2026年（北师大版）高中数学必修五第11讲-一元二次不等式及其解法 含解析

/一元二次不等式及其解法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点：理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。一元二次不等式一元二次不等式的定义：一般地，含有____个未知数，且未知数的最高次数为_____的整式不等式，叫做一元二次等式；一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；同解不等式：如果两个不等式的___________，那么这两个不等式叫做同解不等式。一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程设它的解按可分为三种情况，列表如下：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根________________________________一元二次不等式的解法步骤对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；计算相应方程的根的判别式；当时，求出相应的一元二次方程的两根；根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。（一看，二算，三写）含参数的一元二次不等式的解法二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；解得过程中，若表达式含有参数且参数的取值影响的符号，这时根据的符号确定的需要，对参数进行讨论；方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。不等式的恒成立问题结合二次函数的图像和性质用判别式法，当的取值为全体实数时，一般用此法；从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。分式不等式的解法将分式不等式转化为整式不等式求解，若能直接判断出分子或分母的符号，则可求解，否则应化为以下形式：（1）（2）（3）（4）类型一：一元二次不等式的解法；分式不等式的解法；例1.解下列不等式：练习1.解下列不等式：练习2.解下列不等式：例2.不等式的解集是__________练习3.不等式的解集是________________练习4.使不等式成立的的取值范围是_______________类型二：含参数的一元二次不等式的解法例3.解关于的不等式练习5.已知，则不等式的解集为（）A.B.C.D.练习6.若不等式的解集为，则_____________类型三：有关不等式恒成立问题例4.关于不等式对恒成立，求实数的取值范围练习7.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.练习8.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.∞C.D.练习9.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________练习10.函数的定义域为，试求的取值范围___________1.若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B等于()A．{x|0<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|1<x<3} D．∅2.不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是()A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．(－1,3)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞44.若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋eq\f(1,t))x＋1＜0的解集是()A．{x|eq\f(1,t)＜x＜t}B．{x|x＞eq\f(1,t)或x＜t}C．{x|x＜eq\f(1,t)或x＞t}D．{x|t＜x＜eq\f(1,t)}5．不等式x2＋2x－3≥0的解集为()A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x≤－3或x≥1}D．{x|－3≤x≤1}6.不等式x2－4x－5>0的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}7.不等式－x2≥x－2的解集为()A．{x|x≤－2或x≥1}B．{x|－2<x<1}C．{x|－2≤x≤1}D．∅__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1<0,x2－3x<0))的解集为()A．{x|－1<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|0<x<1}D．{x|－1<x<3}2.如果不等式eq\f(2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3)<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是()A．(1,3)B．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，＋∞)3.下列选项中，使不等式x＜eq\f(1,x)＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)4.若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是()A．m＜－2或m＞2B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜35.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－2,2)D．(－2,2]6.不等式eq\f(2x－5,3x－1)＜1的解集是________．7.若关于x的不等式－eq\f(1,2)x2＋2x>mx的解集是{x|0<x<2}，则实数m的值是________．8.不等式x2＋x－2<0的解集为________．9.不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．10.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．11.解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．能力提升12.如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有()A．f(5)<f(2)<f(－1)B．f(2)<f(5)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(5)D．f(－1)<f(2)<f(5)13.不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是()A．2,12B．2，－2C．2，－12D．－2，－1214.函数y＝eq\r(log\f(1,2)x2－1)的定义域是()A．[－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2)]B．[－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)15.已知关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，则b2＋c2＝()A．5B．4C．1D．216.不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为()A．(－∞，－2a)∪(3a，＋∞)B．(－2a,3a)C．(－∞，3a)∪(2a，＋∞) D．(3a，－2a)17.a＞0，b＞0.不等式－b＜eq\f(1,x)＜a的解集为()A．{x|x＜－eq\f(1,b)或x＞eq\f(1,a)}B．{x|－eq\f(1,a)＜x＜eq\f(1,b)}C．{x|x＜－eq\f(1,a)或x＞eq\f(1,b)}D．{x|－eq\f(1,b)＜x＜0或0＜x＜eq\f(1,a)}18．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0,－x＋2，x>0))，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]19.已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__________．20.已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且BA，则a的取值范围是()A．a≤1B．1＜a≤2C．a＞2D．a≤221.对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N＋)时，规定[x]＝n，则不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．22.解下列关于x的不等式：(1)(5－x)(x＋1)≥0；(2)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3)－eq\f(1,2)x2＋3x－5>0；(4)－2x2＋3x－2<0.23.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B．(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．24．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α<x<β}，其中β>α>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．25.解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.26.解关于x的不等式eq\f(mx2,mx－1)－x>0.27.当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?一元二次不等式及其解法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点：理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。一元二次不等式一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程设它的解按可分为三种情况，列表如下：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R一元二次不等式的解法步骤对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；计算相应方程的根的判别式；当时，求出相应的一元二次方程的两根；根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。（一看，二算，三写）含参数的一元二次不等式的解法二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；解得过程中，若表达式含有参数且参数的取值影响的符号，这时根据的符号确定的需要，对参数进行讨论；方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。