2026年（北师大版）高中数学选修2-2第1讲-变化率与导数 含解析

/变化率与导数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；理解导数的几何意义；一、变化率问题：知识导入：问题1气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析:，当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了hto气球的平均hto可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．平均变化率：1．上述问题中的变化率可用式子__________________表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3.则平均变化率为____________________________________思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)f(x2)y=f(x)y△△y=f(x2)-f(x1) f(x1f(x1)△x=x2△x=x2-x1x2x2x1xOxO导数的概念：1、瞬时变化率：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即___________________说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2），当时，，所以导数的几何意义：平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率：（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.类型一：求函数的平均变化率例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。举一反三：【变式1】已知函数（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x―5；（2）垂直于直线2x―6y+5=0；（3）与x轴成135°的倾斜角。例4．已知函数可导，若，，求举一反三：【变式】已知函数可导，若，，求类型五：求曲线的切线方程例5．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.【变式3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？例6．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.举一反三：【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.一、选择题1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于()A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)22．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3 B．3C．6 D．－63．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()图1－1－2A．甲的日生产量大于乙的日生产量B．甲的日生产量小于乙的日生产量C．甲的日生产量等于乙的日生产量D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1 B．－1C．±1 D．3eq\r(3)二、填空题6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小关系是________．图1－1－37．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.8．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.三、解答题9．正弦函数y＝sinx在区间[0，eq\f(π,6)]和[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]的平均变化率哪一个较大？10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x2＋20，0≤x≤1，,－\f(20,49)x2－2x－244，1<x≤8.))求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为()A.2x0-1 B.2x0+ΔxC.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+12.以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为()A.v0-gt0 B.v0C.v0+gt0 D.gt03.函数y=x2+5x在x=3处的导数是()A.3 B.5 C.11 D.144.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9 B.-3 C.9 D.155.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-16.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=___________.(用数字作答).7.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=___________.8.求函数f(x)=x-x2在x=1处的导数.能力提升一、选择题1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)22．自由落体运动的公式为s＝s(t)＝eq\f(1,2)gt2(g＝10m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是()A．v是在0～1s这段时间内的速度B．v是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速度D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.eq\f(123,16)米/秒 B.eq\f(125,16)米/秒 C．8米/秒 D.eq\f(67,4)米/秒4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．无法确定5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2,(s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝________.三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a＝5×105m/s2，它从枪口射出所用的时间为t1＝1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．变化率与导数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；理解导数的几何意义；一、变化率问题：知识导入：问题1气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析:，htohto气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．平均变化率：1．上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)f(x2)y=f(x)y△△y=f(x2)-f(x1) f(x1f(x1)△x=x2△x=x2-x1x2x2x1xOxO导数的概念：1、瞬时变化率：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2），当时，，所以导数的几何意义：平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率：（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？图3.1-2图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.类型一：求函数的平均变化率例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨:求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为当，时，平均变化率的值为：.总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。【答案】，所以平均变化率为。【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则，。所以。同理。。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.【答案】3.31当时类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。解析：∵∴∴。总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程。【答案】（1），（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，∴所求切线的斜率为。∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1），∴，∴。（2），∴，∴。（3），∴，∴。（4），∴，∴。例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设.由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.总结升华:求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x―5；（2）垂直于直线2x―6y+5=0；（3）与x轴成135°的倾斜角。【答案】，设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以，得，，即。（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得，，即。例4．已知函数可导，若，，求解析： （） （令t=x2，x→1，t→1）举一反三：【变式】已知函数可导，若，，求【答案】类型五：求曲线的切线方程例5．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：，x=1时，y=3，∴切点为（1，3），切线斜率为5切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.总结升华:求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：求出函数的导函数求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：∵∴切线的斜率.∴切线方程为，即.【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.【答案】的导数为.设切点，则.∵的斜率，又切线平行于，∴，∴，∴切点，∴切线方程为，即.【变式3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）将代入曲线的方程得，∴切点.∵，∴.∴过点的切线方程为，即.（2）由可得，解得或.从而求得公共点为，或.∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例6．