2026年（北师大版）高中数学必修二第7讲-平面直角坐标系的基本公式 含解析

/平面直角坐标系的基本公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平面上两点间的距离公式和中点坐标公式；两点间距离公式的推导；会运用这两个公式解题．一、数轴上的基本公式1．一条给出了______、_________和_____的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了_______，在数轴上，若点P与x对应，称P的坐标为x，记作P(x)．2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做______．从点A到点B的向量，记作eq\o(AB,\s\up13(→))，A为eq\o(AB,\s\up13(→))的起点，B为eq\o(AB,\s\up13(→))的终点，线段AB的长度称作eq\o(AB,\s\up13(→))的_____，记作|eq\o(AB,\s\up13(→))|.数轴上__________的向量叫做相等的向量.3．在数轴上，点A作一次位移到点B，再由点B作一次位移到点C，则位移eq\o(AC,\s\up13(→))称作位移eq\o(AB,\s\up13(→))与位移eq\o(BC,\s\up13(→))的和，记作eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋______.在数轴上，任意三点A、B、C，向量eq\o(AB,\s\up13(→))、eq\o(BC,\s\up13(→))、eq\o(AC,\s\up13(→))的坐标都具有关系：AC＝AB＋_______.4设eq\o(AB,\s\up13(→))是数轴上的任一个向量，O为原点，点A(x1)、B(x2)，则AB＝OB－OA＝________，A、B两点的距离d(A，B)＝|AB|＝__________.平面直角坐标系的基本公式1．平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离d(P1，P2)＝|P1P2|＝_______________________.2．平面上任意两点P1(x1，y1)、P(x2，y2)的中点P(x，y)，则x=___________,y=______________.如果P为P1P2的中点，则称P1与P2关于P对称．点A(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为__________________.类型一数轴例1：(1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，求x的取值范围；(2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．练习1：下列各组点中，点M位于点N左侧的是()A．M(－2)、N(－3)B．M(2)、N(－3)C．M(0)、N(6)D．M(0)、N(－6)练习2：下列各组点中M位于N右侧的是（）A．M(-4)、N(－3)B．M(0)、N(6)C．M(3)、N(6)D．M(-4)、N(－6)例2：已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，求向量eq\o(OA,\s\up13(→))、eq\o(AB,\s\up13(→))的坐标．练习1：已知数轴上的三点A(－1)、B(5)、C(x)．(1)当|AB|＋d(B，C)＝8时，求x；(2)当AB＋CB＝0时，求x；(3)当eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))时，求x.练习2：数轴上任意三点A、B、C的坐标分别为a、b、c，那么有下列关系：①AB＋AC＝BC；②eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))；③|AB|＝|AC|＋|CB|；④BC＝b－c；⑤A、C两点的中点坐标为eq\f(c－a,2).其中正确的有________．(填序号)类型二中点坐标公式例3：平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(2,3)、B(4,0)、D(5,3)，求顶点C的坐标．练习1：已知点A关于点B(2,1)的对称点为C(－4,3)，C关于D的对称点为E(－6，－3)，求A、D的坐标及AD中点坐标．练习2：设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，则|AB|等于()A．5 B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(10)类型三两点间距离公式例4：已知A(3，－4)与B(a,3)两点间距离为7eq\r(2)，求a的值．练习1：求下列两点间的距离：(1)A(2,5)、B(3，－4)；(2)A(eq\r(2)－1，eq\r(3)＋eq\r(2))、B(eq\r(2)＋1，eq\r(3)－eq\r(2))；练习2：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．42．A、B为数轴上的两点，B的坐标为－5，BA＝－6，则A的坐标为()A．－11 B．－1或11C．－1 D．1或－113．数轴上点P、M、N的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正确的表示有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个4．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为()A．(1,5) B．(4,9)C．(5,3) D．(9,4)5．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形6.数轴上一点P(x)，它到A(－8)的距离是它到B(－4)距离的3倍，则x＝________.7.已知点A(2x)、B(x)，点A在点B的右侧，则x的取值范围为________．8.已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(－2,3)、C(0，－1)，则BC边上中线的长为__________．9.已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐标．10．已知两点A、B的坐标如下，求AB、|AB|.(1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5)．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．数轴上向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为()A．1 B．2C．3 D．42．数轴上两点A(2x＋a)，B(2x)，则A、B两点的位置关系是()A．A在B左侧 B．A在B右侧C．A与B重合 D．由a的取值决定3．已知两点A(a，b)、B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确4．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)、B(3，y)，则x＋y等于()A．5 B．－1C．1 D．