不等式的恒成立问题结合二次函数的图像和性质用判别式法，当的取值为全体实数时，一般用此法；从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。分式不等式的解法将分式不等式转化为整式不等式求解，若能直接判断出分子或分母的符号，则可求解，否则应化为以下形式：（1）（2）（3）（4）类型一：一元二次不等式的解法；分式不等式的解法；例1.解下列不等式：解析：的根是所以不等式的解集为或答案：或练习1.解下列不等式：答案：练习2.解下列不等式：答案：例2.不等式的解集是__________解析：由，移项得通分得即该不等式等价于即方程的两根为故原不等式的解集为或答案：或练习3.不等式的解集是________________答案：∞练习4.使不等式成立的的取值范围是_______________答案：∞类型二：含参数的一元二次不等式的解法例3.解关于的不等式解析：若，原不等式若原不等式或若原不等式当，原不等式当原不等式当原不等式综上所述，当解集为或当，解集为当解集为当，解集为当解集为答案：当解集为或当，解集为当解集为当，解集为当解集为练习5.已知，则不等式的解集为（）A.B.C.D.答案：A练习6.若不等式的解集为，则_____________答案：2类型三：有关不等式恒成立问题例4.关于不等式对恒成立，求实数的取值范围解析：原不等式等价于对恒成立当时，不等式为显然成立当时，由不等式恒成立得解得或综上，的取值范围为答案：练习7.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B练习8.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.∞C.D.答案：A练习9.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________答案：练习10.函数的定义域为，试求的取值范围___________答案：1.若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B等于()A．{x|0<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|1<x<3} D．∅答案：A2.不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是()A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．(－1,3)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案：A3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4答案：A4.若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋eq\f(1,t))x＋1＜0的解集是()A．{x|eq\f(1,t)＜x＜t}B．{x|x＞eq\f(1,t)或x＜t}C．{x|x＜eq\f(1,t)或x＞t}D．{x|t＜x＜eq\f(1,t)}答案：D5．不等式x2＋2x－3≥0的解集为()A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x≤－3或x≥1}D．{x|－3≤x≤1}答案：C6.不等式x2－4x－5>0的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}答案：B7.不等式－x2≥x－2的解集为()A．{x|x≤－2或x≥1}B．{x|－2<x<1}C．{x|－2≤x≤1}D．∅答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1<0,x2－3x<0))的解集为()A．{x|－1<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|0<x<1}D．{x|－1<x<3}答案：C2.如果不等式eq\f(2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3)<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是()A．(1,3)B．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案：A3.下列选项中，使不等式x＜eq\f(1,x)＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案：A4.若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是()A．m＜－2或m＞2B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3答案：A5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－2,2)D．(－2,2]答案：D6.不等式eq\f(2x－5,3x－1)＜1的解集是________．答案：{x＜－4或x＞eq\f(1,3)}7.若关于x的不等式－eq\f(1,2)x2＋2x>mx的解集是{x|0<x<2}，则实数m的值是________．答案：18.不等式x2＋x－2<0的解集为________．答案：{x|－2<x<1}9.不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．答案：{x|－2＜x≤－1或3≤x＜5}10.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．答案：ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a),－3×4＝\f(c,a)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a,c＝－12a)).∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，∴－3<x<5，∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}.11.解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．答案：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.∴当a<0时，a<a2，x<a或x>a2；当a＝0时，a2＝a，x≠0；当0<a<1时，a2<a，x<a2或x>a；当a＝1时，a2＝a，x≠1；当a>1时，a<a2，x<a或x>a2.综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.能力提升12.如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有()A．f(5)<f(2)<f(－1)B．f(2)<f(5)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(5)D．f(－1)<f(2)<f(5)答案：C13.不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是()A．2,12B．2，－2C．2，－12D．－2，－12答案：D14.函数y＝eq\r(log\f(1,2)x2－1)的定义域是()A．[－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2)]B．[－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)答案：A15.已知关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，则b2＋c2＝()A．5B．4C．1D．2答案：A16.不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为()A．(－∞，－2a)∪(3a，＋∞)B．(－2a,3a)C．(－∞，3a)∪(2a，＋∞) D．(3a，－2a)答案：D17.a＞0，b＞0.不等式－b＜eq\f(1,x)＜a的解集为()A．{x|x＜－eq\f(1,b)或x＞eq\f(1,a)}B．{x|－eq\f(1,a)＜x＜eq\f(1,b)}C．{x|x＜－eq\f(1,a)或x＞eq\f(1,b)}D．{x|－eq\f(1,b)＜x＜0或0＜x＜eq\f(1,a)}答案：A18．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0,－x＋2，x>0))，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]答案：A19.已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__________．答案：1≤m<1920.已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且BA，则a的取值范围是()A．a≤1B．1＜a≤2C．a＞2D．a≤2答案：A21.对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N＋)时，规定[x]＝n，则不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．答案：{x|2≤x<8}22.解下列关于x的不等式：(1)(5－x)(x＋1)≥0；(2)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3)－eq\f(1,2)x2＋3x－5>0；(4)－2x2＋3x－2<0.答案：(1)原不等式化为(x－5)(x＋1)≤0，∴－1≤x≤5.∴故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(2)原不等式化为4x2－18x＋eq\f(81,4)≤0，即(2x－eq\f(9,2))2≤0，∴x＝eq\f(9,4).故所求不等式的解集为{x|x＝eq\f(9,4)}．(3)原不等式化为x2－6x＋10<0，即(x－3)2＋1<0，∴x∈∅.故所求不等式的解集为∅.(4)原不等式化为2x2－3x＋2>0，即2(x－eq\f(3,4))2＋eq\f(7,8)>0∴x∈R.故所求不等式的解集为R.23.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B．(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．答案：(1)由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝(－1,3)．由x2＋x－6<0，得－3<x<2，∴B＝(－3,2)，∴A∩B＝(－1,2)．(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0,4＋2a＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2)).∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.24．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α<x<β}，其中β>α>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．答案：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α<x<β}，∴α、β是方程ax2