2026年（北师大版）高中数学必修五第10讲-不等关系与不等式 含解析

/不等关系与不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用教学难点：理解不等式性质的证明范围不等式用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有不等号的式子，叫做不等式。实数的大小关系实数集与数轴上的点集__________对应；数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；对于任意两个实数和，在三种关系中有且仅有一种关系成立；在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较不等式的性质对称性：如果，那么__________；如果，那么；传递性：如果且，则__________；加法法则：如果，则；乘法法则：如果，则______________；如果，则_____________类型一：不等式表示不等关系及实数的大小比较例1.用不等号表示下列关系（1）与的和是非负数（2）实数不小于练习1.（1）实数小于5，但不小于-2（2）与的差的绝对值大于2，且小于或等于6练习2.已知分别对应数轴上的两点，且在原点右侧，在原点左侧，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.例2.比较与的大小练习3.比较与（为不相等的正数）的大小练习4.已知，则_________（填）类型二：不等式性质的证明应用例3.已知求证练习5.已知求证练习6.已知求证类型三：利用不等式的性质求取值范围例4.已知求的范围；求的范围。练习7.已知满足求的范围求的范围练习8.若满足则的取值范围____________练习9.设变量满足则的取值范围_____________练习10.已知则的取值范围是___________1.实数m不超过eq\r(2)，是指()A．m>eq\r(2)B．m≥eq\r(2)C．m<eq\r(2)D．m≤eq\r(2)2.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关3.已知a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，那么下列各式正确的是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b4.已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab＜0，bc－ad＞0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则ab＞0.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．35.若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B．2a>2bC．|a|>|b|D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b6.设a＋b<0，且a>0，则()A．a2<－ab<b2B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－abD．ab<b2<a27.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是()A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.已知a<b<c，且a＋b＋c＝0，则()A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0C．b2－4ac<0 D．b2－4ac的正负不确定2.已知P＝eq\f(1,a2＋a＋1)，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为()A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．无法确定3.已知|a|<1，则eq\f(1,a＋1)与1－a的大小关系为()A．eq\f(1,a＋1)<1－a B．eq\f(1,a＋1)>1－aC．eq\f(1,a＋1)≥1－a D．eq\f(1,a＋1)≤1－a4.若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)5.已知三个不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>aD．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．6.实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d<b＋C．则a、b的大小关系为________．7.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________．n8.若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________．9.某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．10.(1)已知c＞a＞b＞0.求证：eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).能力提升11.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？()A．5种B．6种C．7种D．8种12.如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是()A．a＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4b,a＋4b＋4＝200)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4b,4ab＝200))13.已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()A．a2<b2B．ab2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)14.若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是()A．(－π，π)B．(0，π)C．(－π，0)D．{0}15.已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能16.若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个17.若a>0，b>0则eq\r(a)＋eq\r(b)________eq\r(a＋b)(填上适当的等号或不等号)．18.设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小顺序是________________．19.若a>b，则a3与b3的大小关系是________．20.若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．21.已知a、b为正实数，试比较eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))与eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．22.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．23.如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及eq\f(x,y)的取值范围．24.已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．25.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．不等关系与不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用教学难点：理解不等式性质的证明范围不等式用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有不等号的式子，叫做不等式。实数的大小关系实数集与数轴上的点集一一对应；数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；对于任意两个实数和，在三种关系中有且仅有一种关系成立；在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较不等式的性质对称性：如果，那么；如果，那么；传递性：如果且，则；加法法则：如果，则；乘法法则：如果，则；如果，则类型一：不等式表示不等关系及实数的大小比较例1.用不等号表示下列关系（1）与的和是非负数（2）实数不小于解析：（1）（2）答案：（1）（2）练习1.（1）实数小于5，但不小于-2（2）与的差的绝对值大于2，且小于或等于6答案：（1）（2）练习2.已知分别对应数轴上的两点，且在原点右侧，在原点左侧，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.答案：D例2.比较与的大小解析：当或即或时，，此时；当时，，此时答案：或时，；当时，练习3.比较与（为不相等的正数）的大小答案：练习4.已知，则_________（填）答案：类型二：不等式性质的证明应用例3.已知求证解析：又又即答案：见解析练习5.已知求证答案：练习6.已知求证答案：类型三：利用不等式的性质求取值范围例4.已知求的范围；求的范围。解析：（1）设答案：（1）（2）练习7.