－55．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________．能力提升6．下列各组点：①M(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是()A．① B．②C．③ D．④7.已知数轴上A、B两点的坐标分别为eq\f(1,3)、－eq\f(1,3)，则d(A，B)为()A．0 B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,9)8.已知数轴上两点A(a)、B(b)，则在数轴上满足条件|PA|＝|PB|的点P坐标为()A.eq\f(b－a,2) B.eq\f(a－b,2)C.eq\f(a＋b,2) D．b－a9.设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于()A．0 B．6C．0或6 D．0或－610.已知菱形的三个顶点分别为(a，b)、(－b，a)、(0,0)，则它的第四个顶点是()A．(2a，b) B．(a－b，a＋b)C．(a＋b，b－a) D．(a－b，b－a)11.设M、N、P、Q是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN＋NP＋PQ＋QM＝0；②MN＋PQ－MQ－PN＝0；③PQ－PN＋MN－MQ＝0；④QM＝MN＋NP＋PQ.其中正确的序号是________．12.等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．13.根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x－1|≤2；(2)|x＋2|>1.14.△ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．平面直角坐标系的基本公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平面上两点间的距离公式和中点坐标公式；两点间距离公式的推导；会运用这两个公式解题．一、数轴上的基本公式1．一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P与x对应，称P的坐标为x，记作P(x)．2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量．从点A到点B的向量，记作eq\o(AB,\s\up13(→))，A为eq\o(AB,\s\up13(→))的起点，B为eq\o(AB,\s\up13(→))的终点，线段AB的长度称作eq\o(AB,\s\up13(→))的长度，记作|eq\o(AB,\s\up13(→))|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.3．在数轴上，点A作一次位移到点B，再由点B作一次位移到点C，则位移eq\o(AC,\s\up13(→))称作位移eq\o(AB,\s\up13(→))与位移eq\o(BC,\s\up13(→))的和，记作eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→)).在数轴上，任意三点A、B、C，向量eq\o(AB,\s\up13(→))、eq\o(BC,\s\up13(→))、eq\o(AC,\s\up13(→))的坐标都具有关系：AC＝AB＋BC.4设eq\o(AB,\s\up13(→))是数轴上的任一个向量，O为原点，点A(x1)、B(x2)，则AB＝OB－OA＝x2－x1，A、B两点的距离d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|.平面直角坐标系的基本公式1．平面上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离d(P1，P2)＝|P1P2|＝x2．平面上任意两点P1(x1，y1)、P(x2，y2)的中点P(x，y)，则x=x1+x如果P为P1P2的中点，则称P1与P2关于P对称．点A(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为(2a－x0,2b－y0).类型一数轴例1：(1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，求x的取值范围；(2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．解析：数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标．答案：(1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，∴－2<x<3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a、b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．练习1：下列各组点中，点M位于点N左侧的是()A．M(－2)、N(－3)B．M(2)、N(－3)C．M(0)、N(6)D．M(0)、N(－6)答案：点M(0)在点N(6)的左侧，故选C.练习2：下列各组点中M位于N右侧的是（）A．M(-4)、N(－3)B．M(0)、N(6)C．M(3)、N(6)D．M(-4)、N(－6)答案：D例2：已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，求向量eq\o(OA,\s\up13(→))、eq\o(AB,\s\up13(→))的坐标．解析：由向量定义求解即可．答案：∵点A与原点O的距离为3，∴点A的坐标为3或－3.当点A的坐标为3时，∵A、B之间的距离为1，∴点B的坐标为2或4.此时eq\o(OA,\s\up13(→))的坐标为3，eq\o(AB,\s\up13(→))的坐标为－1或1.当点A的坐标为－3时，∵A、B之间的距离为1，∴点B的坐标为－4或－2.此时eq\o(OA,\s\up13(→))的坐标为－3，eq\o(AB,\s\up13(→))的坐标为－1或1.练习1：已知数轴上的三点A(－1)、B(5)、C(x)．(1)当|AB|＋d(B，C)＝8时，求x；(2)当AB＋CB＝0时，求x；(3)当eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))时，求x.答案：(1)由题意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|.当|AB|＋d(B，C)＝8时，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)由AB＋CB＝0可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)由eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))可知AB＝BC，故5－(－1)＝x－5，所以x－5＝6，解得x＝11.练习2：数轴上任意三点A、B、C的坐标分别为a、b、c，那么有下列关系：①AB＋AC＝BC；②eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))；③|AB|＝|AC|＋|CB|；④BC＝b－c；⑤A、C两点的中点坐标为eq\f(c－a,2).