2026年（北师大版）高中数学必修二第6讲-空间中的垂直关系 含解析

/空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或_________相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的____，平面叫做直线的____，交点叫做___．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的_____．垂线段的长度叫做这点到平面的距离.3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也_________．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_____．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的_____直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的_____．特别地当∠C＝90°时，O为_______．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的_____．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的_____．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面______．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在________内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.练习1：(2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：EF⊥平面PCD.练习2：如右图，在正方体中，为的中点，为的中心，求证：平面练习3：在如右图，在空间四边形中，,求证：例2：如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC.练习1：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D、AC上的点，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___．练习3：已知及平面，则下列命题正确的是（）A、B、C、D、例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.练习1：在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.∵练习2:如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.练习1：三棱锥S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.练习2：如右图,在四面体中，．求证：平面平面．练习3：空间四边形中，若，那么有（）A、平面平面B、平面平面C、平面平面D、平面平面例5：已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.练习1：已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示．求证：PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行 B．相交C．垂直 D．不确定3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β ④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α6.Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6eq\r(10)，那么点P到平面α的距离等于__________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．不能确定2．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥β B．b∥βC．b⊂β D．b⊂β或b∥β3．下列命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b⊂α,c⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α； ⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3 B．4C．5 D．64.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直 B．平行C．a在平面α内 D．不确定6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个 B．至多有一个C．有无数多个 D．一定不存在10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝eq\r(2)r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．π B．2πC．3π D．4π11.(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．413.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)16.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，连接BD，则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：EF⊥平面PCD.答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.∴FHeq\f(1,2)CD，∴FHAE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF.∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵AH⊂平面PAD，∴CD⊥AH.又∵PA＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，∴AH⊥平面PCD，又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.练习2：如右图，在正方体中，为的中点，为的中心，求证：平面答案：连结,由正方体的性质可知，,且∴面又∵面∴设，则∵∴∴∵∴平面练习3：在如右图，在空间四边形中，,求证：答案：设为的中点，连结∵∴同理可证：又∵∴面∵面∴例2：如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC.解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直．答案：证明：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴AN⊥BC，又AN⊥SB，∴AN⊥平面SBC，∴AN⊥SC，又AM⊥SC，∴SC⊥平面AMN，∴MN⊥SC.练习1：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D、AC上的点，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.答案：如图所示，连接A1C1、C1D、BD、B1D1.由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D. ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.又∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1.∵BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D.而BD1⊂平面BB1D1D，∴BD1⊥A1C1.同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D. ②由①②可知EF∥BD1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___．答案：①④练习3：已知及平面，则下列命题正确的是（）A、B、C、D、答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.解析：通过计算得到直角，进而得到垂直．答案：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵∠BAD和∠ABC都是直角，∴tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.练习1：在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.答案：如图所示，连接AB1、CB1、B1D1、PB1、PO.设AB＝a，则AB1＝CB1＝B1D1＝eq\r(2)a，AO＝OC＝eq\f(\r(2),2)a，∴B1O⊥AC.∵B1O2＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋a2＝eq\f(3,2)a2，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＋(eq\r(2)a)2＝eq\f(9,4)a2，OP2＝PD2＋DO2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3,4)a2，∴B1O2＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)，∴B1O⊥OP.又PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.练习2:如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．答案：∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OA，PO⊥OB.又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC.又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD.又BC∩CC1＝C，∴AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.练习1：三棱锥S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.答案：解法一：取BC的中点D，连接AD、SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB＝AC.∴AD⊥BC，SD⊥BC.令SA＝a，在△SBC中，SD＝eq\f(\r(2),2)a，又∵AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD2＋SD2＝SA2.即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，又∵∠ASB＝∠ASC＝60°，∴△ASB、△ASC都是等边三角形．∴AB＝AC＝a.作AD⊥平面SBC于点D，∵AB＝AC＝AS，∴D为△SBC的外心．又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，∴D为BC的中点，故AD⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面SBC.练习2：如右图,在四面体中，．求证：平面平面．答案：取的中点，连结∵∴同理在△中，∴同理在△中，∴∴∵∴平面∵平面∴平面平面练习3：空间四边形中，若，那么有（）A、平面平面B、平面平面C、平面平面D、平面平面答案：D例5：已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．答案：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.练习1：已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示．求证：PA⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行 B．相交C．垂直 D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β ④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6.Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6eq\r(10)，那么点P到平面α的距离等于__________．答案：12__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．不能确定答案：B2．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥β B．b∥βC．b⊂β D．b⊂β或b∥β答案：D3．下列命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b⊂α,c⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α； ⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3 B．4C．5 D．6答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交答案：A5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直 B．平行C．a在平面α内 D．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又