2026年（北师大版）高中数学必修一第6讲-函数的奇偶性 含解析

/函数的奇偶性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解函数的奇偶性及其图像特征；能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义1、图形描述：函数的图像关于轴对称为偶函数；函数的图像关于原点轴对称为奇函数定量描述一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则称为偶函数；如果都有，则称为奇函数；如果与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数；如果与都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断与这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。二、函数具有奇偶性的几个结论1、是偶函数的图像关于轴对称；是奇函数的图像关于原点对称。2、奇函数在有定义，必有。3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。6、多项整式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项的系数和常数项全为零；多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零。类型一函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝eq\f(1,x)＋x；练习1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|类型二分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1x>0,x2－1x<0))的奇偶性．练习1：判断函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0,0x＝0,－x2－2x<0))的奇偶性．练习2：如果F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3x>0,fxx<0))是奇函数，则f(x)＝________.的单调性类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式

例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1类型四抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数．2：已知是定义在上的任意一个增函数，，则必定为（）A、增函数且为奇函数B、增函数且为偶函数C、减函数且为奇函数D、减函数且为偶函数类型五含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性．

练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，eq\f(5,2))．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性．类型六利用奇偶性确定函数中字母的值例6:已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋2,3x＋b)是奇函数，且f(2)＝eq\f(5,3).求实数a、b的值；练习1:(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝eq\f(x＋b,1＋x2)为奇函数.求b的值；练习2:若函数是奇函数，则；若函数为偶函数，则。类型七：利用奇偶性解不等式

例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m的取值范围．练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))类型八利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝()

A．－15 B．－13

C．－5 D．5练习2:(2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C．eq\f(5,2)D．51、判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；2、已知函数是奇函数，定义域为，又在上为增函数，且，则满足的的取值范围是。若，且，求的值；4、已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式。5、已知奇函数，求的值。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3 B．－3C．2 D．72．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．43．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是()A．2,1 B．1,2C．0,2 D．0,14．(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．35．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是()A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)7．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.能力提升8．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)9．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．函数的奇偶性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解函数的奇偶性及其图像特征；能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义1、图形描述：函数的图像关于轴对称为偶函数；函数的图像关于原点轴对称为奇函数定量描述一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则称为偶函数；如果都有，则称为奇函数；如果与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数；如果与都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断与这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。二、函数具有奇偶性的几个结论1、是偶函数的图像关于轴对称；是奇函数的图像关于原点对称。2、奇函数在有定义，必有。3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。6、多项整式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项的系数和常数项全为零；多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零。类型一函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝eq\f(1,x)＋x；解析：(1)函数f(x)的定义域为R，又∵f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，∴函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f(－x)＝eq\f(1,－x)－x＝－(eq\f(1,x)＋x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝eq\f(1,x)＋x是奇函数．答案：（1）偶函数（2）奇函数练习1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；答案：（1）偶函数（2）奇函数练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|答案：D类型二分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1x>0,x2－1x<0))的奇偶性．解析：任取x>0，则－x<0.∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－(－x2＋1)＝－f(x)．又任取x<0，则－x>0.∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝－(x2－1)＝－f(x)．对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴函数f(x)为奇函数．答案：奇函数练习1：判断函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0,0x＝0,－x2－2x<0))的奇偶性．答案：奇函数.练习2：如果F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3x>0,fxx<0))是奇函数，则f(x)＝________.的单调性答案：2x＋3类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式

例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．解析：当x>0时，－x<0，∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．答案：x(1＋x)练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1x>0,0x＝0,2x－1x<0))练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1答案：D类型四抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．解析：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0，再令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴f(x)是奇函数．答案：见解析练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数．答案：令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)， ①令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)， ②由①②得，f(－x)＝f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．2：已知是定义在上的任意一个增函数，，则必定为（）A、增函数且为奇函数B、增函数且为偶函数C、减函数且为奇函数D、减函数且为偶函数答案：A类型五含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性．

解析：当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1，

∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1

＝x2＋|x|＋1＝f(x)，

∴当a＝0时，函数f(x)为偶函数．

当a≠0时，f(1)＝2＋|1－a|，

f(－1)＝2＋|1＋a|，

假设f(1)＝f(－1)，

则|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2，

∴a＝0，这与a≠0矛盾，

假设f(－1)＝－f(1)，则2＋|1＋a|＝－2－|1－a|这显然不可能成立(∵2＋|1＋a|>0，－2－|1－a|<0)，

∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，

∴当a≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数．答案：非奇非偶.练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．答案：偶函数练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，eq\f(5,2))．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性．答案：(1)f(x)＝x＋eq\f(1,x).(2)f(x)为奇函数．类型六利用奇偶性确定函数中字母的值例6:已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋2,3x＋b)是奇函数，且f(2)＝eq\f(5,3).求实数a、b的值；解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴eq\f(ax2＋2,－3x＋b)＝－eq\f(ax2＋2,3x＋b)，∴－3x＋b＝－3x－b，∴b＝0.又f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4a＋2,6)＝eq\f(5,3)，∴a＝2.答案：a＝2.b＝0.练习1:(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝eq\f(x＋b,1＋x2)为奇函数.求b的值；答案：b=0练习2:若函数是奇函数，则；若函数为偶函数，则。答案:;类型七：利用奇偶性解不等式

例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<m－1<2,－2<1－2m<2))，得－eq\f(1,2)<m<eq\f(3,2).由函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数及f(m－1)＋f(1－2m)≥0，得f(m－1)≥f(2m－1)．∵函数f(x)在(－2,2)上是减函数，∴m－1≤2m－1，得m≥0.∴实数m的取值范围是[0，eq\f(3,2))．答案：[0，eq\f(3,2))．练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m的取值范围．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))答案：C类型八利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，∴g(－1)＝eq\f(7,2).又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)．∴g(1)＝－g(－1)＝－eq\f(7,2).∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－eq\f(7,2))＋1＝－6.答案：－6.练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝()

A．－15 B．－13

C．－5 D．5答案:A练习2:(2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C．eq\f(5,2)D．5答案：C1、判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；答案：（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数。2、已知函数是奇函数，定义域为，又在上为增函数，且，则满足的的取值范围是。答案：。若，且，求的值；答案：54、已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式。答案:5、已知奇函数，求的值。答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3 B．－3