已知满足求的范围求的范围答案：（1）（2）练习8.若满足则的取值范围____________答案：练习9.设变量满足则的取值范围_____________答案：练习10.已知则的取值范围是___________答案：1.实数m不超过eq\r(2)，是指()A．m>eq\r(2)B．m≥eq\r(2)C．m<eq\r(2)D．m≤eq\r(2)答案：D2.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关答案：A3.已知a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，那么下列各式正确的是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b答案：A4.已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab＜0，bc－ad＞0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则ab＞0.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：C5.若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B．2a>2bC．|a|>|b|D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b答案：B6.设a＋b<0，且a>0，则()A．a2<－ab<b2B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－abD．ab<b2<a2答案：A7.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是()A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.已知a<b<c，且a＋b＋c＝0，则()A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0C．b2－4ac<0 D．b2－4ac的正负不确定答案：A2.已知P＝eq\f(1,a2＋a＋1)，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为()A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．无法确定答案：C3.已知|a|<1，则eq\f(1,a＋1)与1－a的大小关系为()A．eq\f(1,a＋1)<1－a B．eq\f(1,a＋1)>1－aC．eq\f(1,a＋1)≥1－a D．eq\f(1,a＋1)≤1－a答案：C4.若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)答案：C5.已知三个不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>aD．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．答案：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,②))⇒③，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,③))⇒②，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(②,③))⇒①中任选两个即可．6.实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d<b＋C．则a、b的大小关系为________．答案：a<b7.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________．答案：m≥n8.若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________．答案：a<0且a≠－19.某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．答案：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,10×6x＋6×8y≥360,0≤x≤4,0≤y≤7,x∈N,y∈N))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,5x＋4y≥30,0≤x≤4,0≤y≤7,x∈N,y∈N))10.(1)已知c＞a＞b＞0.求证：eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).答案：(1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a＞b＞0⇒\f(1,a)＜\f(1,b),c＞0))⇒eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒\f(c－a,a)＜\f(c－b,b),c－a＞0,c－b＞0))⇒eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)证法一：eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(mb－a,bb＋m)，∵0＜a＜b，m＞0，∴eq\f(mb－a,bb＋m)＞0，∴eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).证法二：eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋b＋m－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立.能力提升11.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？()A．5种B．6种C．7种D．8种答案：C12.如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是()A．a＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4b,a＋4b＋4＝200)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4b,4ab＝200))答案：C13.已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()A．a2<b2B．ab2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)答案：C14.若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是()A．(－π，π)B．(0，π)C．(－π，0)D．{0}答案：C15.已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能答案：B16.若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B17.若a>0，b>0则eq\r(a)＋eq\r(b)________eq\r(a＋b)(填上适当的等号或不等号)．答案：>18.设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小顺序是________________．答案：p＜r＜s＜q19.若a>b，则a3与b3的大小关系是________．答案：a3>b320.若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．答案：x＜y21.已知a、b为正实数，试比较eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))与eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．答案：解法一：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab)).∵a、b为正实数，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，当且仅当a＝b时取等号．解法二：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，∴(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＋2eq\r(ab)－(a＋b＋2eq\r(ab))＝eq\f(a3＋b3－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba2－ab＋b2－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba－b2,ab).∵a、b为正实数，∴eq\f(a＋ba－b2,ab)≥0，∴(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2≥(eq\r(a)＋eq\r(b))2.又∵eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，当且仅当a＝b时取等号22.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．答案：f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx(3x)－logx4＝logxeq\f(3x,4).(1)当x>eq\f(4,3)时，l