②③④类型二：数列的项的判断及求解例3.（2015广东湛江检测）数列中的项不能是（）A.24B.35C.42D.63练习5.数列中的项不能是（）A.24B.36C.42D.61练习6.已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项()A．18B．21C．25答案D．30例4.（2015山东威海月考）在数列中，______练习7.在数列中，______练习8.在数列中，______类型三：数列的单调性、最值性例5.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n,n2＋156)(n∈N＋)，则数列的最大项是()A．第12项B．第13项C．第12项或第13项 D．不存在练习9.数列中，则的最大值为______练习10.已知数列的通项公式则的最小值为_______例6.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列 D．摆动数列练习11.已知数列的通项公式为，则这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列1.数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是()A．an＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n]B．an＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n＋1]C．an＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n＋1]D．an＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n]2.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋eq\f(1,an－2)(n≥3)，则a5＝()A.eq\f(55,12)B.eq\f(13,3)C．4 D．53.已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝()A．xB．yC．y－xD．－x4.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}的第2项C．只是数列{an}的第6项D．是数列{an}的第2项或第6项5.已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)2.数列1,3,7,15，…的通项公式an＝()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n－13.已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝()A．－3B．－4C．－5D．24.正项数列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，则a4＝()A.eq\f(16,5)B.eq\f(2,19)C.eq\f(8,5)D.eq\f(8,7)5.数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于()A.eq\f(25,9)B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16)D.eq\f(31,15)6.已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝________.7.已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝eq\f(an＋1,an)构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为________________．8.已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,nn＋2)(n∈N*)，则eq\f(1,120)是这个数列的第________项．9.数列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一个通项公式为________．10.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？能力提升11.已知数列{an}中，a1＝1，eq\f(an,an＋1)＝2，则此数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列 D．常数列12.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．13.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－114.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，则a20＝()A．0B．－eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)15.已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)，则a6＝________.16.设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.17.已知函数f(x)＝eq\f(1,xx＋1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？18.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．19.已知数列1,2，eq\f(7,3)，eq\f(5,2)，eq\f(13,5)，….(1)写出这个数列的一个通项公式an；(2)判断数列{an}的增减性．20.(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝eq\f(an,an＋1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．21.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是()A．40个B．45个C．50个 D．55个22.对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()数列的概念____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列的概念与表示方法，通项公式的求解，数列的单调性、最值求解教学难点：数列的单调性及最值的求解，通项公式的判定数列：按照一定的次序排列起来的数；项：数列中的每一个数，首项：排在第一位的数；一般形式写成简称为这里是正整数。2.数列的分类（1）按项的个数分类 有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列（2）递增数列：从第2项起，每一项大于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项小于它的前一项的数列 常数列：各项都相等的数列 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3.数列的表示方法（1）通项公式法（2）列表法（3）图像法4.数列中项的求解与判断数列的通项公式实质是数列的项与其项数之间的一种函数关系，只不过定义域是正整数集，因此可用函数的方法来研究数列的有关问题。5.数列的单调性数列的单调性与函数的单调性是类似的，若数列是递增数列，则任意的都有，此时数列的图像呈上升趋势；若数列是递减数列，则对任意都有，此时数列的图像呈下降趋势。6.数列中的最大（小）项问题求数列的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值，另一种方法是利用数列的单调性。类型一：数列的通项公式例1.（1）1,3,7,15,31，…（2）5,55,555,5555，…解析：（1）观察发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，…，其通项公式为，故原数列的通项公式为（2）各项乘以变成9,99,999,9999，…，各项加上1，又变成10,100,1000,10000，…，这一数列的通项公式为，由此原数列的通项公式为答案：（1）（2）练习1.答案：练习2.答案：例2.下列叙述正确的是（）数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列同一个数在数列中可能重复出现数列的通项公式是定义域为正整数集的函数数列的通项公式是唯一的解析：根据数列的定义，只要次序不同则两数列不同故A错；数列的通项公式是定义域在正整数集或它的有限子集，因此C错；数列-1,1，-1,1，…的通项公式可以写成也可以写成，还可以写成分段函数的形式，因此D错；故选B答案：B练习3.下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③ D．①②③④答案：A练习4.下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中错误的是()A．①②B．①②③C．③=4\*GB3④ D．①②③④答案：C类型二：数列的项的判断及求解例3.（2015广东湛江检测）数列中的项不能是（）A.24B.35C.42D.63解析：因为，所以24是该数列中第4项；同理35是该数列的第5项；63是该数列中的第7项，故答案为C答案：C练习5.数列中的项不能是（）A.24B.36C.42D.61答案：A练习6.已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项()A．18B．21C．25答案D．30答案：D例4.（2015山东威海月考）在数列中，______解析：答案：练习7.在数列中，______答案：练习8.在数列中，______答案：4类型三：数列的单调性、最值性例5.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n,n2＋156)(n∈N＋)，则数列的最大项是()A．第12项B．第13项C．第12项或第13项 D．不存在解析：an＝eq\f(1,n＋\f(156,n))，n＋eq\f(156,n)≥2eq\r(156)，但由于n∈N＋取不到等号，而∴第12项和第13项都是最大项．答案：C练习9.数列中，则的最大值为______答案：45练习10.已知数列的通项公式则的最小值为_______答案：-11例6.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列 D．摆动数列解析：an＝eq\f(n－1,n＋1)＝1－eq\f(2,n＋1)，随着n的增大而增大．答案：A练习11.已知数列的通项公式为，则这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案：A1.数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是()A．an＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n]B．an＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n＋1]C．an＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n＋1]D．an＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n]答案：B2.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋eq\f(1,an－2)(n≥3)，则a5＝()A.eq\f(55,12)B.eq\f(13,3)C．4 D．5答案：A3.已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝()A．xB．yC．y－xD．－x答案：C4.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}的第2项C．只是数列{an}的第6项D．是数列{an}的第2项或第6项答案：D5.已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案：由{an}为递增数列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.只需λ>f(n)max＝－3即可．λ>－3__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)答案：当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.2.数列1,3,7,15，…的通项公式an＝()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n－1答案：∵a1＝1，排除A，B；又a2＝3，排除D，故选C.3.已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝()A．－3B．－4C．－5D．2答案：由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.故选A4.正项数列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，则a4＝()A.eq\f(16,5)B.eq\f(2,19)C.eq\f(8,5)D.eq\f(8,7)答案：B5.数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于()A.eq\f(25,9)B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16)D.eq\f(31,15)答案：C6.已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝________.答案：1207.已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝eq\f(an＋1,an)构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为________________．答案：eq\f(5,2)，eq\f(8,5)，eq\f(11,8)，eq\f(14,11)，eq\f(17,14)8.已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,nn＋2)(n∈N*)，则eq\f(1,120)是这个数列的第________项．答案：109.数列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一个通项公式为________．答案：an＝(－1)neq\f(n·n＋2,2n＋1)10.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？答案：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴从第7项起各项都是正数.能力提升11.已知数列{an}中，a1＝1，eq\f(an,an＋1)＝2，则此数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列 D．常数列答案：B12.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．答案：n2－n＋113.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1答案：A14.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，则a20＝()A．0B．－eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)答案：B15.已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)，则a6＝________.答案：－eq\f(14,3)16.设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.答案：eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)17.已知函数f(x)＝eq\f(1,xx＋1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？答案：∵an＝eq\f(1,nn＋1)，则an＋1＝eq\f(1,n＋1n＋2).对任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，∴eq\f(1,n＋1n＋2)<eq\f(1,nn＋1)，于是an＋1－an＝eq\f(1,n＋1n＋2)－eq\f(1,nn＋1)<