2026年（北师大版）高中数学选修2第5讲-抛物线的标准方程与性质 含解析

/抛物线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点离心率准线方程范围开口方向类型一抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2eq\r(17) B.eq\r(17) C．2eq\r(15) D.eq\r(15)练习1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()eq\f(\r(17),2) B．3 C.eq\r(5) D.eq\f(9,2)练习2：F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．类型二抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)练习1：已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－1 C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则eq\f(b,a)＝________．类型三抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(2\r(2),3)练习1：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.类型四直线与抛物线的位置关系例4：如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.练习1：【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）Ａ． B． C． D．练习2：抛物线C：x2＝8y与直线y＝2x－2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y＝2相交于点Q，R，O为坐标原点，则eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OQ,\s\up8(→))＝________．1.【2015高考天津，理6】已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A. B. C. D.3.（2014·辽宁卷）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)4.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_________5.（2014·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．6.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))<0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为()A．2 B．1 C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x24．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝eq\r(2)|AF|，则A点的横坐标为()A．2eq\r(2) B．3 C．2eq\r(3) D．45．已知P是抛物线y2＝2x上动点，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A．4 B.eq\f(9,2) C．5 D.eq\f(11,2)【答案】B6.（2014·新课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝()A.eq\f(7,2) B．3 C.eq\f(5,2) D．27.（2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8) C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)能力提升（2）若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足eq\o(FA,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝0，则eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kBC)＋eq\f(1,kCA)＝________．11.（2014·湖南卷）如图1­4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则eq\f(b,a)＝________．图1­412.已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．抛物线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下类型一抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2eq\r(17) B.eq\r(17) C．2eq\r(15) D.eq\r(15)【解析】设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.又eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k＋2,k2)＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋22)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(542－4)＝2eq\r(15).【答案】C练习1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()eq\f(\r(17),2) B．3 C.eq\r(5) D.eq\f(9,2)【答案】A练习2：F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．【答案】类型二抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x－4))得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FB,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))|·|\o(FB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,5×2)＝－eq\f(4,5).故选D.【答案】D练习1：已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－1 C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)【答案】Ｃ练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则eq\f(b,a)＝________．【答案】类型三抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(2\r(2),3)【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,y2＝8x))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∵|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2，②由①②得x2＝1，∴B(1,2eq\r(2))，代入y＝k(x＋2)得k＝eq\f(2\r(2),3)，选D.【答案】D练习1：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.【解析】直线y＝x－eq\f(p,2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2),y2＝2px，))∴x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，|AB|＝8＝x1＋x2＋p，∴4p＝8，p＝2.【答案】2类型四直线与抛物线的位置关系例4：如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.【解析】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①(2)由①及y2＝2x，消去y可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，由韦达定理，得x1x2＝eq\f(4k2,k2)＝4.由yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，由图可知y1y2<0，所以y1y2＝－4.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝eq\f(y1,x1)，k2＝eq\f(y2,x2).由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，∴k1k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－1.∴OM⊥ON.【答案】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①(2)由①及y2＝2x，消去y可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，由韦达定理，得x1x2＝eq\f(4k2,k2)＝4.由yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，由图可知y1y2<0，所以y1y2＝－4.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝eq\f(y1,x1)，k2＝eq\f(y2,x2).由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，∴k1k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－1.∴OM⊥ON.练习１【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）Ａ． B． C． D．【答案】Ｄ练习2：抛物线C：x2＝8y与直线y＝2x－2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y＝2相交于点Q，R，O为坐标原点，则eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OQ,\s\up8(→))＝________．【答案】201.【2015高考天津，理6】已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】Ｄ2.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】A.3.（2014·辽宁卷）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)【答案】D4.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_________【答案】ｐ＝２5.（2014·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】y＝－5x＋36.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))<0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)由已知得：曲线C上的点到点F(1,0)与到x＝－1的距离相等，∴曲线C是以F(1,0)为焦点的抛物线，设y2＝2px(p>0)，∵eq\f(p,2)＝1，∴p＝2，∴方程为：y2＝4x(x>0)．(2)假设存在M(m,0)(m>0)．当直线l斜率不存在时，l：x＝m，设交点A(m,2eq\r(m))，B(m，－2eq\r(m))，eq\o(FA,\s\up6(→))＝(m－1,2eq\r(m))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(m－1，－2eq\r(m))，∴eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝m2－6m＋1<0，∴3－2eq\r(2)<m<3＋2eq\r(2).当直线l斜率存在时，l：y＝k(x－m)(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝kx－m))∴ky2－4y－4km＝0，∴Δ＝16＋16k2m>0恒成立，y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4m，又yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝eq\f(16,k2)＋8m，∵eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),4)－1)·(eq\f(y\o\al(2,2),4)－1)＋y1y2＝eq\f(y1y22,16)－eq\f(1,4)(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2))＋y1y2＋12＝m2－eq\f(1,4)(eq\f(16,k2)＋8m)－4m＋12＝m2－6m＋1－eq\f(4,k2)<0，即：eq\f(4,k2)>m2－6m＋1对∀k≠0恒成立，又eq\f(4,k2)>0，∴m2－6m＋1<0恒成立，∴3－2eq\r(2)<m<3＋2eq\r(2)，综上，m的取值范围是：3－2eq\r(2)<m<3＋2eq\r(2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))【答案】D2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为()A．2 B．1 C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)【答案】A3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2【答案】D4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝eq\r(2)|AF|，则A点的横坐标为()A．2eq\r(2) B．3 C．2eq\r(3) D．4【答案】B5．已知P是抛物线y2＝2x上动点，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A．4 B.eq\f(9,2) C．5 D.eq\f(11,2)【答案】B6.（2014·新课标全国卷Ⅰ]已