其中正确的有________．(填序号)答案：②AB、AC、BC的关系为AB＋BC＝AC，故①错误；根据向量的和可知eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))，故②正确；因为A、B、C三点在数轴上的位置关系共有六种情况，所以|AB|、|AC|、|CB|的关系有三种情况，而|AB|＝|AC|＋|CB|是其中一种情况，故③错误；向量eq\o(BC,\s\up13(→))的坐标是终点C的坐标c减去起点B的坐标b，即BC＝c－b，故④错误；A、C两点的中点坐标为eq\f(a＋c,2)，故⑤错误．类型二中点坐标公式例3：平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(2,3)、B(4,0)、D(5,3)，求顶点C的坐标．解析：运用中点坐标公式先求出▱ABCD两对角线交点M的坐标，再求顶点C的坐标．答案：设AC与BD交点为M(a，b)，则M为BD的中点，由中点坐标公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2),b＝\f(3,2))).又设C(x0，y0)，则M为AC的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)＝\f(2＋x0,2),\f(3,2)＝\f(3＋y0,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝7,y0＝0)).∴C点坐标为(7,0)．练习1：已知点A关于点B(2,1)的对称点为C(－4,3)，C关于D的对称点为E(－6，－3)，求A、D的坐标及AD中点坐标．答案：设A(x1，y1)，∵A、C中点是B，∴eq\f(x1－4,2)＝2，eq\f(y1＋3,2)＝1，∴x1＝8，y1＝－1，即A(8，－1)．设D(x2，y2)，∵D是C、E中点，∴x2＝eq\f(－4－6,2)＝－5，y2＝eq\f(3－3,2)＝0.即D(－5,0)．∴A、D中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8－5,2)，\f(－1＋0,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2))).练习2：设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，则|AB|等于()A．5 B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(10)答案：设A(a,0)、B(0，b)．由中点坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(a＋0,2),－1＝\f(0＋b,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－2)).即A(4,0)、B(0，－2)，∴|AB|＝eq\r(0－42＋－2－02)＝2eq\r(5)，故选C.类型三两点间距离公式例4：已知A(3，－4)与B(a,3)两点间距离为7eq\r(2)，求a的值．解析：用两点间距离公式即可.答案：∵d(A，B)＝7eq\r(2)，∴(a－3)2＋(3＋4)2＝(7eq\r(2))2，∴a＝10或a＝－4.练习1：求下列两点间的距离：(1)A(2,5)、B(3，－4)；(2)A(eq\r(2)－1，eq\r(3)＋eq\r(2))、B(eq\r(2)＋1，eq\r(3)－eq\r(2))；答案：(1)Δx＝3－2＝1，Δy＝－4－5＝－9.∴d(A，B)＝eq\r(Δx2＋Δy2)＝eq\r(12＋－92)＝eq\r(82).(2)Δx＝eq\r(2)＋1－(eq\r(2)－1)＝2，Δy＝(eq\r(3)－eq\r(2))－(eq\r(3)＋eq\r(2))＝－2eq\r(2)，∴d(A，B)＝eq\r(Δx2＋Δy2)＝eq\r(22＋－2\r(2)2)＝2eq\r(3).练习2：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．答案：(4,3)或(－2，－1)或(0，－5)①当(1,1)与(2，－1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)．1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：D2．A、B为数轴上的两点，B的坐标为－5，BA＝－6，则A的坐标为()A．－11 B．－1或11C．－1 D．1或－11答案：A3．数轴上点P、M、N的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正确的表示有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个答案：C4．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为()A．(1,5) B．(4,9)C．(5,3) D．(9,4)答案：B5．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案：B6.数轴上一点P(x)，它到A(－8)的距离是它到B(－4)距离的3倍，则x＝________.答案：－2或－57.已知点A(2x)、B(x)，点A在点B的右侧，则x的取值范围为________．答案：(0，＋∞)8.已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(－2,3)、C(0，－1)，则BC边上中线的长为__________．答案：39.已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐标．答案：(1)|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形，∠C＝90°.(2)因为△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为(eq\f(6＋0,2)，eq\f(1－7,2))，即(3，－3).10．已知两点A、B的坐标如下，求AB、|AB|.(1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5)．答案：(1)AB＝5－2＝3，|AB|＝|5－2|＝3.(2)AB＝(－5)－(－2)＝－3，|AB|＝|(－5)－(－2)|＝3.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．数轴上向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C2．数轴上两点A(2x＋a)，B(2x)，则A、B两点的位置关系是()A．A在B左侧 B．A在B右侧C．A与B重合 D．由a的取值决定答案：D3．已知两点A(a，b)、B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确答案：D4．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)、B(3，y)，则x＋y等于()A．5 B．－1C．1 D．－5答案：D5．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_____