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.解析：（1），直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.（2）解方程组 得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【答案】设切点坐标为∴切线在点的斜率为切线与直线平行，斜率为4∴，∴或∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.【答案】由题意，切线的斜率为，∴切线方程为，与轴交点为，直线的交点为（2，4），∴.【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.【答案】由题意知，∴曲线在（0，1）处的切线的斜率∴该切线方程为设的方程为，则，解得，或.当时，的方程为；当时，的方程为综上可知，的方程为或.一、选择题1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于()A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2【解析】球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.【答案】B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3 B．3 C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，V＝s′(1)＝lieq\o(m,\s\do9(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.【答案】D3．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()图1－1－2A．甲的日生产量大于乙的日生产量B．甲的日生产量小于乙的日生产量C．甲的日生产量等于乙的日生产量D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．【答案】B4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】C5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1 B．－1C．±1 D．3eq\r(3)【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0)，由f′(x0)＝3得3xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.【答案】C二、填空题6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小关系是________．图1－1－3【解析】∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由图象可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.【答案】eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)17．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx.从而割线PQ的斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.【答案】2.18．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.【解析】∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，∴f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，由f′(－1)＝3得3m＝3，∴m＝1.【答案】1三、解答题9．正弦函数y＝sinx在区间[0，eq\f(π,6)]和[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]的平均变化率哪一个较大？【解】y＝sinx在区间[0，eq\f(π,6)]的平均变化率为eq\f(sin\f(π,6)－sin0,\f(π,6)－0)＝eq\f(\f(1,2)－0,\f(π,6))＝eq\f(3,π).y＝sinx在区间[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]的平均变化率为eq\f(sin\f(π,2)－sin\f(π,3),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq\f(1－\f(\r(3),2),\f(π,6))＝eq\f(6－3\r(3),π)，∵eq\f(3,π)>eq\f(6－3\r(3),π).∴正弦函数y＝sinx在区间[0，eq\f(π,6)]的平均变化率比在区间[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]的平均变化率大．10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3m/s.(2)v＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))eq\f(－Δt2－Δt,Δt)＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度相反．(3)eq\x\to(v)＝＝eq\f(6－4－0,2)＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x2＋20，0≤x≤1，,－\f(20,49)x2－2x－244，1<x≤8.))求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．【解】∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20，∴eq\f(Δfx,Δx)＝＝eq\f(80[0.5Δx＋Δx2],Δx)＝40＋80Δx.∴f′(0.25)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δfx,Δx)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))(40＋80Δx)＝40.又当1<x≤8时，f(x)＝－eq\f(20,49)(x2－2x－244)，∴当x＝4时，eq\f(Δfx,Δx)＝eq\f(－\f(20,49)[4＋Δx2－24＋Δx－244]＋\f(20,49)42－2×4－244,Δx)＝eq\f(－\f(20,49)[6Δx＋Δx2],Δx)＝－eq\f(20,49)(6＋Δx)，∴f′(4)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δfx,Δx)＝lieq\o(m,\s\do9(Δx→0))[－eq\f(20,49)(6＋Δx)]＝－eq\f(20,49)×6＝－eq\f(120,49).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为()A.2x0-1 B.2x0+ΔxC.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1解析:=2x0+Δx.答案:B2.以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为()A.v0-gt0 B.v0C.v0+gt0 D.gt0解析:∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0+=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,∴=v0-gt0-gΔt.=v0-gt0,∴物体在t0时刻的瞬时速度为v0-gt0.答案:A3.函数y=x2+5x在x=3处的导数是()A.3 B.5 C.11 D.14解析:Δy=(3+Δx)2+5(3+Δx)-(32+5×3)=6Δx+(Δx)2+5Δx=(Δx)2+11Δx,=Δx+11,∴y'|x=3=(Δx+11)=11.答案:C4.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9 B.-3 C.9 D.15解析:由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,∴切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,∴切线与y轴交点的纵坐标为9.答案:C5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1解析:∵点(0,b)在直线x-y+1=0上,∴b=1.又y'==2x+a,∴过点(0,b)的切线的斜率为y'|x=0=a=1.答案:A6.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=___________.(用数字作答).解析:由A(0,4),B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)=-2x+4(0≤x≤2).同理BC所在直线的方程为f(x)=x-2(2<x≤6).所以f(0)=4,f(4)=2.答案:27.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=_____________.解析:由导数几何意义知f'(1)=1,又f(1)=1+2=3,于是f(1)+f'(1)==4.答案:48.求函数f(x)=x-x2在x=1处的导数.解:f'(1)=-1.即f(x)在x=1处的导数f'(1)=-1.能力提升一、选择题1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2【解析】Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx.【答案】C2．自由落体运动的公式为s＝s(t)＝eq\f(1,2)gt2(g＝10m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是()A．v是在0～1s这段时间内的速度B．v是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速度D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度【解析】由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故应选D.【答案】D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.eq\f(123,16)米/秒 B.eq\f(125,16)米/秒 C．8米/秒 D.eq\f(67,4)米/秒【解析】∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16).【答案】B4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()A．k1＜k2 B．k1＞k2C．k1＝k2 D．无法确定【解析】k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定．【答案】D5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()A．(1,10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1,10)【解析】Δy＝3(x0＋Δx)2＋