2026年（北师大版）高中数学必修五第6讲-数列的前n项和求解方法 含解析

/数列的前n项和求解方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。教学难点：了解数列求和的方法的应用。一、数列求和基本方法1．拆项求和法：将一个数列拆成__________（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的________的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的_________拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项_______，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法. 5．反序求和法：将一个数列的_______第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.二．常用结论（1）___________________________________（2）___________________________（3）________________________________（4）____________________________（5）（6）类型一：用公式法、倒序相加法求数列的和例1.求和：.练习1.求和.例2.数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。练习2.设，定义，其中n∈N*.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，类型二：错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法例3.已知数列的通项公式，求它的前n项和.练习3.已知数列的通项公式求它的前n项和.例4.已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证练习4.设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。1.求2.求数列，，，…，的前n项的和.3.求和.4.求和.5.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.6.已知数列{}的通项公式是项和为7.已知{}的前n项和的值为__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.求和：2.已知数列3.求和4.若5.设函数求和：6.设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。7.已知数列的前项和为，点在直线上，数列满足且其前项和为.(1)求数列,的通项公式；(2)设，数列的前n项的和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值8.数列{}的前n项和为，且满足 （I）求与的关系式，并求{}的通项公式； （II）求和9.将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求数列{}的通项公式； （II）求数列{Tn}的通项公式； （III）设数列{Tn}的前n项和为Sn，求S8的值.能力提升10.已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为11.数列{an}中，a1=1，且an+1=Sn（n≥1，n∈N*），数列{bn}是等差数列，其公差d>0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。13.设数列{}中，中5的倍数的项依次记为， （I）求的值. （II）用k表示，并说明理由. （III）求和：14.已知数列{}满足：的前n项和.15.已知数列{}的各项分别为的前n项和.数列的前n项和求解方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。教学难点：了解数列求和的方法的应用。一、数列求和基本方法1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法. 5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.二．常用结论（1）1+2+3+...+n=（2）1+3+5+...+(2n-1)=（3）（4）（5）（6）类型一：用公式法、倒序相加法求数列的和例1.求和：.解析：法一：①则②∴①+②有：∴法二：.答案：见解析练习1.求和.答案：∴∴∴例2.数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。解析：由得：，即，所以，对成立。由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。（Ⅱ）。而，，答案：见解析练习2.设，定义，其中n∈N*.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，答案：（1）＝2，，，∴∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得：类型二：错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法例3.已知数列的通项公式，求它的前n项和.解析： ==答案：见解析练习3.已知数列的通项公式求它的前n项和.答案：例4.已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证解析：I）①，而②，①—②得的等差数列，（II）答案：见解析练习4.设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。答案：（1）（2）满足要求的最小整数m为10。1.求答案：2.求数列，，，…，的前n项的和.答案：.3.求和.答案：(1+2+3+…+n)+=4.求和.答案：当x=±1时，Sn=4n；当x≠±1时，==5.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.答案：（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（Ⅱ）===,所以=+6.已知数列{}的通项公式是项和为答案：7.已知{}的前n项和的值为答案：67__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.求和：答案：2.已知数列答案：为等比数列，∴应运用错位求和方法：3.求和答案：而运用反序求和方法是比较好的想法，①，②，①+②得4.若答案：5.设函数求和：答案：①当n为偶数时=②当n为奇数时6.设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。答案：（Ⅰ）由得即可得因为，所以解得，因而（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和前两式相减，得即7.已知数列的前项和为，点在直线上，数列满足且其前项和为.(1)求数列,的通项公式；(2)设，数列的前n项的和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值答案：（1），，（2）故k的最大正整数值为18。8.数列{}的前n项和为，且满足 （I）求与的关系式，并求{}的通项公式； （II）求和答案：（I）（II）9.将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求数列{}的通项公式； （II）求数列{Tn}的通项公式； （III）设数列{Tn}的前n项和为Sn，求S8的值.答案：（I）设{}的公差为d，则①，②，解①、②得（II）当时，在前n－1组中共有项数为∴第n组中的（III）能力提升10.已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为答案：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得，故是以为公比的等比数列；，11.数列{an}中，a1=1，且an+1=Sn（n≥1，n∈N*），数列{bn}是等差数列，其公差d>0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．答案：I）由已知有，即，w_ww.k#s5_u.co*m∴{Sn}是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列．∴Sn=．由得∵b3，b7+2，3b9成等比数列，∴(b7+2)2=b3·3b9，即(1+6d+2)2=(1+2d)·3(1+8d)，解得d=1或d=(舍)，∴．（II）Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2×20+3×21+…+n×，设T=2×20+3×21+…+n×，∴2T=2×21+3×22+…+n×，相减得-T=2+21+22+…+-n·，即T=(n-1)·，∴Tn=1+(n-1)·(n∈N*)．12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。答案：=1\*ROMANI）取，得=1\*GB3①取，得=2\*GB3②由=2\*GB3②=1\*GB3①，得=3\*GB3③（1）若，由=1\*GB3①知（2）若，由=3\*GB3③知=4\*GB3④由=1\*GB3①、=4\*GB3④解得，；或综上可得，；或；或（